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8. 如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆。若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要明确核心解题逻辑：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此我们分三步推导：①先求出正六边形的内角度数，即扇形的圆心角；②结合扇形半径（正六边形边长）计算扇形弧长；③利用弧长等于底面周长的关系列方程求解底面半径。
【解析】
第一步：计算正六边形的内角度数
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正六边形边数$n=6$，因此内角和为：
$(6-2)×180°=720°$
正六边形每个内角相等，因此$∠ FAB=720°÷6=120°$，即阴影扇形的圆心角为$120°$。
第二步：计算阴影扇形的弧长
已知扇形半径$R=AB=6$，圆心角$n=120°$，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
第三步：求解圆锥底面圆半径
设圆锥底面圆半径为$r$，根据圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，可得：
$2π r=4π$
解得$r=2$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算，扇形弧长公式，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正多边形、扇形、圆锥的知识点结合考察，解题的关键是牢记圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系，熟练运用相关公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要明确核心解题逻辑：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。因此我们分三步推导：①先求出正六边形的内角度数，即扇形的圆心角；②结合扇形半径（正六边形边长）计算扇形弧长；③利用弧长等于底面周长的关系列方程求解底面半径。
【解析】
第一步：计算正六边形的内角度数
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为边数），正六边形边数$n=6$，因此内角和为：
$(6-2)×180°=720°$
正六边形每个内角相等，因此$∠ FAB=720°÷6=120°$，即阴影扇形的圆心角为$120°$。
第二步：计算阴影扇形的弧长
已知扇形半径$R=AB=6$，圆心角$n=120°$，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
第三步：求解圆锥底面圆半径
设圆锥底面圆半径为$r$，根据圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，可得：
$2π r=4π$
解得$r=2$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算，扇形弧长公式，圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将正多边形、扇形、圆锥的知识点结合考察，解题的关键是牢记圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系，熟练运用相关公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
9. 如图是用一个扇形纸片围成的一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)的示意图.若该圆锥的底面圆周长为$20π$ cm,侧面积为$240π$ cm²,则这个扇形的圆心角的度数是 (
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$160°$
C
)A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$160°$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先要明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，圆锥侧面积等于展开扇形的面积。第一步先利用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长，$R$为扇形半径即圆锥母线长），结合已知的侧面积和底面周长（即弧长）求出扇形半径$R$；第二步再利用扇形面积和圆心角的关系公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入已知数值即可求出圆心角的度数。
【解析】
设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，圆心角为$n°$。
由题意可知：圆锥侧面展开扇形的弧长$l$等于圆锥底面周长，即$l=20π\ \mathrm{cm}$，扇形面积等于圆锥侧面积，即$S=240π\ \mathrm{cm}^2$。
第一步，求扇形半径$R$：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入数据得：
$240π=\frac{1}{2}×20π× R$
解得：$R=24\ \mathrm{cm}$
第二步，求圆心角$n$：
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入$S=240π$，$R=24$得：
$240π=\frac{nπ×24^2}{360}$
两边同时约去$π$，整理得：
$n=\frac{240×360}{24^2}=150$
即扇形圆心角为$150°$。
【答案】
C
【知识点】
圆锥与展开扇形的关系，扇形面积计算
【点评】
本题核心是理清圆锥和侧面展开扇形的对应等量关系，熟练掌握扇形的两个面积公式是解题的关键，属于常考的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，圆锥侧面积等于展开扇形的面积。第一步先利用扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长，$R$为扇形半径即圆锥母线长），结合已知的侧面积和底面周长（即弧长）求出扇形半径$R$；第二步再利用扇形面积和圆心角的关系公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入已知数值即可求出圆心角的度数。
【解析】
设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，圆心角为$n°$。
由题意可知：圆锥侧面展开扇形的弧长$l$等于圆锥底面周长，即$l=20π\ \mathrm{cm}$，扇形面积等于圆锥侧面积，即$S=240π\ \mathrm{cm}^2$。
第一步，求扇形半径$R$：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入数据得：
$240π=\frac{1}{2}×20π× R$
解得：$R=24\ \mathrm{cm}$
第二步，求圆心角$n$：
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入$S=240π$，$R=24$得：
$240π=\frac{nπ×24^2}{360}$
两边同时约去$π$，整理得：
$n=\frac{240×360}{24^2}=150$
即扇形圆心角为$150°$。
【答案】
C
【知识点】
圆锥与展开扇形的关系，扇形面积计算
【点评】
本题核心是理清圆锥和侧面展开扇形的对应等量关系，熟练掌握扇形的两个面积公式是解题的关键，属于常考的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
10.[2025·黄山期末]如图，圆锥的底面半径是2，母线长是6.若A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度最短是（
A.$8\sqrt{3}$
B.$9\sqrt{3}$
C.$10\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
D
）A.$8\sqrt{3}$
B.$9\sqrt{3}$
C.$10\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$
答案
10.D
解析
【分析】
要计算绕圆锥侧面一圈回到A点的最短绳长，需将立体问题转化为平面问题求解：首先把圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间线段最短”，最短绳长就是展开图中A点对应两个端点的线段长度。解题步骤为：①利用圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，计算扇形的圆心角；②结合圆心角和母线长，在展开图中计算对应线段的长度。
【解析】
将圆锥侧面沿母线AB剪开，得到侧面展开图扇形BAC：
1. 计算扇形圆心角：设扇形的圆心角为$n°$，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列等式：
$2π r = \frac{nπ · l}{180}$
其中底面半径$r=2$，母线长$l=6$，代入得：
$2π × 2 = \frac{nπ × 6}{180}$
约去$π$后解得$n=120$，即$∠ BAC=120°$。
2. 计算最短绳长：设展开图中A点的对应点为$A'$，则最短绳长为线段$AA'$的长度。
过B作$BD⊥ AA'$于点D，等腰$△ ABA'$中，$∠ ABA'=120°$，故$∠ ABD=60°$，$∠ BAD=30°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=6$，则$BD=\frac{1}{2}AB=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
因此$AA'=2AD=6\sqrt{3}$，即最短绳长为$6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长公式
3. 最短路径原理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考法，核心解题思路是将立体图形展开为平面，把曲线路径转化为直线段求解，需要熟练掌握圆锥展开前后各量的对应关系。
【难度系数】
0.6
要计算绕圆锥侧面一圈回到A点的最短绳长，需将立体问题转化为平面问题求解：首先把圆锥侧面展开为平面扇形，根据“两点之间线段最短”，最短绳长就是展开图中A点对应两个端点的线段长度。解题步骤为：①利用圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，计算扇形的圆心角；②结合圆心角和母线长，在展开图中计算对应线段的长度。
【解析】
将圆锥侧面沿母线AB剪开，得到侧面展开图扇形BAC：
1. 计算扇形圆心角：设扇形的圆心角为$n°$，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列等式：
$2π r = \frac{nπ · l}{180}$
其中底面半径$r=2$，母线长$l=6$，代入得：
$2π × 2 = \frac{nπ × 6}{180}$
约去$π$后解得$n=120$，即$∠ BAC=120°$。
2. 计算最短绳长：设展开图中A点的对应点为$A'$，则最短绳长为线段$AA'$的长度。
过B作$BD⊥ AA'$于点D，等腰$△ ABA'$中，$∠ ABA'=120°$，故$∠ ABD=60°$，$∠ BAD=30°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=6$，则$BD=\frac{1}{2}AB=3$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
因此$AA'=2AD=6\sqrt{3}$，即最短绳长为$6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆锥侧面展开图性质
2. 弧长公式
3. 最短路径原理
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型考法，核心解题思路是将立体图形展开为平面，把曲线路径转化为直线段求解，需要熟练掌握圆锥展开前后各量的对应关系。
【难度系数】
0.6
11.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=12 cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面,则该圆锥的高为
$2\sqrt{15}$
cm.答案
11.$2\sqrt{15}$
解析
【分析】
解题的核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长”这一等量关系。首先设正方形ABFE的边长（即扇形半径）为R，先求出扇形的弧长；再分析右侧矩形中最大圆的直径等于矩形的短边ED，结合弧长与底面圆周长相等列方程求出R，再得到底面圆半径，最后用勾股定理计算圆锥的高即可。
【解析】
设正方形ABFE的边长为$R\ \mathrm{cm}$，即扇形ABF的半径为$R\ \mathrm{cm}$。
1. 计算扇形弧长：
扇形ABF的圆心角为$90°$，根据弧长公式，弧AF的长度为：
$l_{\overset{\frown}{AF}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$
2. 表示底面圆周长：
矩形EFCD中，$ED=AD-AE=12-R\ (\mathrm{cm})$，其中裁出的最大圆的直径等于ED的长度，即底面圆直径$d=(12-R)\ \mathrm{cm}$，因此底面圆周长为：
$C_{\mathrm{底}}=π d=π(12-R)$
3. 列方程求$R$：
因为扇形和圆恰好为同一个圆锥的侧面和底面，因此弧长等于底面圆周长：
$\frac{π R}{2}=π(12-R)$
两边同时除以$π$，解得：$\frac{R}{2}=12-R$，$R=8\ \mathrm{cm}$。
4. 计算圆锥的高：
底面圆半径$r=\frac{12-R}{2}=\frac{12-8}{2}=2\ \mathrm{cm}$，圆锥的母线长等于扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，圆锥的高为：
$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{15}$
【知识点】
弧长计算，圆锥的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平面图形性质和圆锥的相关计算，解题关键是找准弧长与底面圆周长的等量关系建立方程，同时需要学生具备基础的几何图形分析能力，是典型的几何结合方程思想的题型。
【难度系数】
0.6
解题的核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长”这一等量关系。首先设正方形ABFE的边长（即扇形半径）为R，先求出扇形的弧长；再分析右侧矩形中最大圆的直径等于矩形的短边ED，结合弧长与底面圆周长相等列方程求出R，再得到底面圆半径，最后用勾股定理计算圆锥的高即可。
【解析】
设正方形ABFE的边长为$R\ \mathrm{cm}$，即扇形ABF的半径为$R\ \mathrm{cm}$。
1. 计算扇形弧长：
扇形ABF的圆心角为$90°$，根据弧长公式，弧AF的长度为：
$l_{\overset{\frown}{AF}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π R}{180}=\frac{π R}{2}$
2. 表示底面圆周长：
矩形EFCD中，$ED=AD-AE=12-R\ (\mathrm{cm})$，其中裁出的最大圆的直径等于ED的长度，即底面圆直径$d=(12-R)\ \mathrm{cm}$，因此底面圆周长为：
$C_{\mathrm{底}}=π d=π(12-R)$
3. 列方程求$R$：
因为扇形和圆恰好为同一个圆锥的侧面和底面，因此弧长等于底面圆周长：
$\frac{π R}{2}=π(12-R)$
两边同时除以$π$，解得：$\frac{R}{2}=12-R$，$R=8\ \mathrm{cm}$。
4. 计算圆锥的高：
底面圆半径$r=\frac{12-R}{2}=\frac{12-8}{2}=2\ \mathrm{cm}$，圆锥的母线长等于扇形半径$R=8\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，圆锥的高为：
$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$2\sqrt{15}$
【知识点】
弧长计算，圆锥的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平面图形性质和圆锥的相关计算，解题关键是找准弧长与底面圆周长的等量关系建立方程，同时需要学生具备基础的几何图形分析能力，是典型的几何结合方程思想的题型。
【难度系数】
0.6
12. 如图,一个圆锥的高 OA 为 $3\sqrt{3}$,侧面展开图是半圆.
(1)求圆锥的母线长与底面半径之比；
(2)求∠BAC 的度数；
(3)求圆锥的侧面积.(结果保留 π)
(1)求圆锥的母线长与底面半径之比；
(2)求∠BAC 的度数；
(3)求圆锥的侧面积.(结果保留 π)
答案
12. 设圆锥的底面半径为$r$,母线长为$l$.
(1)$\because 2π r=π l,\therefore l:r=2:1$.
(2)由题可知 $OA⊥ OC,\frac{l}{r}=2$,
$\therefore$ 圆锥高与母线的夹角为 $30°,\therefore ∠ BAC=60°$.
(3)由(2)可得 $r=OC=\frac{\sqrt{3}}{3}OA=3,l=AC=6$,
$\therefore$ 圆锥的侧面积为 $\frac{π l^2}{2}=18π$.
(1)$\because 2π r=π l,\therefore l:r=2:1$.
(2)由题可知 $OA⊥ OC,\frac{l}{r}=2$,
$\therefore$ 圆锥高与母线的夹角为 $30°,\therefore ∠ BAC=60°$.
(3)由(2)可得 $r=OC=\frac{\sqrt{3}}{3}OA=3,l=AC=6$,
$\therefore$ 圆锥的侧面积为 $\frac{π l^2}{2}=18π$.
解析
【分析】
解题核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥本身的对应等量关系：展开图的弧长等于圆锥底面周长。
第(1)问：先设底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是半圆，因此半圆弧长等于底面圆周长，列等式即可求出二者比值。
第(2)问：圆锥的高垂直底面，故△AOC是直角三角形，结合第(1)问得到的l与r的倍数关系，利用直角三角形边角性质求出∠OAC的度数，∠BAC是∠OAC的2倍，即可得结果。
第(3)问：已知高OA的长度，结合直角三角形边长关系先求出r和l的长度，再根据侧面展开图是半圆，用半圆面积公式计算侧面积即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
(1) 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，侧面展开为半圆，弧长为$π l$，底面周长为$2π r$，因此：
$\because 2π r=π l$
化简得$l=2r$，$\therefore l:r=2:1$。
(2) $\because OA$是圆锥的高，$\therefore OA⊥$底面，即$OA⊥ OC$，$△ AOC$为直角三角形。
由(1)知$\frac{AC}{OC}=\frac{l}{r}=2$，即直角三角形斜边AC是直角边OC的2倍，
$\therefore ∠ OAC=30°$，
$\therefore ∠ BAC=2∠ OAC=60°$。
(3) 已知$OA=3\sqrt{3}$，在$Rt△ AOC$中，$∠ OAC=30°$，因此：
$r=OC=OA· \tan30°=3\sqrt{3}× \frac{\sqrt{3}}{3}=3$，
$\therefore l=2r=6$，
圆锥侧面积等于展开半圆的面积：
$S_{侧}=\frac{1}{2}π l^2=\frac{1}{2}π× 6^2=18π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2:1}$
(2) $\boldsymbol{60°}$
(3) $\boldsymbol{18π}$
【知识点】
圆锥的展开图性质；直角三角形性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥相关的典型基础题，解题的关键是牢记圆锥侧面展开图的弧长与底面周长相等这一核心等量关系，结合几何图形的边角性质即可逐步求解，这类题是空间几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题核心是抓住圆锥侧面展开图与圆锥本身的对应等量关系：展开图的弧长等于圆锥底面周长。
第(1)问：先设底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是半圆，因此半圆弧长等于底面圆周长，列等式即可求出二者比值。
第(2)问：圆锥的高垂直底面，故△AOC是直角三角形，结合第(1)问得到的l与r的倍数关系，利用直角三角形边角性质求出∠OAC的度数，∠BAC是∠OAC的2倍，即可得结果。
第(3)问：已知高OA的长度，结合直角三角形边长关系先求出r和l的长度，再根据侧面展开图是半圆，用半圆面积公式计算侧面积即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
(1) 圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，侧面展开为半圆，弧长为$π l$，底面周长为$2π r$，因此：
$\because 2π r=π l$
化简得$l=2r$，$\therefore l:r=2:1$。
(2) $\because OA$是圆锥的高，$\therefore OA⊥$底面，即$OA⊥ OC$，$△ AOC$为直角三角形。
由(1)知$\frac{AC}{OC}=\frac{l}{r}=2$，即直角三角形斜边AC是直角边OC的2倍，
$\therefore ∠ OAC=30°$，
$\therefore ∠ BAC=2∠ OAC=60°$。
(3) 已知$OA=3\sqrt{3}$，在$Rt△ AOC$中，$∠ OAC=30°$，因此：
$r=OC=OA· \tan30°=3\sqrt{3}× \frac{\sqrt{3}}{3}=3$，
$\therefore l=2r=6$，
圆锥侧面积等于展开半圆的面积：
$S_{侧}=\frac{1}{2}π l^2=\frac{1}{2}π× 6^2=18π$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2:1}$
(2) $\boldsymbol{60°}$
(3) $\boldsymbol{18π}$
【知识点】
圆锥的展开图性质；直角三角形性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆锥相关的典型基础题，解题的关键是牢记圆锥侧面展开图的弧长与底面周长相等这一核心等量关系，结合几何图形的边角性质即可逐步求解，这类题是空间几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
