1. 若圆柱的底面半径为3 cm，高为5 cm，则圆柱的侧面积是 （）

A.$30\ \mathrm{cm}^2$
B.$30π\ \mathrm{cm}^2$
C.$15\ \mathrm{cm}^2$
D.$15π\ \mathrm{cm}^2$

1.B

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆圆柱侧面积的推导逻辑：圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，因此圆柱侧面积=底面周长×高。解题时先根据底面半径算出底面周长，再乘高即可得到侧面积，计算时注意不要遗漏π。
【解析】
圆柱侧面积的计算公式为$ S_{\mathrm{侧}} = 2π rh $（其中$ r $为底面半径，$ h $为圆柱的高）。
已知$ r=3\mathrm{cm} $，$ h=5\mathrm{cm} $，代入公式得：
$ S_{\mathrm{侧}} = 2×π×3×5 = 30π \ \mathrm{cm}^2 $
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面积计算；圆的周长计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆柱侧面积公式的应用，只要熟练掌握公式，准确代入数值计算即可得分，需注意计算时不要漏写π。
【难度系数】
0.9

2. 已知矩形ABCD的一边AB=5 cm，另一边AD=3 cm，则该矩形以直线AD为轴旋转一周所得到的圆柱的全面积为 $\mathrm{cm}^2$。

2.$80π$

【分析】
首先明确矩形绕一边旋转得到圆柱的对应关系：作为旋转轴的边是圆柱的高，相邻的另一边是圆柱的底面半径。本题以AD为轴旋转，因此先确定圆柱的高和底面半径，再根据圆柱全面积=侧面积+2个底面积的公式代入计算即可，注意不要漏算两个底面的面积。
【解析】
解：将矩形ABCD以直线AD为轴旋转一周得到圆柱，
∴ 圆柱的高$ h = AD = 3\ \mathrm{cm} $，底面半径$ r = AB = 5\ \mathrm{cm} $。
① 计算圆柱侧面积：
圆柱侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}} = 2π rh $，代入数据得：
$ S_{\mathrm{侧}} = 2π × 5 × 3 = 30π\ \mathrm{cm}^2 $
② 计算两个底面的面积和：
底面积公式为$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 $，两个底面积为$ 2S_{\mathrm{底}} = 2π r^2 $，代入数据得：
$ 2S_{\mathrm{底}} = 2× π × 5^2 = 50π\ \mathrm{cm}^2 $
③ 计算全面积：
$ S_{\mathrm{全}} = S_{\mathrm{侧}} + 2S_{\mathrm{底}} = 30π + 50π = 80π\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
$ 80π $
【知识点】
旋转体的形成；圆柱侧面积计算；圆柱全面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是准确对应矩形旋转后圆柱的底面半径和高，牢记圆柱全面积包含侧面积和两个底面积，避免漏算底面积导致出错。
【难度系数】
0.8

3. 如图，经过圆柱形木块的轴将它剖开，剖面是矩形ABCD，已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AB=15\ \mathrm{cm}$，求半个圆柱形木块的表面积.（结果精确到$1\ \mathrm{cm}^2$）

3.$464\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
要计算半个圆柱形木块的表面积，首先明确其组成部分：①原圆柱侧面积的一半；②上下两个半圆形底面，合起来是1个完整的圆的面积；③轴剖面矩形ABCD的面积。首先根据已知条件确定圆柱的底面半径和高：由轴截面是矩形ABCD可知，AD为圆柱底面直径，AB为圆柱的高，据此分别计算三部分面积再求和即可。
【解析】
解：由题意得，圆柱的底面直径$d=AD=10\ \mathrm{cm}$，因此底面半径$r=\frac{d}{2}=5\ \mathrm{cm}$，圆柱的高$h=AB=15\ \mathrm{cm}$。
半圆柱的表面积由三部分组成：
1. 半侧面积：$\frac{1}{2}× 2π rh=π rh=π×5×15=75π\ \mathrm{cm}^2$
2. 两个半圆形底面的面积和：$2×\frac{1}{2}π r^2=π r^2=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$
3. 轴截面矩形ABCD的面积：$AB× AD=15×10=150\ \mathrm{cm}^2$
总表面积$S=75π+25π+150=100π+150$，取$π\approx3.14$，则$S\approx100×3.14+150=464\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$464\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆柱侧面积计算；圆的面积计算；组合图形表面积计算
【点评】
本题易错点是容易遗漏轴截面矩形的面积，仅计算原圆柱表面积的一半，解题时要先明确组合体表面积的所有组成部分，再对应公式代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7

4.如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中$\overset{\frown}{AA'}$的长为（）


A.$4π$
B.$6π$
C.$8π$
D.$16π$

4.C

【分析】
要解决本题，首先回忆圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等。因此求$\overset{\frown}{AA'}$的长度，本质就是计算圆锥底面圆的周长，我们只需要代入底面半径到圆的周长公式计算即可。
【解析】
解：根据圆锥的性质可知，圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长。
已知圆锥底面圆的半径$r=4$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$\overset{\frown}{AA'}$的长$=2π×4=8π$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；圆的周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系，掌握“侧面展开扇形弧长=底面圆周长”这一核心等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5. 若圆锥的母线长为8 cm，底面圆的直径为6 cm，则这个圆锥的侧面积是 （）

A.$96π \ \mathrm{cm}^2$
B.$48π \ \mathrm{cm}^2$
C.$33π \ \mathrm{cm}^2$
D.$24π \ \mathrm{cm}^2$

5.D

【分析】
要解决圆锥侧面积的问题，首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥的侧面积等于π乘以底面半径再乘以母线长，即$S_{侧}=π rl$（其中$r$是底面圆半径，$l$是圆锥母线长）。解题时第一步先根据题目给出的底面直径求出底面半径，再将半径和已知的母线长代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：已知底面圆的直径为6 cm，因此底面圆的半径$r=6÷2=3\ \mathrm{cm}$，
又已知圆锥母线长$l=8\ \mathrm{cm}$，
根据圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$，代入数据得：
$S_{侧}=π×3×8=24π\ \mathrm{cm}^2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面积计算；直径与半径的换算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题时需注意不要误将底面直径当作半径代入公式计算，熟记公式、细心换算即可得分。
【难度系数】
0.8

变式训练
求侧面积→求底面半径→求侧面展开图的圆心角→求高
(1)若圆锥侧面展开图的面积是$15π$，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是.
(2)若圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数为.
(3)若某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$120°$，半径为6 cm的扇形，则该圆锥的高是cm.

【变式训练】(1)3 (2)$120°$ (3)$4\sqrt{2}$

【分析】
这三道题均围绕圆锥与其侧面展开扇形的对应关系命题，解题需牢记三个核心等量关系：①圆锥母线长=侧面展开扇形的半径；②圆锥底面周长=侧面展开扇形的弧长；③圆锥侧面积=侧面展开扇形的面积。解题时对应每小问的已知条件选择合适公式即可：(1)已知侧面积和母线长，直接代入圆锥侧面积公式求底面半径；(2)已知母线和底面半径，先求底面周长（即扇形弧长），再代入弧长公式求圆心角度数；(3)已知扇形的圆心角和半径，先求弧长得到圆锥底面半径，再结合母线长用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
(1) 设圆锥底面半径为$r$，母线长为$l=5$，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$。
将$S_{\mathrm{侧}}=15π$，$l=5$代入公式得：$π × r × 5 = 15π$，
两边同时除以$5π$，解得$r=3$。
(2) 设侧面展开图的圆心角度数为$n°$，母线长$L=3$，底面半径$r=1$。
先求圆锥底面周长：$C=2π r=2π × 1=2π$，
圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，扇形弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ L}{180}$，代入得：
$2π = \frac{nπ × 3}{180}$，
两边同时除以$π$后化简得：$2=\frac{n}{60}$，解得$n=120$，即圆心角为$120°$。
(3) 侧面展开扇形的圆心角为$120°$，半径（即圆锥母线长）$L=6\ \mathrm{cm}$，先求扇形弧长：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{120π × 6}{180}=4π$，
设圆锥底面半径为$r$，底面周长等于扇形弧长，即$2π r=4π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
圆锥的高$h$、底面半径$r$、母线长$L$构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理得：
$h=\sqrt{L^2 - r^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{120°}$；(3) $\boldsymbol{4\sqrt{2}}$
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆锥与展开扇形的对应关系、勾股定理
【点评】
本组题目是圆锥侧面积相关的基础典型题，重点考查对圆锥和侧面展开扇形对应等量关系的理解，熟练掌握侧面积公式、弧长公式即可快速求解，是解决圆锥综合类问题的基础。
【难度系数】
0.8

6. 如图，圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为$θ$，且$\sinθ=\frac{1}{3}$，则该圆锥的侧面积是。

6.$12π$

【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先要明确圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$（其中$r$是圆锥底面半径，$l$是母线长）。本题已知母线长$l=6$，因此只需要先求出底面半径$r$即可。观察图形可知，圆锥的高、底面半径、母线恰好构成直角三角形，角$θ$的对边是底面半径$r$，斜边是母线$l$，因此$\sinθ=\frac{r}{l}$，结合已知$\sinθ=\frac{1}{3}$就能求出$r$，最后代入侧面积公式计算即可。
【解析】
解：已知圆锥母线长$l=6$，
在由圆锥的高、底面半径、母线组成的直角三角形中：
$\sinθ=\frac{\mathrm{底面半径}r}{\mathrm{母线长}l}=\frac{1}{3}$
将$l=6$代入得：$r=l×\sinθ=6×\frac{1}{3}=2$
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入$r=2$、$l=6$得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×2×6=12π$
【答案】
$12π$
【知识点】
圆锥的性质，锐角三角函数的应用，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是基础类题型，结合了解直角三角形和圆锥侧面积计算两个考点，解题的核心是找准圆锥各部分和直角三角形边的对应关系，牢记相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90°,AC = 6,BC = 8$.
(1)以直线 BC 为轴,将$△ ABC$旋转一周,则所得圆锥的底面圆周长为 ;
(2)以直线 AC 为轴,将$△ ABC$旋转一周,求所得圆锥的侧面积.

7.(1)$12π$ (2)$80π$

【分析】
(1) 以直线BC为轴旋转△ABC时，垂直于轴BC的边AC为所得圆锥的底面半径，已知AC长度，代入圆的周长公式即可求出底面圆周长；(2) 以直线AC为轴旋转△ABC时，先通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB，即所得圆锥的母线长，垂直于轴AC的边BC为圆锥底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可。
【解析】
(1) 以BC为轴旋转时，所得圆锥底面半径$r_1=AC=6$，
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面圆周长为：
$2π×6=12π$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$，
以AC为轴旋转时，所得圆锥底面半径$r_2=BC=8$，母线长$l=AB=10$，
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，可得侧面积为：
$π×8×10=80π$。
【答案】
(1) $12π$；(2) $80π$
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆周长计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心是明确直角三角形旋转成圆锥时，各边与圆锥的底面半径、母线的对应关系，熟记相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7