登录
1. (★)如图,有一个边长为m的三个小长方形拼在一起组成新的长方形,则新长方形的面积可以表示为$m(a+b+c)$,也可以表示为,所以$m(a+b+c)=$.这个等式提供了单项式与多项式相乘的方法.
答案
解：
新长方形的面积可以表示为$m(a+b+c)$，也可以表示为$\boldsymbol{ma+mb+mc}$，所以$m(a+b+c)=\boldsymbol{ma+mb+mc}$。
新长方形的面积可以表示为$m(a+b+c)$，也可以表示为$\boldsymbol{ma+mb+mc}$，所以$m(a+b+c)=\boldsymbol{ma+mb+mc}$。
2. (★)一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘,再把所得的积.
答案
解：多项式的每一项
相加
相加
3. (★)计算:$2a(3a-2b)=$;
$-x(x^2+x-1)=$.
$-x(x^2+x-1)=$.
答案
$\boldsymbol{6a^2-4ab}$；$\boldsymbol{-x^3 -x^2 +x}$
解析
解：
根据单项式乘多项式的法则计算：
$2a(3a-2b)=2a· 3a + 2a· (-2b)=6a^2-4ab$
$-x(x^2+x-1)=(-x)· x^2 + (-x)· x + (-x)· (-1)=-x^3 -x^2 +x$
最终
根据单项式乘多项式的法则计算：
$2a(3a-2b)=2a· 3a + 2a· (-2b)=6a^2-4ab$
$-x(x^2+x-1)=(-x)· x^2 + (-x)· x + (-x)· (-1)=-x^3 -x^2 +x$
最终
4. (★)计算$-2x(x^2 - y)$正确的是 【 】
A.$-2x^3 - y$
B.$-2x^3 - 2xy$
C.$2x^3 - 2xy$
D.$-2x^3 + 2xy$
A.$-2x^3 - y$
B.$-2x^3 - 2xy$
C.$2x^3 - 2xy$
D.$-2x^3 + 2xy$
答案
D
解析
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式-2x分别乘多项式$x^2 - y$的每一项，再把所得的积相加：
$-2x· x^2 + (-2x)·(-y) = -2x^3 + 2xy$
$-2x· x^2 + (-2x)·(-y) = -2x^3 + 2xy$
5. (★)下列计算错误的是 【 】
A.$2x^2(\dfrac{1}{3}x - y) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2y$
B.$3x^2y(1 - 2y^3) = 3x^2y + 6x^2y^3$
C.$2x(3x^2 - xy + y) = 6x^3 - 2x^2y + 2xy$
D.$-2x(x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1) = -2x^3 + x^2 - 2x$
A.$2x^2(\dfrac{1}{3}x - y) = \dfrac{2}{3}x^3 - 2x^2y$
B.$3x^2y(1 - 2y^3) = 3x^2y + 6x^2y^3$
C.$2x(3x^2 - xy + y) = 6x^3 - 2x^2y + 2xy$
D.$-2x(x^2 - \dfrac{1}{2}x + 1) = -2x^3 + x^2 - 2x$
答案
B
解析
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，逐一验证：
1. 验证A：$2x^2(\frac{1}{3}x - y)=2x^2·\frac{1}{3}x + 2x^2·(-y)=\frac{2}{3}x^3 - 2x^2y$，计算正确。
2. 验证B：$3x^2y(1 - 2y^3)=3x^2y·1 + 3x^2y·(-2y^3)=3x^2y - 6x^2y^3$，原式结果符号错误，计算错误。
3. 验证C：$2x(3x^2 - xy + y)=2x·3x^2 + 2x·(-xy) + 2x· y=6x^3 - 2x^2y + 2xy$，计算正确。
4. 验证D：$-2x(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)=-2x· x^2 + (-2x)·(-\frac{1}{2}x) + (-2x)·1=-2x^3 + x^2 - 2x$，计算正确。
所以计算错误的是选项B。
1. 验证A：$2x^2(\frac{1}{3}x - y)=2x^2·\frac{1}{3}x + 2x^2·(-y)=\frac{2}{3}x^3 - 2x^2y$，计算正确。
2. 验证B：$3x^2y(1 - 2y^3)=3x^2y·1 + 3x^2y·(-2y^3)=3x^2y - 6x^2y^3$，原式结果符号错误，计算错误。
3. 验证C：$2x(3x^2 - xy + y)=2x·3x^2 + 2x·(-xy) + 2x· y=6x^3 - 2x^2y + 2xy$，计算正确。
4. 验证D：$-2x(x^2 - \frac{1}{2}x + 1)=-2x· x^2 + (-2x)·(-\frac{1}{2}x) + (-2x)·1=-2x^3 + x^2 - 2x$，计算正确。
所以计算错误的是选项B。
6. (★)数学课上，老师讲了单项式乘多项
式.放学回到家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：$-4xy(3y - 2x - 3) = -12xy^2□ + 12xy$，的地方被墨水弄污了.你认为内应填写【 】
A.$+8x^2y$
B.$-8x^2y$
C.$+8xy$
D.$-8xy^2$
式.放学回到家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：$-4xy(3y - 2x - 3) = -12xy^2□ + 12xy$，的地方被墨水弄污了.你认为内应填写【 】
A.$+8x^2y$
B.$-8x^2y$
C.$+8xy$
D.$-8xy^2$
答案
A
解析
根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式$-4xy$分别乘多项式$3y-2x-3$的每一项：
1. $-4xy· 3y=-12xy^2$
2. $-4xy· (-2x)=+8x^2y$
3. $-4xy· (-3)=12xy$
因此原式展开结果为$-12xy^2+8x^2y+12xy$，可得内应填写$+8x^2y$。
1. $-4xy· 3y=-12xy^2$
2. $-4xy· (-2x)=+8x^2y$
3. $-4xy· (-3)=12xy$
因此原式展开结果为$-12xy^2+8x^2y+12xy$，可得内应填写$+8x^2y$。
7. (★★)一个长方体的长为$3x+1$，宽为$2x$，高为$3x$，则它的表面积为。
答案
$\boldsymbol{42x^2+10x}$
解析
解：
长方体表面积公式为$S=2(ab+ah+bh)$，其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高。
将$a=3x+1$，$b=2x$，$h=3x$代入公式：
$\begin{aligned}S&=2[(3x+1)· 2x + (3x+1)· 3x + 2x· 3x]\\&=2(6x^2+2x + 9x^2+3x + 6x^2)\\&=2(21x^2 +5x)\\&=42x^2 +10x\end{aligned}$
最终
长方体表面积公式为$S=2(ab+ah+bh)$，其中$a$为长，$b$为宽，$h$为高。
将$a=3x+1$，$b=2x$，$h=3x$代入公式：
$\begin{aligned}S&=2[(3x+1)· 2x + (3x+1)· 3x + 2x· 3x]\\&=2(6x^2+2x + 9x^2+3x + 6x^2)\\&=2(21x^2 +5x)\\&=42x^2 +10x\end{aligned}$
最终
8. (★★)计算：
(1) $(2xy^2 - 3xy) · 2xy$；
(2) $-2ab(ab - 3ab^2 - 1)$；
(3) $( \frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{b}{2} ) · ab$。
(1) $(2xy^2 - 3xy) · 2xy$；
(2) $-2ab(ab - 3ab^2 - 1)$；
(3) $( \frac{3}{4}a^{n+1} - \frac{b}{2} ) · ab$。
答案
解：
(1) 原式 = $2xy^2·2xy - 3xy·2xy$
$= 4x^2y^3 - 6x^2y^2$
(2) 原式 = $-2ab·ab + (-2ab)·(-3ab^2) + (-2ab)·(-1)$
$= -2a^2b^2 + 6a^2b^3 + 2ab$
(3) 原式 = $\frac{3}{4}a^{n+1}·ab - \frac{b}{2}·ab$
$= \frac{3}{4}a^{n+2}b - \frac{1}{2}ab^2$
(1) 原式 = $2xy^2·2xy - 3xy·2xy$
$= 4x^2y^3 - 6x^2y^2$
(2) 原式 = $-2ab·ab + (-2ab)·(-3ab^2) + (-2ab)·(-1)$
$= -2a^2b^2 + 6a^2b^3 + 2ab$
(3) 原式 = $\frac{3}{4}a^{n+1}·ab - \frac{b}{2}·ab$
$= \frac{3}{4}a^{n+2}b - \frac{1}{2}ab^2$
9. (★★) 先化简, 再求值: $(a^2b + ab^2 - 3b^2) · 4ab^2 - (-2ab^2)^2$, 其中 $a=2, b=\frac{1}{2}$.
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a^2b + ab^2 - 3b^2) · 4ab^2 - (-2ab^2)^2\\=&a^2b · 4ab^2 + ab^2 · 4ab^2 - 3b^2 · 4ab^2 - 4a^2b^4\\=&4a^3b^3 + 4a^2b^4 - 12ab^4 - 4a^2b^4\\=&4a^3b^3 - 12ab^4\end{aligned}$
将$a=2$，$b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4× 2^3 × (\frac{1}{2})^3 - 12× 2 × (\frac{1}{2})^4\\&=4× 8 × \frac{1}{8} - 24 × \frac{1}{16}\\&=4 - \frac{3}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a^2b + ab^2 - 3b^2) · 4ab^2 - (-2ab^2)^2\\=&a^2b · 4ab^2 + ab^2 · 4ab^2 - 3b^2 · 4ab^2 - 4a^2b^4\\=&4a^3b^3 + 4a^2b^4 - 12ab^4 - 4a^2b^4\\=&4a^3b^3 - 12ab^4\end{aligned}$
将$a=2$，$b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4× 2^3 × (\frac{1}{2})^3 - 12× 2 × (\frac{1}{2})^4\\&=4× 8 × \frac{1}{8} - 24 × \frac{1}{16}\\&=4 - \frac{3}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
