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5.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,点D是BC边上一点,BD的垂直平分线交AB于点E。将$△ ACD$沿AD折叠,使点C恰好与点E重合,则$∠ B$等于
20°
。答案
20°
解析
【分析】
解题时先结合已知条件提取性质：①点E在BD的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得EB=ED，由等边对等角推出∠B=∠EDB；②△ACD沿AD折叠后点C与E重合，根据折叠的性质可得∠C=∠AED。再利用三角形外角的性质，得∠AED是△BED的外角，所以∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，进而得到∠C=2∠B。最后结合△ABC的内角和为180°，已知∠BAC=120°，代入角的关系即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB。
∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED。
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠C=2∠B。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，已知∠BAC=120°，
代入得：120°+∠B+2∠B=180°，
即3∠B=60°，
解得∠B=20°。
【答案】
20°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过垂直平分线、折叠的性质推导不同角之间的等量关系，再结合三角形内角和公式建立方程求解，有助于锻炼学生的角关系推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知条件提取性质：①点E在BD的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得EB=ED，由等边对等角推出∠B=∠EDB；②△ACD沿AD折叠后点C与E重合，根据折叠的性质可得∠C=∠AED。再利用三角形外角的性质，得∠AED是△BED的外角，所以∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，进而得到∠C=2∠B。最后结合△ABC的内角和为180°，已知∠BAC=120°，代入角的关系即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵点E在BD的垂直平分线上，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB。
∵将△ACD沿AD折叠，点C恰好与点E重合，
∴△ACD≌△AED，
∴∠C=∠AED。
∵∠AED是△BED的外角，
∴∠AED=∠B+∠EDB=2∠B，
∴∠C=2∠B。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，已知∠BAC=120°，
代入得：120°+∠B+2∠B=180°，
即3∠B=60°，
解得∠B=20°。
【答案】
20°
【知识点】
线段垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是通过垂直平分线、折叠的性质推导不同角之间的等量关系，再结合三角形内角和公式建立方程求解，有助于锻炼学生的角关系推导能力。
【难度系数】
0.6
6.如图,在$△ ABC$中,$DE,FG$分别是边$AB$,$AC$的垂直平分线,分别交$BC$于点$E,G$,连接$AE,AG$。若$BC=8$,则$△ AEG$的周长为
8
。答案
8
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，DE是AB的垂直平分线，因此点E到A、B的距离相等，即AE=BE；FG是AC的垂直平分线，因此点G到A、C的距离相等，即AG=CG。接下来求△AEG的周长，其周长为AE+EG+AG，将AE替换为BE、AG替换为CG，就可以把周长转化为BE+EG+CG，刚好是线段BC的长度，代入BC的数值即可得到结果。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴AG = CG
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=CG代入得：
周长 = BE + EG + CG = BC
已知BC=8，因此△AEG的周长为8。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，解题时要注意观察线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，DE是AB的垂直平分线，因此点E到A、B的距离相等，即AE=BE；FG是AC的垂直平分线，因此点G到A、C的距离相等，即AG=CG。接下来求△AEG的周长，其周长为AE+EG+AG，将AE替换为BE、AG替换为CG，就可以把周长转化为BE+EG+CG，刚好是线段BC的长度，代入BC的数值即可得到结果。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴AE = BE
∵FG是AC的垂直平分线，点G在FG上
∴AG = CG
△AEG的周长 = AE + EG + AG
将AE=BE、AG=CG代入得：
周长 = BE + EG + CG = BC
已知BC=8，因此△AEG的周长为8。
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质做等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，解题时要注意观察线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E。
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度数；
(2)若AB=12,△CBD的周长为20,求△ABC的周长。
(1)若∠A=40°,求∠DBC的度数；
(2)若AB=12,△CBD的周长为20,求△ABC的周长。
答案
解:(1)在$△ ABC$中,因为$AB=AC$,$∠ A=40°$,
所以$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=70°$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，
所以$AD=BD$,所以$∠ ABD=∠ A=40°$,
所以$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$。
(2)因为$△ CBD$的周长为20，
所以$BD+DC+BC=20$。
因为$AD=BD$，
所以$AD+DC+BC=AC+BC=20$。
又因为$AB=12$，
所以$△ ABC$的周长是
$AB+BC+AC=12+20=32$。
所以$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=70°$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，
所以$AD=BD$,所以$∠ ABD=∠ A=40°$,
所以$∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=70°-40°=30°$。
(2)因为$△ CBD$的周长为20，
所以$BD+DC+BC=20$。
因为$AD=BD$，
所以$AD+DC+BC=AC+BC=20$。
又因为$AB=12$，
所以$△ ABC$的周长是
$AB+BC+AC=12+20=32$。
解析
【分析】
(1) 先根据△ABC中AB=AC判断其为等腰三角形，已知顶角∠A的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质可算出底角∠ABC的度数；再结合MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AD=BD，推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
(2) 求△ABC的周长，已知AB的长度，只需算出AC+BC的和即可。已知△CBD的周长为20，结合AD=BD，将BD等量替换为AD，可得△CBD的周长等价于AC+BC的长度，再加上AB的长度就能得到△ABC的总周长。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。
(2)
∵△CBD的周长为20，
∴BD+DC+BC=20。
∵AD=BD，
∴AD+DC+BC=AC+BC=20。
又
∵AB=12，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+20=32。
【答案】
(1) ∠DBC的度数为30°；
(2) △ABC的周长为32。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查等腰三角形和线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过等量代换实现角度和线段长度的转化，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据△ABC中AB=AC判断其为等腰三角形，已知顶角∠A的度数，利用等腰三角形两底角相等的性质可算出底角∠ABC的度数；再结合MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得AD=BD，推出∠ABD=∠A，最后用∠ABC减去∠ABD即可求出∠DBC的度数。
(2) 求△ABC的周长，已知AB的长度，只需算出AC+BC的和即可。已知△CBD的周长为20，结合AD=BD，将BD等量替换为AD，可得△CBD的周长等价于AC+BC的长度，再加上AB的长度就能得到△ABC的总周长。
【解析】
(1) 在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。
(2)
∵△CBD的周长为20，
∴BD+DC+BC=20。
∵AD=BD，
∴AD+DC+BC=AC+BC=20。
又
∵AB=12，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+20=32。
【答案】
(1) ∠DBC的度数为30°；
(2) △ABC的周长为32。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查等腰三角形和线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过等量代换实现角度和线段长度的转化，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，$120°＜∠ BAC＜180°$，直线$AD$为$BC$边的垂直平分线，以$AC$为边作等边$△ ACE$，$△ ACE$与$△ ABC$在直线$AC$的异侧，直线$BE$交$DA$的延长线于点$F$，连接$FC$交$AE$于点$M$。
(1)$∠ FEA$与$∠ FBA$相等吗？请说明理由；
(2)求$∠ EFC$的度数。
(1)$∠ FEA$与$∠ FBA$相等吗？请说明理由；
(2)求$∠ EFC$的度数。
答案
解:(1)$∠ FEA=∠ FBA$。
因为$AD$为$BC$边的垂直平分线，
所以$AB=AC$。
因为$△ ACE$为等边三角形，
所以$AC=AE$，
所以$AB=AE$，
所以$∠ FEA=∠ FBA$。
(2)因为直线$AD$垂直平分$BC$，
所以$AB=AC$,$FB=FC$，
所以$∠ ABC=∠ ACB$,$∠ FBC=∠ FCB$，
所以$∠ FBC-∠ ABC=∠ FCB-∠ ACB$，
即$∠ ABE=∠ ACF$。
由(1)知$∠ ABE=∠ AEF$，
所以$∠ AEF=∠ ACF$。
又因为$∠ FME=∠ CMA$，
所以$∠ EFC=∠ CAE$。
因为等边$△ ACE$中,$∠ CAE=60°$,
所以$∠ EFC=60°$。
因为$AD$为$BC$边的垂直平分线，
所以$AB=AC$。
因为$△ ACE$为等边三角形，
所以$AC=AE$，
所以$AB=AE$，
所以$∠ FEA=∠ FBA$。
(2)因为直线$AD$垂直平分$BC$，
所以$AB=AC$,$FB=FC$，
所以$∠ ABC=∠ ACB$,$∠ FBC=∠ FCB$，
所以$∠ FBC-∠ ABC=∠ FCB-∠ ACB$，
即$∠ ABE=∠ ACF$。
由(1)知$∠ ABE=∠ AEF$，
所以$∠ AEF=∠ ACF$。
又因为$∠ FME=∠ CMA$，
所以$∠ EFC=∠ CAE$。
因为等边$△ ACE$中,$∠ CAE=60°$,
所以$∠ EFC=60°$。
解析
【分析】
(1) 要判断∠FEA和∠FBA是否相等，首先利用线段垂直平分线的性质得到AB=AC，再结合等边三角形三边相等的性质推出AB=AE，最后根据等腰三角形“等边对等角”的性质即可证明两个角相等。
(2) 要求∠EFC的度数，先再次利用线段垂直平分线的性质得到FB=FC，推出∠FBC=∠FCB，结合AB=AC得到的∠ABC=∠ACB，通过角的差得到∠ABE=∠ACF，结合第一问的结论得到∠AEF=∠ACF，再利用对顶角相等和三角形内角和为180°，即可推出∠EFC等于等边三角形的内角∠CAE，从而得到对应度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠FEA=∠FBA}$，理由如下：
因为直线$AD$为$BC$边的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AB=AC$。
又因为$△ ACE$为等边三角形，根据等边三角形三边相等，可得$AC=AE$，
所以$AB=AE$，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得$∠FEA=∠FBA$。
(2) 因为直线$AD$垂直平分$BC$，
所以$AB=AC$，$FB=FC$，
根据等腰三角形“等边对等角”的性质，得$∠ABC=∠ACB$，$∠FBC=∠FCB$，
所以$∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB$，即$∠ABE=∠ACF$。
由(1)知$∠ABE=∠AEF$，所以$∠AEF=∠ACF$。
又因为$∠FME$和$∠CMA$是对顶角，所以$∠FME=∠CMA$，
在$△ FME$和$△ CMA$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠EFC=∠CAE$。
因为等边$△ ACE$中，$∠CAE=60°$，所以$∠EFC=60°$。
【答案】
(1) $∠FEA$与$∠FBA$相等，理由见解析；
(2) $∠EFC=60°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题核心是通过线段相等的关系推导角的等量关系，再结合三角形内角和的性质求解角度，注重考查对基础性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断∠FEA和∠FBA是否相等，首先利用线段垂直平分线的性质得到AB=AC，再结合等边三角形三边相等的性质推出AB=AE，最后根据等腰三角形“等边对等角”的性质即可证明两个角相等。
(2) 要求∠EFC的度数，先再次利用线段垂直平分线的性质得到FB=FC，推出∠FBC=∠FCB，结合AB=AC得到的∠ABC=∠ACB，通过角的差得到∠ABE=∠ACF，结合第一问的结论得到∠AEF=∠ACF，再利用对顶角相等和三角形内角和为180°，即可推出∠EFC等于等边三角形的内角∠CAE，从而得到对应度数。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠FEA=∠FBA}$，理由如下：
因为直线$AD$为$BC$边的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AB=AC$。
又因为$△ ACE$为等边三角形，根据等边三角形三边相等，可得$AC=AE$，
所以$AB=AE$，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得$∠FEA=∠FBA$。
(2) 因为直线$AD$垂直平分$BC$，
所以$AB=AC$，$FB=FC$，
根据等腰三角形“等边对等角”的性质，得$∠ABC=∠ACB$，$∠FBC=∠FCB$，
所以$∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB$，即$∠ABE=∠ACF$。
由(1)知$∠ABE=∠AEF$，所以$∠AEF=∠ACF$。
又因为$∠FME$和$∠CMA$是对顶角，所以$∠FME=∠CMA$，
在$△ FME$和$△ CMA$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠EFC=∠CAE$。
因为等边$△ ACE$中，$∠CAE=60°$，所以$∠EFC=60°$。
【答案】
(1) $∠FEA$与$∠FBA$相等，理由见解析；
(2) $∠EFC=60°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题核心是通过线段相等的关系推导角的等量关系，再结合三角形内角和的性质求解角度，注重考查对基础性质的灵活运用能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
