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9. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，且$BD=DE$。
(1)若$∠ C=40°$，求$∠ BAD$的度数；
(2)若$AC=5$，$DC=4$，求$△ ABC$的周长。
(1)若$∠ C=40°$，求$∠ BAD$的度数；
(2)若$AC=5$，$DC=4$，求$△ ABC$的周长。
答案
解:(1)因为$EF$垂直平分$AC$，
所以$AE=CE$，
所以$∠ C=∠ EAC=40°$。
因为$AD⊥ BC$，
所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ DAC=90°-∠ C=90°-40°=50°$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE,\\BD=DE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ BAD=∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC$
$=50°-40°=10°$。
(2)由(1)知$AE=CE=AB$。
又因为$BD=DE$，
所以$AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC$，
所以$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=2DC+AC=2×4+5=13$。
所以$AE=CE$，
所以$∠ C=∠ EAC=40°$。
因为$AD⊥ BC$，
所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ DAC=90°-∠ C=90°-40°=50°$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE,\\BD=DE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ BAD=∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC$
$=50°-40°=10°$。
(2)由(1)知$AE=CE=AB$。
又因为$BD=DE$，
所以$AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC$，
所以$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=2DC+AC=2×4+5=13$。
解析
【分析】
(1) 求∠BAD的度数可按以下思路推导：首先由EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，结合等边对等角求出∠EAC的度数；再由AD⊥BC，在直角△ADC中求出∠DAC的度数；最后根据BD=DE、AD为公共边、AD垂直BC，用SAS判定△ABD≌△AED，得到∠BAD=∠DAE，用∠DAC减去∠EAC即可得到∠BAD的度数。
(2) 求△ABC的周长，周长为AB+BC+AC，已知AC的长度，只需推导AB+BC的长度：结合(1)的结论得AB=AE=CE，再结合BD=DE，将AB+BD转化为CE+DE=DC，即可得AB+BC=2DC，代入数值即可算出周长。
【解析】
(1) 因为$EF$垂直平分$AC$，
所以$AE=CE$，
所以$∠ C=∠ EAC=40°$。
因为$AD⊥ BC$，
所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ DAC=90°-∠ C=90°-40°=50°$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE=90°,\\BD=DE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ BAD=∠ DAE$，
所以$∠ BAD=∠ DAC-∠ EAC=50°-40°=10°$。
(2) 由(1)知$AB=AE$，又$AE=CE$，故$AB=CE$。
又因为$BD=DE$，
所以$AB+BD=CE+DE=DC=4$，
所以$AB+BC=AB+BD+DC=4+4=8$，
所以$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=8+5=13$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10°}$；(2) $\boldsymbol{13}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形板块的基础综合题，解题的关键是利用几何性质实现角、线段的等量转化，将未知量转化为已知条件，是该章节的常考题型，需要熟练掌握相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BAD的度数可按以下思路推导：首先由EF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，结合等边对等角求出∠EAC的度数；再由AD⊥BC，在直角△ADC中求出∠DAC的度数；最后根据BD=DE、AD为公共边、AD垂直BC，用SAS判定△ABD≌△AED，得到∠BAD=∠DAE，用∠DAC减去∠EAC即可得到∠BAD的度数。
(2) 求△ABC的周长，周长为AB+BC+AC，已知AC的长度，只需推导AB+BC的长度：结合(1)的结论得AB=AE=CE，再结合BD=DE，将AB+BD转化为CE+DE=DC，即可得AB+BC=2DC，代入数值即可算出周长。
【解析】
(1) 因为$EF$垂直平分$AC$，
所以$AE=CE$，
所以$∠ C=∠ EAC=40°$。
因为$AD⊥ BC$，
所以$∠ ADC=90°$,
所以$∠ DAC=90°-∠ C=90°-40°=50°$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE=90°,\\BD=DE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
所以$∠ BAD=∠ DAE$，
所以$∠ BAD=∠ DAC-∠ EAC=50°-40°=10°$。
(2) 由(1)知$AB=AE$，又$AE=CE$，故$AB=CE$。
又因为$BD=DE$，
所以$AB+BD=CE+DE=DC=4$，
所以$AB+BC=AB+BD+DC=4+4=8$，
所以$△ ABC$的周长为$AB+BC+AC=8+5=13$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10°}$；(2) $\boldsymbol{13}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形板块的基础综合题，解题的关键是利用几何性质实现角、线段的等量转化，将未知量转化为已知条件，是该章节的常考题型，需要熟练掌握相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
10. 在$△ ABC$中，AB边的垂直平分线$l_1$交BC边于点D，AC边的垂直平分线$l_2$交BC边于点E，$l_1$与$l_2$相交于点O。
(1) 如图(1)，当$∠ B = ∠ C = 25°$时，求$∠ DAE$的度数；
(2) 如图(2)，已知$AB ≠ AC$，且$90° ≤ ∠ BAC ＜ 180°$。
①若$∠ BAC = 120°$，求$∠ DAE$的度数；
②当$AD ⊥ AE$时，求$∠ BAC$的度数；
(3) 如图(3)，连接OA，OB，OC，若$△ ADE$的周长为9 cm，$△ OBC$的周长为21 cm，求BC，OB的长。
(1) 如图(1)，当$∠ B = ∠ C = 25°$时，求$∠ DAE$的度数；
(2) 如图(2)，已知$AB ≠ AC$，且$90° ≤ ∠ BAC ＜ 180°$。
①若$∠ BAC = 120°$，求$∠ DAE$的度数；
②当$AD ⊥ AE$时，求$∠ BAC$的度数；
(3) 如图(3)，连接OA，OB，OC，若$△ ADE$的周长为9 cm，$△ OBC$的周长为21 cm，求BC，OB的长。
答案
解:(1)因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
故$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C=25°+25°=50°$。
因为$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)$
$=180°-50°=130°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)$
$=130°-50°=80°$。
(2)①因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAC=120°$,
所以$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-120°=60°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=60°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)=120°-60°=60°$。
②当$AD⊥ AE$时,$∠ DAE=90°$。
因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAD+∠ EAC+∠ B+∠ C+∠ DAE=180°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$,
所以$∠ BAC=∠ DAE+∠ BAD+∠ EAC$
$=90°+45°=135°$。
(3)因为$l_1$是$AB$的垂直平分线，
所以$DA=DB$,$OB=OA$。
同理,$EA=EC$,$OC=OA$。
所以$DA+DE+EA=BD+DE+EC=BC$。
因为$△ ADE$的周长是9 cm，
所以$BC=9$ cm。
因为$△ OBC$的周长是21 cm，
所以$OB+OC+BC=21$ cm，
所以$OB+OC=21\ \mathrm{cm}-9\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$,
所以$OB=OC=6\ \mathrm{cm}$。
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
故$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C=25°+25°=50°$。
因为$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)$
$=180°-50°=130°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)$
$=130°-50°=80°$。
(2)①因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAC=120°$,
所以$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-120°=60°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=60°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)=120°-60°=60°$。
②当$AD⊥ AE$时,$∠ DAE=90°$。
因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAD+∠ EAC+∠ B+∠ C+∠ DAE=180°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$,
所以$∠ BAC=∠ DAE+∠ BAD+∠ EAC$
$=90°+45°=135°$。
(3)因为$l_1$是$AB$的垂直平分线，
所以$DA=DB$,$OB=OA$。
同理,$EA=EC$,$OC=OA$。
所以$DA+DE+EA=BD+DE+EC=BC$。
因为$△ ADE$的周长是9 cm，
所以$BC=9$ cm。
因为$△ OBC$的周长是21 cm，
所以$OB+OC+BC=21$ cm，
所以$OB+OC=21\ \mathrm{cm}-9\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$,
所以$OB=OC=6\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题的核心突破口是线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得到等腰三角形，进而利用等边对等角得到等角关系，或完成线段的等量代换。
1. 求解(1)问时，先明确∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)，通过垂直平分线性质得∠BAD=∠B、∠EAC=∠C，结合三角形内角和算出∠BAC后代入即可求解。
2. 求解(2)①时，思路同(1)，仅需先用内角和求出∠B+∠C的和，再代入角度差关系计算。
3. 求解(2)②时，已知∠DAE=90°，结合∠BAD+∠EAC=∠B+∠C，将∠BAC拆分为∠DAE+∠BAD+∠EAC，代入三角形内角和公式推导即可。
4. 求解(3)问时，将△ADE的周长通过垂直平分线的线段等量关系转化为BC的长度；再利用垂直平分线交点到三角形三个顶点距离相等的性质，结合△OBC的周长即可求出OB的长度。
【解析】
(1)因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
故$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C=25°+25°=50°$。
因为$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)$
$=180°-50°=130°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)$
$=130°-50°=80°$。
(2)①因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAC=120°$,
所以$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-120°=60°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=60°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)=120°-60°=60°$。
②当$AD⊥ AE$时,$∠ DAE=90°$。
因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAD+∠ EAC+∠ B+∠ C+∠ DAE=180°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$,
所以$∠ BAC=∠ DAE+∠ BAD+∠ EAC$
$=90°+45°=135°$。
(3)因为$l_1$是$AB$的垂直平分线，
所以$DA=DB$,$OB=OA$。
同理,$EA=EC$,$OC=OA$。
所以$DA+DE+EA=BD+DE+EC=BC$。
因为$△ ADE$的周长是9 cm，
所以$BC=9$ cm。
因为$△ OBC$的周长是21 cm，
所以$OB+OC+BC=21$ cm，
所以$OB+OC=21\ \mathrm{cm}-9\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$,
所以$OB=OC=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ DAE=80°$；
(2) ①$∠ DAE=60°$；②$∠ BAC=135°$；
(3) $BC=9\ \mathrm{cm}$，$OB=6\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，围绕垂直平分线性质，结合等腰三角形、内角和定理考查角度计算与线段长度推导，解题核心是利用垂直平分线性质完成角、线段的等量代换，对提升几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
解题的核心突破口是线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得到等腰三角形，进而利用等边对等角得到等角关系，或完成线段的等量代换。
1. 求解(1)问时，先明确∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)，通过垂直平分线性质得∠BAD=∠B、∠EAC=∠C，结合三角形内角和算出∠BAC后代入即可求解。
2. 求解(2)①时，思路同(1)，仅需先用内角和求出∠B+∠C的和，再代入角度差关系计算。
3. 求解(2)②时，已知∠DAE=90°，结合∠BAD+∠EAC=∠B+∠C，将∠BAC拆分为∠DAE+∠BAD+∠EAC，代入三角形内角和公式推导即可。
4. 求解(3)问时，将△ADE的周长通过垂直平分线的线段等量关系转化为BC的长度；再利用垂直平分线交点到三角形三个顶点距离相等的性质，结合△OBC的周长即可求出OB的长度。
【解析】
(1)因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
故$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C=25°+25°=50°$。
因为$∠ BAC=180°-(∠ B+∠ C)$
$=180°-50°=130°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)$
$=130°-50°=80°$。
(2)①因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAC=120°$,
所以$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-120°=60°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=60°$,
所以$∠ DAE=∠ BAC-(∠ BAD+∠ EAC)=120°-60°=60°$。
②当$AD⊥ AE$时,$∠ DAE=90°$。
因为$AB$边的垂直平分线$l_1$交$BC$边于点$D$，
所以$DA=DB$，
所以$∠ BAD=∠ B$。
同理,$∠ EAC=∠ C$，
所以$∠ BAD+∠ EAC=∠ B+∠ C$。
因为$∠ BAD+∠ EAC+∠ B+∠ C+∠ DAE=180°$,
所以$∠ BAD+∠ EAC=\frac{1}{2}×(180°-90°)=45°$,
所以$∠ BAC=∠ DAE+∠ BAD+∠ EAC$
$=90°+45°=135°$。
(3)因为$l_1$是$AB$的垂直平分线，
所以$DA=DB$,$OB=OA$。
同理,$EA=EC$,$OC=OA$。
所以$DA+DE+EA=BD+DE+EC=BC$。
因为$△ ADE$的周长是9 cm，
所以$BC=9$ cm。
因为$△ OBC$的周长是21 cm，
所以$OB+OC+BC=21$ cm，
所以$OB+OC=21\ \mathrm{cm}-9\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{cm}$,
所以$OB=OC=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ DAE=80°$；
(2) ①$∠ DAE=60°$；②$∠ BAC=135°$；
(3) $BC=9\ \mathrm{cm}$，$OB=6\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，围绕垂直平分线性质，结合等腰三角形、内角和定理考查角度计算与线段长度推导，解题核心是利用垂直平分线性质完成角、线段的等量代换，对提升几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
