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变式训练3 | 如图，要在公路旁MN上修建一个货物中转站P，分别向A，B两个开发区运货。要求中转站到A，B两个开发区的距离相等，则中转站应建在哪里？
答案
解:如图,点P即为所求。
解析
【分析】
要确定中转站P的位置，首先明确P需要同时满足两个条件：①在直线MN上；②到点A、B的距离相等。根据线段垂直平分线的相关知识，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与MN的交点就同时满足上述两个条件，即为所求的点P。
【解析】
步骤1：用直尺连接A、B两点，得到线段AB；
步骤2：使用尺规作图的方法，作出线段AB的垂直平分线；
步骤3：该垂直平分线与直线MN的交点就是符合要求的中转站P。
【答案】
解:如图,点P即为所求。
【知识点】
1. 线段垂直平分线判定
2. 尺规作图
【点评】
本题是几何知识解决实际选址问题的基础题型，核心是将实际需求转化为对应的几何条件，通过找两条线的交点确定目标点的位置，侧重考查对基础性质的理解应用和基本作图能力。
【难度系数】
0.8
要确定中转站P的位置，首先明确P需要同时满足两个条件：①在直线MN上；②到点A、B的距离相等。根据线段垂直平分线的相关知识，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与MN的交点就同时满足上述两个条件，即为所求的点P。
【解析】
步骤1：用直尺连接A、B两点，得到线段AB；
步骤2：使用尺规作图的方法，作出线段AB的垂直平分线；
步骤3：该垂直平分线与直线MN的交点就是符合要求的中转站P。
【答案】
解:如图,点P即为所求。
【知识点】
1. 线段垂直平分线判定
2. 尺规作图
【点评】
本题是几何知识解决实际选址问题的基础题型，核心是将实际需求转化为对应的几何条件，通过找两条线的交点确定目标点的位置，侧重考查对基础性质的理解应用和基本作图能力。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$△ ABC$中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D。已知AC=5 cm，$△ ADC$的周长为17 cm，则BC的长为(
A.7 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.22 cm
C
)A.7 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.22 cm
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，看到AB边的垂直平分线交BC于D，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=BD。再结合△ADC的周长条件，将AD等量替换为BD，即可把△ADC的周长转化为BC与AC的长度和，最后代入已知AC的长度就能求出BC的长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ADC的周长为17 cm，
∴AD + DC + AC = 17 cm，
将AD替换为BD，可得：BD + DC + AC = 17 cm，
又
∵BD + DC = BC，
∴BC + AC = 17 cm。
已知AC = 5 cm，
∴BC = 17 - 5 = 12 cm。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础类几何题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过等量代换将未知线段和已知条件建立关联，掌握线段垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，看到AB边的垂直平分线交BC于D，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得AD=BD。再结合△ADC的周长条件，将AD等量替换为BD，即可把△ADC的周长转化为BC与AC的长度和，最后代入已知AC的长度就能求出BC的长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ADC的周长为17 cm，
∴AD + DC + AC = 17 cm，
将AD替换为BD，可得：BD + DC + AC = 17 cm，
又
∵BD + DC = BC，
∴BC + AC = 17 cm。
已知AC = 5 cm，
∴BC = 17 - 5 = 12 cm。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
【点评】
本题是基础类几何题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过等量代换将未知线段和已知条件建立关联，掌握线段垂直平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知∠BAC=130°,MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ等于(
A.$50°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$105°$
C
)A.$50°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$105°$
答案
C
解析
【分析】
看到线段垂直平分线，首先想到其性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得PA=PB、QA=QC，再根据等边对等角得到∠B=∠BAP、∠C=∠CAQ。接下来先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的和，即可得到∠BAP+∠CAQ的度数，最后用∠BAC的度数减去∠BAP与∠CAQ的和，就能算出∠PAQ的度数。
【解析】
解：
∵ MP垂直平分AB，NQ垂直平分AC
∴ PA=PB，QA=QC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴ ∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ（等边对等角）
在△ABC中，∠BAC=130°，根据三角形内角和为180°可得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°
∴ ∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=50°
∴ ∠PAQ=∠BAC - (∠BAP+∠CAQ)=130°-50°=80°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等边对等角
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质完成等角转化，再结合三角形内角和定理计算未知角度，注意角度之间的和差关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
看到线段垂直平分线，首先想到其性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得PA=PB、QA=QC，再根据等边对等角得到∠B=∠BAP、∠C=∠CAQ。接下来先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的和，即可得到∠BAP+∠CAQ的度数，最后用∠BAC的度数减去∠BAP与∠CAQ的和，就能算出∠PAQ的度数。
【解析】
解：
∵ MP垂直平分AB，NQ垂直平分AC
∴ PA=PB，QA=QC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∴ ∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ（等边对等角）
在△ABC中，∠BAC=130°，根据三角形内角和为180°可得：
∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-130°=50°
∴ ∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=50°
∴ ∠PAQ=∠BAC - (∠BAP+∠CAQ)=130°-50°=80°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等边对等角
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质完成等角转化，再结合三角形内角和定理计算未知角度，注意角度之间的和差关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中按以下步骤作图:
①分别以点$B,C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于点$M,N$;
②作直线$MN$交$AB$于点$D$,连接$CD$。
若$CD=AC$,$∠ A=50°$,则$∠ ACB$的度数为(
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
①分别以点$B,C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于点$M,N$;
②作直线$MN$交$AB$于点$D$,连接$CD$。
若$CD=AC$,$∠ A=50°$,则$∠ ACB$的度数为(
D
)A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
D
解析
【分析】
首先根据题中的作图步骤判断出MN是BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到CD=BD，推出∠B=∠BCD；再结合已知CD=AC，可知△ACD为等腰三角形，可求出∠ADC的度数，接着利用三角形外角的性质求出∠B的度数，最后根据三角形内角和定理计算∠ACB的度数即可。
【解析】
1. 由作图步骤可知，MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$CD=BD$，因此$∠ B=∠ BCD$。
2. 已知$CD=AC$，$∠ A=50°$，所以△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ ADC=∠ A=50°$。
3. 因为$∠ ADC$是△BCD的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BCD=2∠ B$，因此$∠ B=50°÷2=25°$。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-25°=105°$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了尺规作图的识别和几何基本性质的应用，解题的关键是先根据作图特征判断出MN是BC的垂直平分线，再结合等腰三角形、三角形角度的相关性质逐步推导计算。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的作图步骤判断出MN是BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到CD=BD，推出∠B=∠BCD；再结合已知CD=AC，可知△ACD为等腰三角形，可求出∠ADC的度数，接着利用三角形外角的性质求出∠B的度数，最后根据三角形内角和定理计算∠ACB的度数即可。
【解析】
1. 由作图步骤可知，MN是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$CD=BD$，因此$∠ B=∠ BCD$。
2. 已知$CD=AC$，$∠ A=50°$，所以△ACD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ ADC=∠ A=50°$。
3. 因为$∠ ADC$是△BCD的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADC=∠ B+∠ BCD=2∠ B$，因此$∠ B=50°÷2=25°$。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-25°=105°$。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，综合考查了尺规作图的识别和几何基本性质的应用，解题的关键是先根据作图特征判断出MN是BC的垂直平分线，再结合等腰三角形、三角形角度的相关性质逐步推导计算。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为点D，点P是MN上一点。若AB=10 cm，则BD=
5
cm；若PA=10 cm，则PB=10
cm。答案
5 10
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的相关性质：1. 线段垂直平分线会平分该线段，垂足是线段的中点；2. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一空求BD的长度，已知AB总长，结合D是AB中点即可计算；第二空求PB的长度，已知PA的长度，结合P在AB的垂直平分线上，利用距离相等的性质即可直接得出结果。
【解析】
1. 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，所以D是线段AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=10\mathrm{cm}$，代入得$BD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
2. 因为点P在AB的垂直平分线MN上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PB=PA$。
已知$PA=10\mathrm{cm}$，所以$PB=10\mathrm{cm}$。
【答案】
5；10
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是对线段垂直平分线相关概念和性质的直接考查，属于基础题型，熟练牢记对应性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆线段垂直平分线的相关性质：1. 线段垂直平分线会平分该线段，垂足是线段的中点；2. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一空求BD的长度，已知AB总长，结合D是AB中点即可计算；第二空求PB的长度，已知PA的长度，结合P在AB的垂直平分线上，利用距离相等的性质即可直接得出结果。
【解析】
1. 因为直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，所以D是线段AB的中点，因此$BD=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=10\mathrm{cm}$，代入得$BD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$。
2. 因为点P在AB的垂直平分线MN上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$PB=PA$。
已知$PA=10\mathrm{cm}$，所以$PB=10\mathrm{cm}$。
【答案】
5；10
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是对线段垂直平分线相关概念和性质的直接考查，属于基础题型，熟练牢记对应性质即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
