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10. $a$是不为1的有理数,我们把$\frac{1}{1 - a}$称为$a$的差倒数.如:2的差倒数是$\frac{1}{1 - 2} = -1$, -1的差倒数是$\frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$.已知$a_1 = -\frac{1}{3}$,$a_2$是$a_1$的差倒数,$a_3$是$a_2$的差倒数,$a_4$是$a_3$的差倒数……依此类推,则$a_{2024} =$
$\frac{3}{4}$
.答案
10.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是新定义类规律探究题，首先要准确理解“差倒数”的定义，先按定义依次计算出前几项的数值，观察数列的循环规律，确定周期长度，再用总项数除以周期，根据余数判断$a_{2024}$对应周期内的数值即可。解题时先通过计算前几项找周期，再利用周期规律推导结果。
【解析】
根据差倒数的定义$\frac{1}{1-a}$（$a$是不为1的有理数），依次计算前几项：
已知$a_1=-\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$，
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$，
可见数列以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$三个数为一个周期循环出现。
计算2024除以周期长度3的结果：$2024÷3=674······2$，余数为2，说明$a_{2024}$与周期内第2个数值相等。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，数列规律探究，有理数运算
【点评】
本题核心是先通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期规律求解指定项，解题时要注意有理数运算的准确性，避免计算前几项出错导致周期判断错误。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类规律探究题，首先要准确理解“差倒数”的定义，先按定义依次计算出前几项的数值，观察数列的循环规律，确定周期长度，再用总项数除以周期，根据余数判断$a_{2024}$对应周期内的数值即可。解题时先通过计算前几项找周期，再利用周期规律推导结果。
【解析】
根据差倒数的定义$\frac{1}{1-a}$（$a$是不为1的有理数），依次计算前几项：
已知$a_1=-\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$，
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$，
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$，
可见数列以$-\frac{1}{3},\frac{3}{4},4$三个数为一个周期循环出现。
计算2024除以周期长度3的结果：$2024÷3=674······2$，余数为2，说明$a_{2024}$与周期内第2个数值相等。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
新定义运算，数列规律探究，有理数运算
【点评】
本题核心是先通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期规律求解指定项，解题时要注意有理数运算的准确性，避免计算前几项出错导致周期判断错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图,数轴上的两个点A,B所表示的数分别是a,b.在$a+b,a-b,ab,|a|-|b|$中,是正数的有
1
个.答案
11.1
解析
【分析】
首先观察数轴获取信息：点A在原点右侧，故a是正数；点B在原点左侧，故b是负数，且点B到原点的距离大于点A到原点的距离，因此$|b|＞|a|$。接下来根据有理数的加减、乘法运算法则以及绝对值的性质，依次判断四个代数式的正负，最后统计正数的个数即可。
【解析】
解：由数轴可知：$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$。
1. 判断$a+b$的正负：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$|b|＞|a|$，$b$为负数，所以$a+b＜0$，是负数；
2. 判断$a-b$的正负：减去一个数等于加上这个数的相反数，因此$a-b=a+(-b)$，$-b$是正数，正数加正数结果为正，所以$a-b＞0$，是正数；
3. 判断$ab$的正负：两数相乘，异号得负，所以$ab＜0$，是负数；
4. 判断$|a|-|b|$的正负：因为$|b|＞|a|$，较小的数减较大的数结果为负，所以$|a|-|b|＜0$，是负数。
综上，只有$a-b$是正数，正数共有1个。
【答案】
1
【知识点】
数轴的应用，有理数运算，绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中准确提取a、b的符号和绝对值大小关系，再结合有理数运算法则逐一判断代数式的正负，属于基础题型，熟练掌握有理数的运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴获取信息：点A在原点右侧，故a是正数；点B在原点左侧，故b是负数，且点B到原点的距离大于点A到原点的距离，因此$|b|＞|a|$。接下来根据有理数的加减、乘法运算法则以及绝对值的性质，依次判断四个代数式的正负，最后统计正数的个数即可。
【解析】
解：由数轴可知：$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$。
1. 判断$a+b$的正负：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$|b|＞|a|$，$b$为负数，所以$a+b＜0$，是负数；
2. 判断$a-b$的正负：减去一个数等于加上这个数的相反数，因此$a-b=a+(-b)$，$-b$是正数，正数加正数结果为正，所以$a-b＞0$，是正数；
3. 判断$ab$的正负：两数相乘，异号得负，所以$ab＜0$，是负数；
4. 判断$|a|-|b|$的正负：因为$|b|＞|a|$，较小的数减较大的数结果为负，所以$|a|-|b|＜0$，是负数。
综上，只有$a-b$是正数，正数共有1个。
【答案】
1
【知识点】
数轴的应用，有理数运算，绝对值的性质
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中准确提取a、b的符号和绝对值大小关系，再结合有理数运算法则逐一判断代数式的正负，属于基础题型，熟练掌握有理数的运算规则是解题关键。
【难度系数】
0.7
1.小学学过的乘法交换律、结合律以及
乘法对加法的分配律用字母式子分别写出来.
乘法交换律：；
乘法结合律：；
乘法分配律：.
对于有理数的乘法，它们还成立吗？.
乘法对加法的分配律用字母式子分别写出来.
乘法交换律：；
乘法结合律：；
乘法分配律：.
对于有理数的乘法，它们还成立吗？.
答案
解：
乘法交换律：$ab=ba$；
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$；
乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$.
对于有理数的乘法，它们还成立吗？成立。
乘法交换律：$ab=ba$；
乘法结合律：$(ab)c=a(bc)$；
乘法分配律：$a(b+c)=ab+ac$.
对于有理数的乘法，它们还成立吗？成立。
解析
【分析】
解题时先分别回忆三个乘法运算律的含义：1.乘法交换律是两个数相乘，交换因数的位置积不变，用a、b表示两个因数即可写出对应式子；2.乘法结合律是三个数相乘，先乘前两个或者先乘后两个，积不变，用a、b、c表示三个因数即可写出对应式子；3.乘法分配律是一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘两个加数再相加，据此写出字母表达式；最后结合有理数乘法的相关结论，可知小学学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立。
【解析】
根据乘法运算律的定义，分别写出对应字母表达式：
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即$ab=ba$；
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变，即$(ab)c=a(bc)$；
乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即$a(b+c)=ab+ac$；
结合有理数乘法的运算规则，上述三个乘法运算律在有理数的乘法中仍然成立，故最后一空填“成立”。
【答案】
$ab=ba$；$(ab)c=a(bc)$；$a(b+c)=ab+ac$；成立
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对乘法运算律的识记，以及运算律在有理数范围内的适用性，掌握这些运算律能为后续的简便运算打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
解题时先分别回忆三个乘法运算律的含义：1.乘法交换律是两个数相乘，交换因数的位置积不变，用a、b表示两个因数即可写出对应式子；2.乘法结合律是三个数相乘，先乘前两个或者先乘后两个，积不变，用a、b、c表示三个因数即可写出对应式子；3.乘法分配律是一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘两个加数再相加，据此写出字母表达式；最后结合有理数乘法的相关结论，可知小学学的乘法运算律在有理数范围内仍然成立。
【解析】
根据乘法运算律的定义，分别写出对应字母表达式：
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即$ab=ba$；
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变，即$(ab)c=a(bc)$；
乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即$a(b+c)=ab+ac$；
结合有理数乘法的运算规则，上述三个乘法运算律在有理数的乘法中仍然成立，故最后一空填“成立”。
【答案】
$ab=ba$；$(ab)c=a(bc)$；$a(b+c)=ab+ac$；成立
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对乘法运算律的识记，以及运算律在有理数范围内的适用性，掌握这些运算律能为后续的简便运算打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
2. 当字母表示乘数时，$a × b$也可以写成或。
答案
解：$a· b$
$ab$
$ab$
解析
【分析】
这道题考查字母表示乘数时的乘法书写规则，我们可以回忆代数书写的相关要求：当两个字母相乘时，为了书写简便，同时避免乘号“×”和字母“x”混淆，对乘号的写法有两种简化方式，对应写出两种简化形式即可。
【解析】
根据字母与字母相乘的书写规范：
1. 可以将乘号“×”改写为“·”，因此$a×b$可写作$a·b$；
2. 也可以直接省略乘号，将两个字母直接连写，因此$a×b$也可写作$ab$。
【答案】
$a·b$；$ab$
【知识点】
字母表示数的书写规范
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察代数书写的基本规则，是后续学习代数式、方程等内容的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查字母表示乘数时的乘法书写规则，我们可以回忆代数书写的相关要求：当两个字母相乘时，为了书写简便，同时避免乘号“×”和字母“x”混淆，对乘号的写法有两种简化方式，对应写出两种简化形式即可。
【解析】
根据字母与字母相乘的书写规范：
1. 可以将乘号“×”改写为“·”，因此$a×b$可写作$a·b$；
2. 也可以直接省略乘号，将两个字母直接连写，因此$a×b$也可写作$ab$。
【答案】
$a·b$；$ab$
【知识点】
字母表示数的书写规范
【点评】
本题属于基础概念题，主要考察代数书写的基本规则，是后续学习代数式、方程等内容的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
3. 观察下列各式的积是正的还是负的？
并计算结果.
(1)$2 × 3 × 4 × (-5)$；
(2)$2 × 3 × (-4) × (-5)$；
(3)$2 × (-3) × (-4) × (-5)$；
(4)$(-2) × (-3) × (-4) × (-5)$.
并计算结果.
(1)$2 × 3 × 4 × (-5)$；
(2)$2 × 3 × (-4) × (-5)$；
(3)$2 × (-3) × (-4) × (-5)$；
(4)$(-2) × (-3) × (-4) × (-5)$.
答案
解：
(1) 式中负因数的个数为1，是奇数，因此积为负。
$2 × 3 × 4 × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(2) 式中负因数的个数为2，是偶数，因此积为正。
$2 × 3 × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
(3) 式中负因数的个数为3，是奇数，因此积为负。
$2 × (-3) × (-4) × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(4) 式中负因数的个数为4，是偶数，因此积为正。
$(-2) × (-3) × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
(1) 式中负因数的个数为1，是奇数，因此积为负。
$2 × 3 × 4 × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(2) 式中负因数的个数为2，是偶数，因此积为正。
$2 × 3 × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
(3) 式中负因数的个数为3，是奇数，因此积为负。
$2 × (-3) × (-4) × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(4) 式中负因数的个数为4，是偶数，因此积为正。
$(-2) × (-3) × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
解析
【分析】
解决多个有理数相乘的问题，遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：第一步先数每个算式里负因数的个数，根据“多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正”的规则确定积的符号；第二步计算所有因数的绝对值的乘积，最后结合符号得到最终结果即可。
【解析】
(1) 式中负因数的个数为1，是奇数，因此积为负。
$2 × 3 × 4 × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(2) 式中负因数的个数为2，是偶数，因此积为正。
$2 × 3 × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
(3) 式中负因数的个数为3，是奇数，因此积为负。
$2 × (-3) × (-4) × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(4) 式中负因数的个数为4，是偶数，因此积为正。
$(-2) × (-3) × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
【答案】
(1) 积为负，结果为$\boldsymbol{-120}$；
(2) 积为正，结果为$\boldsymbol{120}$；
(3) 积为负，结果为$\boldsymbol{-120}$；
(4) 积为正，结果为$\boldsymbol{120}$。
【知识点】
1. 多个有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是多个有理数乘法的基础练习题，核心是掌握“奇负偶正”的符号判断规则，解题时注意先确定符号再计算绝对值，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
解决多个有理数相乘的问题，遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：第一步先数每个算式里负因数的个数，根据“多个非零有理数相乘，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正”的规则确定积的符号；第二步计算所有因数的绝对值的乘积，最后结合符号得到最终结果即可。
【解析】
(1) 式中负因数的个数为1，是奇数，因此积为负。
$2 × 3 × 4 × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(2) 式中负因数的个数为2，是偶数，因此积为正。
$2 × 3 × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
(3) 式中负因数的个数为3，是奇数，因此积为负。
$2 × (-3) × (-4) × (-5) = -(2×3×4×5) = -120$
(4) 式中负因数的个数为4，是偶数，因此积为正。
$(-2) × (-3) × (-4) × (-5) = +(2×3×4×5) = 120$
【答案】
(1) 积为负，结果为$\boldsymbol{-120}$；
(2) 积为正，结果为$\boldsymbol{120}$；
(3) 积为负，结果为$\boldsymbol{-120}$；
(4) 积为正，结果为$\boldsymbol{120}$。
【知识点】
1. 多个有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题是多个有理数乘法的基础练习题，核心是掌握“奇负偶正”的符号判断规则，解题时注意先确定符号再计算绝对值，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
