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2. 整理一批图书,由1人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h,然后增加2人与他们一起整理8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,应先安排多少人进行整理?
答案
解：
设应先安排$x$人进行整理。
由题意可知，每人每小时的工作效率为$\frac{1}{40}$，列方程得：
$\frac{4x}{40} + \frac{8(x+2)}{40} = 1$
去分母，得：$4x + 8(x+2) = 40$
去括号，得：$4x + 8x + 16 = 40$
移项，得：$4x + 8x = 40 - 16$
合并同类项，得：$12x = 24$
系数化为1，得：$x = 2$
答：应先安排2人进行整理。
设应先安排$x$人进行整理。
由题意可知，每人每小时的工作效率为$\frac{1}{40}$，列方程得：
$\frac{4x}{40} + \frac{8(x+2)}{40} = 1$
去分母，得：$4x + 8(x+2) = 40$
去括号，得：$4x + 8x + 16 = 40$
移项，得：$4x + 8x = 40 - 16$
合并同类项，得：$12x = 24$
系数化为1，得：$x = 2$
答：应先安排2人进行整理。
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，明确工程问题的核心等量关系：工作总量=工作效率×工作时间×人数。首先根据“1人整理需要40h完成”，可算出单人每小时的工作效率为$\frac{1}{40}$。本题的工作分为两个阶段：第一阶段是先安排的$x$人工作4小时，第二阶段是增加2人后共$(x+2)$人工作8小时，两个阶段的工作量之和等于总工作量1，我们据此列出一元一次方程，再按解方程的步骤求解即可得到答案。
【解析】
解：设应先安排$x$人进行整理。
由题意可知，每人每小时的工作效率为$\frac{1}{40}$，列方程得：
$\frac{4x}{40} + \frac{8(x+2)}{40} = 1$
去分母，得：$4x + 8(x+2) = 40$
去括号，得：$4x + 8x + 16 = 40$
移项，得：$4x + 8x = 40 - 16$
合并同类项，得：$12x = 24$
系数化为1，得：$x = 2$
答：应先安排2人进行整理。
【答案】
应先安排2人进行整理。
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题关键是正确设定单位“1”，梳理清楚不同工作阶段的人数、工作时间，利用总工作量等于各部分工作量之和的等量关系列方程求解，掌握该类等量关系即可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，明确工程问题的核心等量关系：工作总量=工作效率×工作时间×人数。首先根据“1人整理需要40h完成”，可算出单人每小时的工作效率为$\frac{1}{40}$。本题的工作分为两个阶段：第一阶段是先安排的$x$人工作4小时，第二阶段是增加2人后共$(x+2)$人工作8小时，两个阶段的工作量之和等于总工作量1，我们据此列出一元一次方程，再按解方程的步骤求解即可得到答案。
【解析】
解：设应先安排$x$人进行整理。
由题意可知，每人每小时的工作效率为$\frac{1}{40}$，列方程得：
$\frac{4x}{40} + \frac{8(x+2)}{40} = 1$
去分母，得：$4x + 8(x+2) = 40$
去括号，得：$4x + 8x + 16 = 40$
移项，得：$4x + 8x = 40 - 16$
合并同类项，得：$12x = 24$
系数化为1，得：$x = 2$
答：应先安排2人进行整理。
【答案】
应先安排2人进行整理。
【知识点】
一元一次方程的应用、工程问题、一元一次方程的解法
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题关键是正确设定单位“1”，梳理清楚不同工作阶段的人数、工作时间，利用总工作量等于各部分工作量之和的等量关系列方程求解，掌握该类等量关系即可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.8
1. 某眼镜厂有60名工人,每名工人每天可生产镜片200片或镜架50个,应如何分配工人,才能使每天生产的产品配套(2片镜片和1个镜架配成一套)?根据题意,小宇列出方程$200x = 2×50×(60 - x)$,则x代表的数据是(
A.生产镜架的工人数
B.生产镜片的工人数
C.生产镜架的天数
D.生产镜片的天数
B
)A.生产镜架的工人数
B.生产镜片的工人数
C.生产镜架的天数
D.生产镜片的天数
答案
1.B
解析
【分析】
这是一元一次方程配套问题的相关题型，解题核心是先明确配套的数量关系：2片镜片和1个镜架配成一套，说明生产的镜片总数量=2×生产的镜架总数量。接下来对应方程各项的实际含义推导x的意义：方程左侧200是每名工人每天生产镜片的数量，200x表示x名工人生产的镜片总数；方程右侧50是每名工人每天生产镜架的数量，(60-x)是总人数减去x后剩下的工人数，也就是生产镜架的工人数，50×(60-x)是生产的镜架总数，乘2是匹配镜片总数的关系，由此即可判断x的含义。
【解析】
已知工厂总共有60名工人，结合数量含义逐步推导：
1. 200是每名工人每天可生产的镜片数量，因此200x代表x名工人每天生产的镜片总数量，说明x对应参与生产镜片的相关量；
2. (60-x)是总人数减去x后的剩余人数，代表生产镜架的工人数，50是每名工人每天可生产的镜架数量，50×(60-x)就是每天生产的镜架总数量；
3. 由配套规则“2片镜片配1个镜架”可得等量关系：镜片总数量=2×镜架总数量，代入后正好对应题干给出的方程$200x = 2×50×(60 - x)$，因此x代表生产镜片的工人数。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题
【点评】
本题考查一元一次方程实际应用中未知数的设定逻辑，解题关键是抓住配套的数量对应关系，结合方程各项的实际含义即可快速判断，属于配套问题的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程配套问题的相关题型，解题核心是先明确配套的数量关系：2片镜片和1个镜架配成一套，说明生产的镜片总数量=2×生产的镜架总数量。接下来对应方程各项的实际含义推导x的意义：方程左侧200是每名工人每天生产镜片的数量，200x表示x名工人生产的镜片总数；方程右侧50是每名工人每天生产镜架的数量，(60-x)是总人数减去x后剩下的工人数，也就是生产镜架的工人数，50×(60-x)是生产的镜架总数，乘2是匹配镜片总数的关系，由此即可判断x的含义。
【解析】
已知工厂总共有60名工人，结合数量含义逐步推导：
1. 200是每名工人每天可生产的镜片数量，因此200x代表x名工人每天生产的镜片总数量，说明x对应参与生产镜片的相关量；
2. (60-x)是总人数减去x后的剩余人数，代表生产镜架的工人数，50是每名工人每天可生产的镜架数量，50×(60-x)就是每天生产的镜架总数量；
3. 由配套规则“2片镜片配1个镜架”可得等量关系：镜片总数量=2×镜架总数量，代入后正好对应题干给出的方程$200x = 2×50×(60 - x)$，因此x代表生产镜片的工人数。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题
【点评】
本题考查一元一次方程实际应用中未知数的设定逻辑，解题关键是抓住配套的数量对应关系，结合方程各项的实际含义即可快速判断，属于配套问题的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 加工 1 500 个零件, 甲单独做需要12 h,乙单独做需要15 h. 若两人合作x h可以完工,依题意可列方程为(
A.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{15} ) x = 1\ 500$
B.$( \dfrac{1\ 500}{12} + \dfrac{1\ 500}{15} ) x = 1\ 500$
C.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1\ 500}{15} ) x = 1\ 500$
D.$( \dfrac{1\ 500}{12} + \dfrac{1\ 500}{15} ) x = 1$
B
)A.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{15} ) x = 1\ 500$
B.$( \dfrac{1\ 500}{12} + \dfrac{1\ 500}{15} ) x = 1\ 500$
C.$( \dfrac{1}{12} + \dfrac{1\ 500}{15} ) x = 1\ 500$
D.$( \dfrac{1\ 500}{12} + \dfrac{1\ 500}{15} ) x = 1$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道工程类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先回忆工程问题核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。第一步明确本题工作总量是具体的1500个零件，不是抽象单位“1”，因此需先计算甲乙的实际工作效率：甲的效率=总零件数÷甲单独完成时间，乙的效率=总零件数÷乙单独完成时间。第二步，两人合作的总效率为甲乙效率之和，合作x小时的总工作量等于总效率乘合作时间，且总工作量等于1500个，据此等量关系即可列出方程，再对比选项排除错误答案即可。
【解析】
首先计算甲、乙的工作效率：
甲单独做12h加工1500个零件，因此甲每小时加工零件数为 $\dfrac{1500}{12}$ 个；
乙单独做15h加工1500个零件，因此乙每小时加工零件数为 $\dfrac{1500}{15}$ 个。
两人合作的总效率为甲乙效率之和，合作x小时的总工作量等于总零件数1500个，根据“总工作量=效率和×合作时间”列方程得：
$( \dfrac{1500}{12} + \dfrac{1500}{15} ) x = 1500$，对应选项B。
（补充排除其他选项：选项A是将工作总量视为单位1时的列法，不符合本题总量为1500的设定；选项C甲的效率计算错误；选项D右边总工作量写为1，错误。）
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用、工作量公式
【点评】
本题属于工程问题基础题型，易错点是混淆“工作总量为具体数值”和“工作总量视为单位1”两种情况，解题时要先明确总工作量的形式，再准确计算工作效率，结合等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先回忆工程问题核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。第一步明确本题工作总量是具体的1500个零件，不是抽象单位“1”，因此需先计算甲乙的实际工作效率：甲的效率=总零件数÷甲单独完成时间，乙的效率=总零件数÷乙单独完成时间。第二步，两人合作的总效率为甲乙效率之和，合作x小时的总工作量等于总效率乘合作时间，且总工作量等于1500个，据此等量关系即可列出方程，再对比选项排除错误答案即可。
【解析】
首先计算甲、乙的工作效率：
甲单独做12h加工1500个零件，因此甲每小时加工零件数为 $\dfrac{1500}{12}$ 个；
乙单独做15h加工1500个零件，因此乙每小时加工零件数为 $\dfrac{1500}{15}$ 个。
两人合作的总效率为甲乙效率之和，合作x小时的总工作量等于总零件数1500个，根据“总工作量=效率和×合作时间”列方程得：
$( \dfrac{1500}{12} + \dfrac{1500}{15} ) x = 1500$，对应选项B。
（补充排除其他选项：选项A是将工作总量视为单位1时的列法，不符合本题总量为1500的设定；选项C甲的效率计算错误；选项D右边总工作量写为1，错误。）
【答案】
B
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用、工作量公式
【点评】
本题属于工程问题基础题型，易错点是混淆“工作总量为具体数值”和“工作总量视为单位1”两种情况，解题时要先明确总工作量的形式，再准确计算工作效率，结合等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.7
3. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或制盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有108张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？
答案
3. 用63张制盒身,45张制盒底,可以正好制成整套罐头盒.
解析
【分析】这是典型的一元一次方程配套问题，解题核心是找到配套对应的数量等量关系：盒底总数量=2×盒身总数量。首先设制作盒身的铁皮张数为未知数，用总张数减去这个未知数得到制作盒底的铁皮张数，再分别表示出盒身、盒底的总数量，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用$ x $张白铁皮制盒身，则用$ (108-x) $张制盒底。
根据“1个盒身配2个盒底，盒底总数是盒身总数的2倍”，列方程：
$ 42(108-x) = 2×15x $
展开得：$ 4536 - 42x = 30x $
移项合并同类项得：$ 72x = 4536 $
解得：$ x = 63 $
则制盒底的铁皮张数为：$ 108 - 63 = 45 $（张）
检验：盒身总数$ 15×63=945 $个，盒底总数$ 42×45=1890 $个，$ 1890=2×945 $，符合配套要求。
【答案】用63张制盒身，45张制盒底，可以正好制成整套罐头盒。
【知识点】一元一次方程应用；配套问题
【点评】本题是配套类实际应用题，解题关键是准确抓住配套时两种部件的数量关系，据此列一元一次方程求解即可，计算时注意移项的符号问题。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设用$ x $张白铁皮制盒身，则用$ (108-x) $张制盒底。
根据“1个盒身配2个盒底，盒底总数是盒身总数的2倍”，列方程：
$ 42(108-x) = 2×15x $
展开得：$ 4536 - 42x = 30x $
移项合并同类项得：$ 72x = 4536 $
解得：$ x = 63 $
则制盒底的铁皮张数为：$ 108 - 63 = 45 $（张）
检验：盒身总数$ 15×63=945 $个，盒底总数$ 42×45=1890 $个，$ 1890=2×945 $，符合配套要求。
【答案】用63张制盒身，45张制盒底，可以正好制成整套罐头盒。
【知识点】一元一次方程应用；配套问题
【点评】本题是配套类实际应用题，解题关键是准确抓住配套时两种部件的数量关系，据此列一元一次方程求解即可，计算时注意移项的符号问题。
【难度系数】0.7
4. 某工厂接到生产一批玩具的任务，甲车间单独完成这项任务需要20天，乙车间单独完成这项任务需要16天. 甲、乙两个车间合作生产4天后，乙车间另有别的任务，剩下的由甲车间单独完成. 问：甲车间还需要几天完成全部生产玩具的任务？
答案
4. 11天
解析
【分析】
本题属于工程类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先工程问题通常将总工作量设为单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别求出甲、乙两车间的工作效率；再找到等量关系：甲乙合作4天的工作量 + 甲单独完成剩余部分的工作量 = 总工作量1；最后设甲还需的工作时间为未知数，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设甲车间还需要x天完成全部生产玩具的任务，将总工作量看作单位“1”。
由题意得，甲车间的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙车间的工作效率为$\frac{1}{16}$。
根据总工作量为1，列方程：
$4×(\frac{1}{20}+\frac{1}{16}) + \frac{1}{20}x = 1$
先计算括号内的加法：$\frac{1}{20}+\frac{1}{16}=\frac{4}{80}+\frac{5}{80}=\frac{9}{80}$
代入方程得：$4×\frac{9}{80} + \frac{x}{20} = 1$
化简得：$\frac{9}{20} + \frac{x}{20} = 1$
两边同时乘以20去分母得：$9 + x = 20$
解得：$x=11$
【答案】
11天
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的基础题型，关键是熟练掌握将总工作量设为1的处理方法，准确梳理不同工作阶段对应的工作量，找到正确的等量关系列方程，计算时注意通分的准确性即可。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类一元一次方程应用题，解题思路如下：首先工程问题通常将总工作量设为单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成时间”分别求出甲、乙两车间的工作效率；再找到等量关系：甲乙合作4天的工作量 + 甲单独完成剩余部分的工作量 = 总工作量1；最后设甲还需的工作时间为未知数，根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设甲车间还需要x天完成全部生产玩具的任务，将总工作量看作单位“1”。
由题意得，甲车间的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙车间的工作效率为$\frac{1}{16}$。
根据总工作量为1，列方程：
$4×(\frac{1}{20}+\frac{1}{16}) + \frac{1}{20}x = 1$
先计算括号内的加法：$\frac{1}{20}+\frac{1}{16}=\frac{4}{80}+\frac{5}{80}=\frac{9}{80}$
代入方程得：$4×\frac{9}{80} + \frac{x}{20} = 1$
化简得：$\frac{9}{20} + \frac{x}{20} = 1$
两边同时乘以20去分母得：$9 + x = 20$
解得：$x=11$
【答案】
11天
【知识点】
工程问题、一元一次方程的应用、工作量计算公式
【点评】
本题是工程问题的基础题型，关键是熟练掌握将总工作量设为1的处理方法，准确梳理不同工作阶段对应的工作量，找到正确的等量关系列方程，计算时注意通分的准确性即可。
【难度系数】
0.7
