例1 如图，在$△ ABC$中，AB边的垂直平分线DE分别交AB，BC于点E，D，连接AD。若$△ ADC$的周长为7 cm，AC=2 cm，求BC的长。

[点拨] 此题考查线段垂直平分线的性质，比较简单，注意数形结合思想的应用。根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$；由$△ ADC$的周长为7 cm，可得$AC+BC=7$ cm；然后由$AC=2$ cm，即可求得BC的长。
[解] 因为AB边的垂直平分线交AB于点E、交BC于点D，
所以$AD=BD$。
因为$△ ADC$的周长为7 cm，
所以$AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=7$ cm。
因为$AC=2$ cm，所以$BC=5$ cm。

解：
因为DE是AB边的垂直平分线，分别交AB，BC于点E，D，
所以AD=BD。
因为△ADC的周长为7 cm，
所以$AC+CD+AD=7\ \mathrm{cm}$，
将$AD=BD$代入上式，可得$AC+CD+BD=AC+BC=7\ \mathrm{cm}$。
又因为$AC=2\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=7-2=5\ \mathrm{cm}$。
答：BC的长为5 cm。

【分析】
解题时先梳理题干已知条件，看到“AB边的垂直平分线DE”，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此点D在AB的垂直平分线上，可得AD=BD。再分析△ADC的周长，周长是三角形三条边的长度和，即$AC+CD+AD$，将$AD=BD$代入该式，可把式子转化为$AC+CD+BD$，其中$CD+BD$恰好是BC的长度，由此就能把△ADC的周长转化为AC与BC的长度和，已知△ADC的周长和AC的长度，代入计算即可求出BC的长。
【解析】
因为DE是AB边的垂直平分线，分别交AB，BC于点E，D，
所以$AD=BD$。
因为△ADC的周长为7 cm，
所以$AC+CD+AD=7\ \mathrm{cm}$，
将$AD=BD$代入上式，可得$AC+CD+BD=AC+BC=7\ \mathrm{cm}$。
又因为$AC=2\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=7-2=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
BC的长为5 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用，解题核心是利用线段等量关系做代换，将未知三角形的周长转化为已知线段和待求线段的和，结合数形结合思想能快速理清线段关系，简化解题过程。
【难度系数】
0.8

|变式训练1| 如图，DE垂直平分AB，交AC于点D，交AB于点E，连接BD。若AC=6 cm，CD=2 cm，则BD的长度为 cm。

4

【分析】
解题时首先关注题干中“DE垂直平分AB”的条件，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可推出BD=AD；接下来结合已知的AC、CD的长度，先计算出AD的长度，即可直接得到BD的长度。
【解析】
1. 计算AD的长度：
已知AC=6 cm，CD=2 cm，且点D在线段AC上，因此
$AD = AC - CD = 6 - 2 = 4\ \mathrm{cm}$
2. 利用垂直平分线的性质推导BD的长度：
因为DE垂直平分AB，点D在DE上，根据线段垂直平分线的性质，可得$BD=AD$。
3. 代入AD的长度，得$BD=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过性质将待求的BD长度转化为可直接计算的AD长度，计算难度低，只要牢记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

例2 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°,∠ C=20°,DE$是$AC$边的垂直平分线,连接$AE$,求$∠ BAE$的度数。

[点拨] 先根据三角形的内角和定理求出$∠ BAC$,再根据线段垂直平分线的性质得到$EC=EA$,求出$∠ EAC$,然后计算即可。
[解] 因为$∠ ABC=90°,∠ C=20°$,
所以$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-90°-20°=70°$。
因为$DE$是边$AC$的垂直平分线,
所以$EC=EA$,
所以$∠ EAC=∠ C=20°$,
所以$∠ BAE=∠ BAC-∠ EAC=70°-20°=50°$。

解：
∵ ∠ABC=90°，∠C=20°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 90° - 20° = 70°。
∵ DE是AC边的垂直平分线，
∴ EC = EA，
∴ ∠EAC = ∠C = 20°，
∴ ∠BAE = ∠BAC - ∠EAC = 70° - 20° = 50°。

【分析】
要求∠BAE的度数，可通过角度和差计算，即先求出∠BAC与∠EAC的度数再作差。首先已知△ABC中两个内角的度数，可利用三角形内角和定理先算出∠BAC的度数；再根据DE是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到EA=EC，推出△EAC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等可得∠EAC=∠C；最后用∠BAC减去∠EAC即可得到∠BAE的度数。
【解析】
∵ ∠ABC=90°，∠C=20°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 90° - 20° = 70°。
∵ DE是AC边的垂直平分线，
∴ EC = EA，
∴ ∠EAC = ∠C = 20°，
∴ ∠BAE = ∠BAC - ∠EAC = 70° - 20° = 50°。
【答案】
50°
【知识点】
三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而转化得到等角关系，再结合三角形内角和与角度和差运算即可求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

变式训练2 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=30°$，分别以点A和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则$∠ BAD$的度数为（）


A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

C

【分析】
首先观察题中的尺规作图步骤，可判断MN是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=CD，进而推出∠DAC=∠C；再利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠DAC即可得到∠BAD的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数
在△ABC中，三角形内角和为180°，因此：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 50° - 30° = 100°$
2. 推导∠DAC的度数
由作图规则可知，MN是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AD=CD$，因此△ADC是等腰三角形，等边对等角得$∠ DAC = ∠ C = 30°$
3. 计算∠BAD的度数
$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 100° - 30° = 70°$
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题解题的核心是先根据尺规作图的特征识别出垂直平分线，再结合角度相关的性质进行计算，属于基础类几何题，重点考查对基本作图和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

例3 如图，有A，B，C三个村庄。为了解决村民子女的上学问题，拟新建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请在图上用尺规作出学校的位置。（不写作法，保留作图痕迹）

[点拨] 利用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图，考查作图能力。
[解] (1)如图，连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线，交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置。

解：
(1) 连接AB，BC；
(2) 分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P。
点P就是所要确定的学校的位置，保留全部尺规作图痕迹。

【分析】
题目要求找到到A、B、C三个村庄距离相等的点作为校址。根据所学的线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知：到A、B两点距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点都在BC的垂直平分线上。同时满足到三个点距离相等的点就是这两条垂直平分线的交点，且两条直线相交只有1个交点，该点也必然在AC的垂直平分线上，因此只需作出AB、BC的垂直平分线找到交点即可。
【解析】
1. 用直尺连接AB、BC两条线段；
2. 用尺规作图分别作出线段AB的垂直平分线、线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点标记为P；
3. 保留所有尺规作图痕迹，点P即为所求的学校位置。
【答案】
(1) 连接AB，BC；
(2) 分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P。
点P就是所要确定的学校的位置，保留全部尺规作图痕迹。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 尺规作图作垂直平分线
【点评】
这是一道结合生活实际的基础作图题，核心考查对线段垂直平分线性质的理解与应用能力，掌握垂直平分线的性质即可快速明确作图思路，实操时需注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8