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1. 如图是一块扇面宣传展板的部分示意图，它是以点O为圆心，分别以OA，OB的长为半径，圆心角∠O=120°的扇面。若OA=6 m，OB=4 m，则阴影部分的面积为 （
A.$12π \ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{20}{3}π \ \mathrm{m}^2$
C.$8 \ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{16}{3} \ \mathrm{m}^2$
B
）A.$12π \ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{20}{3}π \ \mathrm{m}^2$
C.$8 \ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{16}{3} \ \mathrm{m}^2$
答案
1.B
解析
【分析】
阴影部分为扇环，属于不规则图形，可通过割补法转化为两个规则扇形的面积差求解。解题时先回忆扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），分别计算以OA为半径的大扇形面积和以OB为半径的小扇形面积，两者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
阴影部分面积 = 大扇形OAD的面积 - 小扇形OBC的面积，已知圆心角$∠ O=120°$，$OA=6\ \mathrm{m}$，$OB=4\ \mathrm{m}$，根据扇形面积公式：
1. 计算大扇形面积：
$S_{\mathrm{大扇形}}=\frac{120π × 6^2}{360}=\frac{120π × 36}{360}=12π\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形面积：
$S_{\mathrm{小扇形}}=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{120π × 16}{360}=\frac{16}{3}π\ \mathrm{m}^2$
3. 作差求阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=12π - \frac{16}{3}π=\frac{36π - 16π}{3}=\frac{20}{3}π\ \mathrm{m}^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题型，核心思路是将未知的不规则图形面积转化为已知的规则图形面积的和差，牢记扇形面积公式是解题的关键，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
阴影部分为扇环，属于不规则图形，可通过割补法转化为两个规则扇形的面积差求解。解题时先回忆扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），分别计算以OA为半径的大扇形面积和以OB为半径的小扇形面积，两者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
阴影部分面积 = 大扇形OAD的面积 - 小扇形OBC的面积，已知圆心角$∠ O=120°$，$OA=6\ \mathrm{m}$，$OB=4\ \mathrm{m}$，根据扇形面积公式：
1. 计算大扇形面积：
$S_{\mathrm{大扇形}}=\frac{120π × 6^2}{360}=\frac{120π × 36}{360}=12π\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形面积：
$S_{\mathrm{小扇形}}=\frac{120π × 4^2}{360}=\frac{120π × 16}{360}=\frac{16}{3}π\ \mathrm{m}^2$
3. 作差求阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=12π - \frac{16}{3}π=\frac{36π - 16π}{3}=\frac{20}{3}π\ \mathrm{m}^2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题型，核心思路是将未知的不规则图形面积转化为已知的规则图形面积的和差，牢记扇形面积公式是解题的关键，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
2. 如图，直径AB为3的半圆，绕点A逆时针旋转$60°$，此时点B旋转到点$B'$处，则图中阴影部分的面积是（
A.$3π$
B.$\dfrac{3π}{2}$
C.$6π$
D.$24π$
B
）A.$3π$
B.$\dfrac{3π}{2}$
C.$6π$
D.$24π$
答案
2.B
解析
【分析】
本题是求不规则阴影部分的面积，可通过割补转化法简化计算：首先根据旋转的性质，旋转前后图形的面积不变，可知半圆AB和旋转后得到的半圆AB'面积相等。观察图形可得阴影部分的面积 = 半圆AB'的面积 + 扇形ABB'的面积 - 半圆AB的面积，两个半圆面积相互抵消，因此只需要计算圆心角为60°、半径为3的扇形ABB'的面积即可。
【解析】
由旋转的性质可得：$S_{半圆AB}=S_{半圆AB'}$，旋转角$∠ BAB'=60°$，$AB=AB'=3$。
阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{半圆AB'}+S_{扇形ABB'}-S_{半圆AB}\\&=S_{扇形ABB'}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=60$，$r=3$：
$\begin{aligned}S_{扇形ABB'}&=\frac{60π×3^2}{360}\\&=\frac{60π×9}{360}\\&=\frac{3π}{2}\end{aligned}$
即阴影部分面积为$\frac{3π}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题解题核心是利用旋转的性质实现不规则图形面积到规则图形面积的转化，避免复杂的分割计算，是求与圆有关的阴影面积的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题是求不规则阴影部分的面积，可通过割补转化法简化计算：首先根据旋转的性质，旋转前后图形的面积不变，可知半圆AB和旋转后得到的半圆AB'面积相等。观察图形可得阴影部分的面积 = 半圆AB'的面积 + 扇形ABB'的面积 - 半圆AB的面积，两个半圆面积相互抵消，因此只需要计算圆心角为60°、半径为3的扇形ABB'的面积即可。
【解析】
由旋转的性质可得：$S_{半圆AB}=S_{半圆AB'}$，旋转角$∠ BAB'=60°$，$AB=AB'=3$。
阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{半圆AB'}+S_{扇形ABB'}-S_{半圆AB}\\&=S_{扇形ABB'}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=60$，$r=3$：
$\begin{aligned}S_{扇形ABB'}&=\frac{60π×3^2}{360}\\&=\frac{60π×9}{360}\\&=\frac{3π}{2}\end{aligned}$
即阴影部分面积为$\frac{3π}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题解题核心是利用旋转的性质实现不规则图形面积到规则图形面积的转化，避免复杂的分割计算，是求与圆有关的阴影面积的典型考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在等腰$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC = 2\sqrt{2}$，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E；以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（
A.$π - 2$
B.$2π - 2$
C.$2π - 4$
D.$4π - 4$
C
）A.$π - 2$
B.$2π - 2$
C.$2π - 4$
D.$4π - 4$
答案
3.C
解析
【分析】
本题求不规则阴影部分的面积，采用和差法求解：首先观察图形可知，阴影是两个扇形的重叠区域，因此阴影面积等于两个圆心角为45°的扇形面积之和减去等腰直角△ABC的面积。解题时先确定等腰直角三角形的角度和边长，再分别计算扇形面积、三角形面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
在等腰$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=2\sqrt{2}$，因此$∠ A=∠ B=45°$。
1. 计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
2. 计算单个扇形的面积：
扇形半径$r=AC=BC=2\sqrt{2}$，圆心角为$45°$，因此单个扇形面积：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°}×π r^2=\frac{45°}{360°}×π×(2\sqrt{2})^2=\frac{1}{8}×π×8=π$。
两个扇形面积之和为$2×π=2π$。
3. 计算阴影部分面积：
两个扇形重叠部分为阴影，因此$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{两个扇形和}}-S_{△ ABC}=2π-4$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算、割补法求阴影面积、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题关键是找准不规则阴影与规则图形面积的和差关系，熟记相关面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题求不规则阴影部分的面积，采用和差法求解：首先观察图形可知，阴影是两个扇形的重叠区域，因此阴影面积等于两个圆心角为45°的扇形面积之和减去等腰直角△ABC的面积。解题时先确定等腰直角三角形的角度和边长，再分别计算扇形面积、三角形面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
在等腰$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=2\sqrt{2}$，因此$∠ A=∠ B=45°$。
1. 计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
2. 计算单个扇形的面积：
扇形半径$r=AC=BC=2\sqrt{2}$，圆心角为$45°$，因此单个扇形面积：
$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{n}{360°}×π r^2=\frac{45°}{360°}×π×(2\sqrt{2})^2=\frac{1}{8}×π×8=π$。
两个扇形面积之和为$2×π=2π$。
3. 计算阴影部分面积：
两个扇形重叠部分为阴影，因此$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{两个扇形和}}-S_{△ ABC}=2π-4$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算、割补法求阴影面积、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，解题关键是找准不规则阴影与规则图形面积的和差关系，熟记相关面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是
$8-2π$
.(结果保留π)答案
4.$8-2π$
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的差求解。观察图形可知，阴影部分面积等于等腰直角三角形ABD的面积减去扇形ABE的面积，只需分别计算两个规则图形的面积再作差即可得到结果。首先根据正方形性质确定三角形的边长、扇形的圆心角和半径，再代入对应公式计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为4，
∴AB=AD=4，∠A=90°，∠ABD=45°，且BE=AB=4（扇形半径等于正方形边长）。
①计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
②计算扇形ABE的面积（扇形圆心角$n=45°$，半径$r=4$）：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，得
$S_{\mathrm{扇形}ABE}=\frac{45π × 4^2}{360}=\frac{45π × 16}{360}=2π$
③阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}-S_{\mathrm{扇形}ABE}=8-2π$
【答案】
$8-2π$
【知识点】
割补法求面积，扇形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题核心是利用转化思想求解不规则图形面积，解题的关键是准确找到阴影面积对应的规则图形面积的和差关系，熟记扇形面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的差求解。观察图形可知，阴影部分面积等于等腰直角三角形ABD的面积减去扇形ABE的面积，只需分别计算两个规则图形的面积再作差即可得到结果。首先根据正方形性质确定三角形的边长、扇形的圆心角和半径，再代入对应公式计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为4，
∴AB=AD=4，∠A=90°，∠ABD=45°，且BE=AB=4（扇形半径等于正方形边长）。
①计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$
②计算扇形ABE的面积（扇形圆心角$n=45°$，半径$r=4$）：
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，得
$S_{\mathrm{扇形}ABE}=\frac{45π × 4^2}{360}=\frac{45π × 16}{360}=2π$
③阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABD}-S_{\mathrm{扇形}ABE}=8-2π$
【答案】
$8-2π$
【知识点】
割补法求面积，扇形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题核心是利用转化思想求解不规则图形面积，解题的关键是准确找到阴影面积对应的规则图形面积的和差关系，熟记扇形面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5. 如图,扇形纸片$AOB$的半径为4,沿$AB$折叠扇形纸片,点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点$C$处,图中阴影部分的面积为（
A.$\dfrac{16π}{3} - 4\sqrt{3}$
B.$\dfrac{32π}{3} - 4\sqrt{3}$
C.$\dfrac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$
D.$\dfrac{32π}{3} - 8\sqrt{3}$
C
）A.$\dfrac{16π}{3} - 4\sqrt{3}$
B.$\dfrac{32π}{3} - 4\sqrt{3}$
C.$\dfrac{16π}{3} - 8\sqrt{3}$
D.$\dfrac{32π}{3} - 8\sqrt{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
求不规则阴影部分的面积，优先采用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先利用折叠的性质结合扇形半径相等，推出△AOC、△BOC均为等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数，再分别计算扇形AOB的面积和△AOB的面积，最后根据阴影面积与规则图形面积的关系计算即可。
【解析】
连接OC，
1. 由折叠性质可得：$AC=AO$，$BC=BO$，
∵扇形半径相等，
∴$OA=OB=OC=4$，
∴$OA=AC=OC$，$OB=BC=OC$，即△AOC、△BOC均为等边三角形，
∴$∠AOC=∠COB=60°$，则$∠AOB=60°+60°=120°$。
2. 计算扇形AOB的面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$。
3. 计算△AOB的面积：
△AOB中，$OA=OB=4$，$∠AOB=120°$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB×\sin120°=\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
由折叠性质得$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}=4\sqrt{3}$。
4. 阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ AOB}-S_{△ ABC}=\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；折叠的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于与圆有关的不规则面积计算类问题，解题核心是通过折叠性质找到线段和角的数量关系，将阴影面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的差，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
求不规则阴影部分的面积，优先采用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先利用折叠的性质结合扇形半径相等，推出△AOC、△BOC均为等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数，再分别计算扇形AOB的面积和△AOB的面积，最后根据阴影面积与规则图形面积的关系计算即可。
【解析】
连接OC，
1. 由折叠性质可得：$AC=AO$，$BC=BO$，
∵扇形半径相等，
∴$OA=OB=OC=4$，
∴$OA=AC=OC$，$OB=BC=OC$，即△AOC、△BOC均为等边三角形，
∴$∠AOC=∠COB=60°$，则$∠AOB=60°+60°=120°$。
2. 计算扇形AOB的面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$。
3. 计算△AOB的面积：
△AOB中，$OA=OB=4$，$∠AOB=120°$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB×\sin120°=\frac{1}{2}×4×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$，
由折叠性质得$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}=4\sqrt{3}$。
4. 阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ AOB}-S_{△ ABC}=\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；折叠的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于与圆有关的不规则面积计算类问题，解题核心是通过折叠性质找到线段和角的数量关系，将阴影面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的差，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
6.如图，在$□ ABCD$中，$AB＜AD$，$∠ D=30°$，$CD=4$，以AB为直径的$\odot O$交BC于点E，则阴影部分的面积为
$\dfrac{4π}{3}-\sqrt{3}$
.答案
6.$\dfrac{4π}{3}-\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题求解不规则阴影部分的面积，采用割补法转化为规则图形面积的差来计算：首先利用平行四边形的性质得到AB的长度与∠B的度数，即可得⊙O的半径；连接OE构造等腰△OBE，求出圆心角∠BOE的度数，再分别计算扇形OBE的面积和△OBE的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：连接OE，过点O作OF⊥BC于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=4，∠D=30°，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°。
∵AB是⊙O的直径，
∴OB=OE=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B=30°，
∴∠BOE=180°-30°×2=120°。
在Rt△OBF中，∠B=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=1，BF=OB·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∵OF⊥BC，OB=OE，
∴BE=2BF=2$\sqrt{3}$。
∴$S_{扇形BOE}=\frac{120°}{360°}×π×2^2=\frac{4π}{3}$，
$S_{△OBE}=\frac{1}{2}×BE×OF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
∴$S_{阴影}=S_{扇形BOE}-S_{△OBE}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\dfrac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、扇形面积计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题是与圆有关的不规则面积计算的典型题，解题关键是通过作辅助线将不规则阴影面积转化为扇形和三角形的面积差，同时结合平行四边形、圆的相关性质求解对应参数，是考试中高频考查的题型。
【难度系数】
0.6
本题求解不规则阴影部分的面积，采用割补法转化为规则图形面积的差来计算：首先利用平行四边形的性质得到AB的长度与∠B的度数，即可得⊙O的半径；连接OE构造等腰△OBE，求出圆心角∠BOE的度数，再分别计算扇形OBE的面积和△OBE的面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：连接OE，过点O作OF⊥BC于点F。
∵四边形ABCD是平行四边形，CD=4，∠D=30°，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°。
∵AB是⊙O的直径，
∴OB=OE=$\frac{1}{2}$AB=2。
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠B=30°，
∴∠BOE=180°-30°×2=120°。
在Rt△OBF中，∠B=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OB=1，BF=OB·cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∵OF⊥BC，OB=OE，
∴BE=2BF=2$\sqrt{3}$。
∴$S_{扇形BOE}=\frac{120°}{360°}×π×2^2=\frac{4π}{3}$，
$S_{△OBE}=\frac{1}{2}×BE×OF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
∴$S_{阴影}=S_{扇形BOE}-S_{△OBE}=\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
$\dfrac{4π}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、扇形面积计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题是与圆有关的不规则面积计算的典型题，解题关键是通过作辅助线将不规则阴影面积转化为扇形和三角形的面积差，同时结合平行四边形、圆的相关性质求解对应参数，是考试中高频考查的题型。
【难度系数】
0.6
