登录
1.在图示各事件中，是随机事件的有个. 
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：由概率的相关定义可知：
概率为0的事件是不可能事件，事件A对应概率为0，属于不可能事件；
概率为1的事件是必然事件，事件D对应概率为1，属于必然事件；
概率介于0和1之间的事件是随机事件，事件B、事件C的对应概率都在0到1之间，均为随机事件。
因此随机事件共有2个。
概率为0的事件是不可能事件，事件A对应概率为0，属于不可能事件；
概率为1的事件是必然事件，事件D对应概率为1，属于必然事件；
概率介于0和1之间的事件是随机事件，事件B、事件C的对应概率都在0到1之间，均为随机事件。
因此随机事件共有2个。
2.在“石头、剪刀、布”的游戏中，当你出“剪刀”时，对手与你打平的概率为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
解：当你出“剪刀”时，对手共有3种等可能的出手选择：石头、剪刀、布，其中只有对手出“剪刀”时两人打平，符合打平条件的结果共1种。
根据等可能事件的概率公式，对手与你打平的概率为$\frac{1}{3}$。
最终
根据等可能事件的概率公式，对手与你打平的概率为$\frac{1}{3}$。
最终
3. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚硬币反面向上的概率是。
答案
解：同时抛掷三枚质地均匀的硬币，所有等可能出现的结果共8种，分别为：
(正,正,正)、(正,正,反)、(正,反,正)、(正,反,反)、
(反,正,正)、(反,正,反)、(反,反,正)、(反,反,反)。
其中恰有两枚硬币反面向上的结果共3种：(正,反,反)、(反,正,反)、(反,反,正)。
因此所求概率为 $P=\frac{3}{8}$。
(正,正,正)、(正,正,反)、(正,反,正)、(正,反,反)、
(反,正,正)、(反,正,反)、(反,反,正)、(反,反,反)。
其中恰有两枚硬币反面向上的结果共3种：(正,反,反)、(反,正,反)、(反,反,正)。
因此所求概率为 $P=\frac{3}{8}$。
4.如图,电路上有3个开关$S_1$,$S_2$,$S_3$和1个小灯泡L,任意闭合电路上2个开关,小灯泡发光的概率为.
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
解析
解：
任意闭合2个开关，所有等可能的结果共有3种，分别为：闭合$S_1,S_2$；闭合$S_1,S_3$；闭合$S_2,S_3$。
其中能使小灯泡发光的结果有2种：闭合$S_1,S_2$；闭合$S_1,S_3$。
因此小灯泡发光的概率为$P=\frac{2}{3}$。
最终
任意闭合2个开关，所有等可能的结果共有3种，分别为：闭合$S_1,S_2$；闭合$S_1,S_3$；闭合$S_2,S_3$。
其中能使小灯泡发光的结果有2种：闭合$S_1,S_2$；闭合$S_1,S_3$。
因此小灯泡发光的概率为$P=\frac{2}{3}$。
最终
5.一个密码箱的密码,每个数位上的数都是从0到9的自然数.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于$\frac{1}{9999}$，则密码的位数至少需要设位.
答案
解：
设密码的位数为$n$位。
每个数位上的数字有0到9共10种等可能结果，因此$n$位密码的总等可能结果数为$10^n$种，一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
根据题意得：
$\frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{9999}$
化简得$10^n ＞ 9999$。
分别验证：
当$n=1$时，$10^1=10 ＜ 9999$；
当$n=2$时，$10^2=100 ＜ 9999$；
当$n=3$时，$10^3=1000 ＜ 9999$；
当$n=4$时，$10^4=10000 ＞ 9999$。
答：密码的位数至少需要设4位。
设密码的位数为$n$位。
每个数位上的数字有0到9共10种等可能结果，因此$n$位密码的总等可能结果数为$10^n$种，一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
根据题意得：
$\frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{9999}$
化简得$10^n ＞ 9999$。
分别验证：
当$n=1$时，$10^1=10 ＜ 9999$；
当$n=2$时，$10^2=100 ＜ 9999$；
当$n=3$时，$10^3=1000 ＜ 9999$；
当$n=4$时，$10^4=10000 ＞ 9999$。
答：密码的位数至少需要设4位。
6.从－2，－1，1，2，3，4这六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程$ax^2 + 4x + 2 = 0$中的a的值，则这个一元二次方程没有实数根的概率为.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
解：
对于一元二次方程 $ ax^2 + 4x + 2 = 0 $，
其判别式 $ \Delta = 4^2 - 4 · a · 2 = 16 - 8a $。
若方程没有实数根，则需满足 $ \Delta ＜ 0 $，即：
$ 16 - 8a ＜ 0 $，
解得 $ a ＞ 2 $。
从-2,-1,1,2,3,4这6个数中随机选取一个a，共有6种等可能的结果，其中满足$ a＞2 $的数为3、4，共2种结果。
因此所求概率 $ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $。
最终
对于一元二次方程 $ ax^2 + 4x + 2 = 0 $，
其判别式 $ \Delta = 4^2 - 4 · a · 2 = 16 - 8a $。
若方程没有实数根，则需满足 $ \Delta ＜ 0 $，即：
$ 16 - 8a ＜ 0 $，
解得 $ a ＞ 2 $。
从-2,-1,1,2,3,4这6个数中随机选取一个a，共有6种等可能的结果，其中满足$ a＞2 $的数为3、4，共2种结果。
因此所求概率 $ P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $。
最终
7.哥德巴赫猜想提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”.我国
数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.某数学兴趣小组的同学准备了4张除正面外其他完全相同的卡片，上面分别写着质数2,3,5,7.
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为；
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率.
数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.某数学兴趣小组的同学准备了4张除正面外其他完全相同的卡片，上面分别写着质数2,3,5,7.
（1）小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为；
（2）小组成员从中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法求出这2张卡片上的数字之和是偶数的概率.
答案
解：
(1) 共有4种等可能的抽取结果，其中卡片上数字是偶数的结果仅有1种（数字2），因此所求概率为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 列表如下：
| | 2 | 3 | 5 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | - | (2,3) | (2,5) | (2,7) |
| 3 | (3,2) | - | (3,5) | (3,7) |
| 5 | (5,2) | (5,3) | - | (5,7) |
| 7 | (7,2) | (7,3) | (7,5) | - |
由表可知，所有等可能的结果共12种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有6种。
因此这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
(1) 共有4种等可能的抽取结果，其中卡片上数字是偶数的结果仅有1种（数字2），因此所求概率为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 列表如下：
| | 2 | 3 | 5 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | - | (2,3) | (2,5) | (2,7) |
| 3 | (3,2) | - | (3,5) | (3,7) |
| 5 | (5,2) | (5,3) | - | (5,7) |
| 7 | (7,2) | (7,3) | (7,5) | - |
由表可知，所有等可能的结果共12种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有6种。
因此这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
