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11. (★)计算$(-ab^2)^3 · (-b)$的结果是
【 】
A.$ab^6$
B.$-a^3b^6$
C.$a^3b^7$
D.$-a^3b^7$
【 】
A.$ab^6$
B.$-a^3b^6$
C.$a^3b^7$
D.$-a^3b^7$
答案
C
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路分两步：第一步先根据积的乘方运算法则计算$(-ab^2)^3$，注意每个因式都要分别乘方，重点关注负号的运算结果；第二步将第一步得到的结果与$(-b)$按照单项式乘单项式的法则计算，系数相乘的同时，同底数幂按规则合并，最后整理得到最终结果即可。
【解析】
1. 计算积的乘方$(-ab^2)^3$
根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$可得：
$(-ab^2)^3=(-1)^3· a^3· (b^2)^3=-a^3b^6$
2. 计算单项式乘法$(-a^3b^6)· (-b)$
根据单项式乘单项式运算规则，系数先相乘，同底数幂再合并：
$(-a^3b^6)· (-b)=[(-1)×(-1)]· a^3· (b^6· b)$
结合同底数幂乘法法则$x^m· x^n=x^{m+n}$，得$b^6· b=b^{6+1}=b^7$，因此最终结果为$a^3b^7$。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，解题核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算过程中要格外注意符号的处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的乘法运算，解题思路分两步：第一步先根据积的乘方运算法则计算$(-ab^2)^3$，注意每个因式都要分别乘方，重点关注负号的运算结果；第二步将第一步得到的结果与$(-b)$按照单项式乘单项式的法则计算，系数相乘的同时，同底数幂按规则合并，最后整理得到最终结果即可。
【解析】
1. 计算积的乘方$(-ab^2)^3$
根据积的乘方法则$(xy)^n=x^n y^n$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$可得：
$(-ab^2)^3=(-1)^3· a^3· (b^2)^3=-a^3b^6$
2. 计算单项式乘法$(-a^3b^6)· (-b)$
根据单项式乘单项式运算规则，系数先相乘，同底数幂再合并：
$(-a^3b^6)· (-b)=[(-1)×(-1)]· a^3· (b^6· b)$
结合同底数幂乘法法则$x^m· x^n=x^{m+n}$，得$b^6· b=b^{6+1}=b^7$，因此最终结果为$a^3b^7$。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，解题核心是熟练掌握各类幂的运算法则，运算过程中要格外注意符号的处理，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
12. (★)下列计算错误的是 【 】
A.$3x^2 · 2x^3 = 6x^5$
B.$-ac^2 · (-7ab^2) = 7ab^2c^2$
C.$5x^2y · (-2xy^5) = -10x^3y^6$
D.$34ax · 2by = 68abxy$
A.$3x^2 · 2x^3 = 6x^5$
B.$-ac^2 · (-7ab^2) = 7ab^2c^2$
C.$5x^2y · (-2xy^5) = -10x^3y^6$
D.$34ax · 2by = 68abxy$
答案
B
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题时需依据单项式乘单项式的法则逐个验证四个选项的运算结果，找出计算错误的选项即可。单项式乘单项式法则为：将两个单项式的系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式。
【解析】
我们依据单项式乘单项式法则逐一计算各选项：
A选项：$3x^2 · 2x^3$，系数相乘得$3×2=6$，同底数幂$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$，结果为$6x^5$，计算正确，不符合题意。
B选项：$-ac^2 · (-7ab^2)$，系数相乘得$(-1)×(-7)=7$，同底数幂$a·a=a^{1+1}=a^2$，再加上仅在各单项式中出现的$b^2$、$c^2$，结果应为$7a^2b^2c^2$，与选项给出的$7ab^2c^2$不符，计算错误，符合题意。
C选项：$5x^2y · (-2xy^5)$，系数相乘得$5×(-2)=-10$，同底数幂$x^2·x=x^{2+1}=x^3$、$y·y^5=y^{1+5}=y^6$，结果为$-10x^3y^6$，计算正确，不符合题意。
D选项：$34ax · 2by$，系数相乘得$34×2=68$，仅出现一次的字母$a、b、x、y$依次保留，结果为$68abxy$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘单项式的运算规则，计算时需注意三点：一是不要搞错系数的正负号，二是同底数幂相乘要做指数加法而非乘法，三是不要漏乘仅在一个单项式中出现的字母。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘单项式的运算，解题时需依据单项式乘单项式的法则逐个验证四个选项的运算结果，找出计算错误的选项即可。单项式乘单项式法则为：将两个单项式的系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式。
【解析】
我们依据单项式乘单项式法则逐一计算各选项：
A选项：$3x^2 · 2x^3$，系数相乘得$3×2=6$，同底数幂$x^2·x^3=x^{2+3}=x^5$，结果为$6x^5$，计算正确，不符合题意。
B选项：$-ac^2 · (-7ab^2)$，系数相乘得$(-1)×(-7)=7$，同底数幂$a·a=a^{1+1}=a^2$，再加上仅在各单项式中出现的$b^2$、$c^2$，结果应为$7a^2b^2c^2$，与选项给出的$7ab^2c^2$不符，计算错误，符合题意。
C选项：$5x^2y · (-2xy^5)$，系数相乘得$5×(-2)=-10$，同底数幂$x^2·x=x^{2+1}=x^3$、$y·y^5=y^{1+5}=y^6$，结果为$-10x^3y^6$，计算正确，不符合题意。
D选项：$34ax · 2by$，系数相乘得$34×2=68$，仅出现一次的字母$a、b、x、y$依次保留，结果为$68abxy$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘单项式的运算规则，计算时需注意三点：一是不要搞错系数的正负号，二是同底数幂相乘要做指数加法而非乘法，三是不要漏乘仅在一个单项式中出现的字母。
【难度系数】
0.8
13. (★)已知单项式$6x^3y$与$-\dfrac{3}{2}x^ny^2$的积为$mx^9y^3$，则$m=$，$n=$。
答案
$m=\boldsymbol{-9}$，$n=\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆单项式乘单项式的运算规则：两个单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。我们先计算已知两个单项式的乘积，再将计算结果与题目给出的积$mx^9y^3$对比，让对应系数相等、同底数幂的指数相等，即可求出$m$和$n$的值。
【解析】
先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}6x^3y · (-\dfrac{3}{2}x^ny^2) &= [6×(-\dfrac{3}{2})] · (x^3 · x^n) · (y · y^2) \\&= -9 · x^{3+n} · y^{1+2} \\&= -9x^{3+n}y^3\end{aligned}$
已知该乘积等于$mx^9y^3$，根据两个单项式相等时，对应系数相等、同底数幂的指数相等，可得：
系数部分：$m=-9$
$x$的指数部分：$3+n=9$，解得$n=6$
【答案】
$m=-9$，$n=6$
【知识点】
1.单项式乘单项式运算 2.同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘单项式的运算规则，只要熟练掌握“系数相乘作积的系数、同底数幂相乘指数相加”的运算要点，就能快速准确求解，是整式乘法章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆单项式乘单项式的运算规则：两个单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。我们先计算已知两个单项式的乘积，再将计算结果与题目给出的积$mx^9y^3$对比，让对应系数相等、同底数幂的指数相等，即可求出$m$和$n$的值。
【解析】
先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}6x^3y · (-\dfrac{3}{2}x^ny^2) &= [6×(-\dfrac{3}{2})] · (x^3 · x^n) · (y · y^2) \\&= -9 · x^{3+n} · y^{1+2} \\&= -9x^{3+n}y^3\end{aligned}$
已知该乘积等于$mx^9y^3$，根据两个单项式相等时，对应系数相等、同底数幂的指数相等，可得：
系数部分：$m=-9$
$x$的指数部分：$3+n=9$，解得$n=6$
【答案】
$m=-9$，$n=6$
【知识点】
1.单项式乘单项式运算 2.同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘单项式的运算规则，只要熟练掌握“系数相乘作积的系数、同底数幂相乘指数相加”的运算要点，就能快速准确求解，是整式乘法章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
14. (★)计算:$(-2xy^2)· \frac{3}{2}y^3=$ ；$(-a)^3(-b)^2=$ ；$(-2ab)^2· a^3b^2=$
答案
解：
$(-2xy^2)·\frac{3}{2}y^3$
$=(-2×\frac{3}{2})· x· (y^2· y^3)$
$=-3xy^5$
$(-a)^3(-b)^2$
$=(-a^3)· b^2$
$=-a^3b^2$
$(-2ab)^2·a^3b^2$
$=4a^2b^2· a^3b^2$
$=4· (a^2· a^3)· (b^2· b^2)$
$=4a^5b^4$
最终答案依次为：$\boldsymbol{-3xy^5}$；$\boldsymbol{-a^3b^2}$；$\boldsymbol{4a^5b^4}$。
$(-2xy^2)·\frac{3}{2}y^3$
$=(-2×\frac{3}{2})· x· (y^2· y^3)$
$=-3xy^5$
$(-a)^3(-b)^2$
$=(-a^3)· b^2$
$=-a^3b^2$
$(-2ab)^2·a^3b^2$
$=4a^2b^2· a^3b^2$
$=4· (a^2· a^3)· (b^2· b^2)$
$=4a^5b^4$
最终答案依次为：$\boldsymbol{-3xy^5}$；$\boldsymbol{-a^3b^2}$；$\boldsymbol{4a^5b^4}$。
解析
【分析】
本题考查整式的乘法相关运算，解题思路如下：①先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再算单项式乘法；②计算单项式乘法时，遵循“系数先相乘，同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数照写”的规则；③乘方运算时注意符号判断：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，同底数幂相乘时底数不变、指数相加。
第一个式子是单项式乘单项式，直接按单项式乘法法则计算即可；第二个式子先分别计算两个乘方的结果，再做乘法运算；第三个式子先算积的乘方，再按单项式乘法法则计算。
【解析】
1. 计算$(-2xy^2)· \frac{3}{2}y^3$：
按单项式乘法法则，将系数、同底数幂分别相乘：
$(-2xy^2)·\frac{3}{2}y^3$
$=(-2×\frac{3}{2})· x· (y^2· y^3)$
$=-3xy^5$
2. 计算$(-a)^3(-b)^2$：
先计算乘方，再算乘法：
$(-a)^3(-b)^2$
$=(-a^3)· b^2$
$=-a^3b^2$
3. 计算$(-2ab)^2· a^3b^2$：
先算积的乘方，再算单项式乘法：
$(-2ab)^2·a^3b^2$
$=4a^2b^2· a^3b^2$
$=4· (a^2· a^3)· (b^2· b^2)$
$=4a^5b^4$
【答案】
$\boldsymbol{-3xy^5}$；$\boldsymbol{-a^3b^2}$；$\boldsymbol{4a^5b^4}$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，尤其要注意乘方的符号判断和指数的计算，避免因粗心导致符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的乘法相关运算，解题思路如下：①先明确运算顺序：有乘方先算乘方，再算单项式乘法；②计算单项式乘法时，遵循“系数先相乘，同底数幂分别相乘，单独出现的字母连同指数照写”的规则；③乘方运算时注意符号判断：负数的奇次幂为负，偶次幂为正，同底数幂相乘时底数不变、指数相加。
第一个式子是单项式乘单项式，直接按单项式乘法法则计算即可；第二个式子先分别计算两个乘方的结果，再做乘法运算；第三个式子先算积的乘方，再按单项式乘法法则计算。
【解析】
1. 计算$(-2xy^2)· \frac{3}{2}y^3$：
按单项式乘法法则，将系数、同底数幂分别相乘：
$(-2xy^2)·\frac{3}{2}y^3$
$=(-2×\frac{3}{2})· x· (y^2· y^3)$
$=-3xy^5$
2. 计算$(-a)^3(-b)^2$：
先计算乘方，再算乘法：
$(-a)^3(-b)^2$
$=(-a^3)· b^2$
$=-a^3b^2$
3. 计算$(-2ab)^2· a^3b^2$：
先算积的乘方，再算单项式乘法：
$(-2ab)^2·a^3b^2$
$=4a^2b^2· a^3b^2$
$=4· (a^2· a^3)· (b^2· b^2)$
$=4a^5b^4$
【答案】
$\boldsymbol{-3xy^5}$；$\boldsymbol{-a^3b^2}$；$\boldsymbol{4a^5b^4}$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，尤其要注意乘方的符号判断和指数的计算，避免因粗心导致符号或指数计算错误。
【难度系数】
0.9
15. (★★)计算：
(1) $(-3x^2y)^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$；
(2) $(-4ab^3)(-\dfrac{1}{8}ab) - (\dfrac{1}{2}ab^2)^2$。
(1) $(-3x^2y)^2 · (-\dfrac{2}{3}xyz) · \dfrac{3}{4}xz^2$；
(2) $(-4ab^3)(-\dfrac{1}{8}ab) - (\dfrac{1}{2}ab^2)^2$。
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9x^4y^2 · (-\frac{2}{3}xyz) · \frac{3}{4}xz^2\\&=[9×(-\frac{2}{3})×\frac{3}{4}] · x^{4+1+1}y^{2+1}z^{1+2}\\&=-\frac{9}{2}x^6y^3z^3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(-4)×(-\frac{1}{8})]a^{1+1}b^{3+1} - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{2}a^2b^4 - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{4}a^2b^4\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9x^4y^2 · (-\frac{2}{3}xyz) · \frac{3}{4}xz^2\\&=[9×(-\frac{2}{3})×\frac{3}{4}] · x^{4+1+1}y^{2+1}z^{1+2}\\&=-\frac{9}{2}x^6y^3z^3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(-4)×(-\frac{1}{8})]a^{1+1}b^{3+1} - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{2}a^2b^4 - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{4}a^2b^4\end{aligned}$
解析
【分析】
(1) 本题是单项式连乘运算，遵循先乘方后乘法的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算$(-3x^2y)^2$，第二步将所有单项式的系数相乘，同底数幂的指数分别相加，注意符号运算，最后整理得到结果。
(2) 本题是整式混合运算，运算顺序为先乘方、再乘法、最后加减：第一步分别计算单项式乘法$(-4ab^3)(-\frac{1}{8}ab)$和积的乘方$(\frac{1}{2}ab^2)^2$，第二步判断两个运算结果为同类项，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9x^4y^2 · (-\frac{2}{3}xyz) · \frac{3}{4}xz^2\\&=[9×(-\frac{2}{3})×\frac{3}{4}] · x^{4+1+1}y^{2+1}z^{1+2}\\&=-\frac{9}{2}x^6y^3z^3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(-4)×(-\frac{1}{8})]a^{1+1}b^{3+1} - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{2}a^2b^4 - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{4}a^2b^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{9}{2}x^6y^3z^3$；(2) $\dfrac{1}{4}a^2b^4$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查运算顺序和整式运算法则，解题时要格外注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，熟练掌握基础运算法则是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是单项式连乘运算，遵循先乘方后乘法的运算顺序：第一步先根据积的乘方法则计算$(-3x^2y)^2$，第二步将所有单项式的系数相乘，同底数幂的指数分别相加，注意符号运算，最后整理得到结果。
(2) 本题是整式混合运算，运算顺序为先乘方、再乘法、最后加减：第一步分别计算单项式乘法$(-4ab^3)(-\frac{1}{8}ab)$和积的乘方$(\frac{1}{2}ab^2)^2$，第二步判断两个运算结果为同类项，合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9x^4y^2 · (-\frac{2}{3}xyz) · \frac{3}{4}xz^2\\&=[9×(-\frac{2}{3})×\frac{3}{4}] · x^{4+1+1}y^{2+1}z^{1+2}\\&=-\frac{9}{2}x^6y^3z^3\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(-4)×(-\frac{1}{8})]a^{1+1}b^{3+1} - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{2}a^2b^4 - \frac{1}{4}a^2b^4\\&=\frac{1}{4}a^2b^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{9}{2}x^6y^3z^3$；(2) $\dfrac{1}{4}a^2b^4$
【知识点】
积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查运算顺序和整式运算法则，解题时要格外注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，熟练掌握基础运算法则是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
16. (★★) 某环保局将一个长为 $1 × 10^3$ dm、宽为 $2 × 10^2$ dm、高为 $4 × 10$ dm 的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，请你想一想，能否有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满？若有，求出正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由。
答案
解：
长方体废水池的容积为：
$\begin{aligned}&(1×10^3)×(2×10^2)×(4×10)\\=&(1×2×4)×(10^3×10^2×10)\\=&8×10^{6}\ (\mathrm{dm}^3)\end{aligned}$
因为 $8×10^6=(2×10^2)^3$，所以存在这样的正方体贮水池可以将这些废水刚好装满。
正方体贮水池的棱长为 $2×10^2\ \mathrm{dm}$，即200 dm。
答：有符合要求的正方体贮水池，它的棱长为200 dm。
长方体废水池的容积为：
$\begin{aligned}&(1×10^3)×(2×10^2)×(4×10)\\=&(1×2×4)×(10^3×10^2×10)\\=&8×10^{6}\ (\mathrm{dm}^3)\end{aligned}$
因为 $8×10^6=(2×10^2)^3$，所以存在这样的正方体贮水池可以将这些废水刚好装满。
正方体贮水池的棱长为 $2×10^2\ \mathrm{dm}$，即200 dm。
答：有符合要求的正方体贮水池，它的棱长为200 dm。
解析
【分析】
要判断是否存在刚好装满废水的正方体贮水池，核心是废水总体积等于正方体贮水池的容积。解题思路如下：第一步先根据长方体体积公式计算出废水的总体积，计算时对科学记数法表示的长、宽、高，分别将系数相乘、同底数幂相乘得到体积结果；第二步判断该体积结果是否为某个正数的立方，若存在这样的正数，该数就是正方体贮水池的棱长。
【解析】
首先计算长方体废水池的容积（即废水总体积）：
$\begin{aligned}&(1×10^3)×(2×10^2)×(4×10)\\=&(1×2×4)×(10^3×10^2×10)\\=&8×10^{6}\ (\mathrm{dm}^3)\end{aligned}$
接下来判断该体积是否为完全立方数：
因为$8×10^6=2^3×(10^2)^3=(2×10^2)^3$，所以存在这样的正方体贮水池可以刚好装满这些废水。
正方体贮水池的棱长为$2×10^2\ \mathrm{dm}=200\ \mathrm{dm}$。
【答案】
有符合要求的正方体贮水池，它的棱长为200 dm。
【知识点】
长方体正方体体积计算、同底数幂的乘法、立方根的应用
【点评】
本题结合实际场景考察整式乘法的应用，解题关键是理解“刚好装满”等价于长方体容积与正方体容积相等，运算时需注意同底数幂相乘时指数相加的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在刚好装满废水的正方体贮水池，核心是废水总体积等于正方体贮水池的容积。解题思路如下：第一步先根据长方体体积公式计算出废水的总体积，计算时对科学记数法表示的长、宽、高，分别将系数相乘、同底数幂相乘得到体积结果；第二步判断该体积结果是否为某个正数的立方，若存在这样的正数，该数就是正方体贮水池的棱长。
【解析】
首先计算长方体废水池的容积（即废水总体积）：
$\begin{aligned}&(1×10^3)×(2×10^2)×(4×10)\\=&(1×2×4)×(10^3×10^2×10)\\=&8×10^{6}\ (\mathrm{dm}^3)\end{aligned}$
接下来判断该体积是否为完全立方数：
因为$8×10^6=2^3×(10^2)^3=(2×10^2)^3$，所以存在这样的正方体贮水池可以刚好装满这些废水。
正方体贮水池的棱长为$2×10^2\ \mathrm{dm}=200\ \mathrm{dm}$。
【答案】
有符合要求的正方体贮水池，它的棱长为200 dm。
【知识点】
长方体正方体体积计算、同底数幂的乘法、立方根的应用
【点评】
本题结合实际场景考察整式乘法的应用，解题关键是理解“刚好装满”等价于长方体容积与正方体容积相等，运算时需注意同底数幂相乘时指数相加的规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
17. (★★★)已知 $ x^{2n} - 3 = 0 $，求 $ x^{4n} + (2x^n)(-5x^{5n}) $ 的值.
答案
解：
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}x^{4n} + (2x^n)(-5x^{5n})&=x^{4n} - 10x^{n+5n}\\&=x^{4n} - 10x^{6n}\\&=(x^{2n})^2 - 10· (x^{2n})^3\end{aligned}$
由$x^{2n} - 3 = 0$，可得$x^{2n}=3$。
将$x^{2n}=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^2 - 10× 3^3\\&=9 - 10× 27\\&=9 - 270\\&=-261\end{aligned}$
最终值为$\boldsymbol{-261}$。
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}x^{4n} + (2x^n)(-5x^{5n})&=x^{4n} - 10x^{n+5n}\\&=x^{4n} - 10x^{6n}\\&=(x^{2n})^2 - 10· (x^{2n})^3\end{aligned}$
由$x^{2n} - 3 = 0$，可得$x^{2n}=3$。
将$x^{2n}=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^2 - 10× 3^3\\&=9 - 10× 27\\&=9 - 270\\&=-261\end{aligned}$
最终值为$\boldsymbol{-261}$。
解析
【分析】
本题已知含$x^{2n}$的等式，要求含更高次幂的代数式的值，解题思路如下：首先先化简所求代数式，先计算单项式乘单项式的部分，运用同底数幂相乘的法则计算；接着运用幂的乘方的逆运算，将化简后的式子中所有幂的指数都转化为$2n$的倍数，方便用已知的$x^{2n}$整体代入；最后将$x^{2n}$的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}x^{4n} + (2x^n)(-5x^{5n})&=x^{4n} - 10x^{n+5n}\\&=x^{4n} - 10x^{6n}\\&=(x^{2n})^2 - 10· (x^{2n})^3\end{aligned}$
由$x^{2n} - 3 = 0$，可得$x^{2n}=3$。
将$x^{2n}=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^2 - 10× 3^3\\&=9 - 10× 27\\&=9 - 270\\&=-261\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-261}$
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方的逆运算
3.整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用和整体代入思想，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，将所求式子变形为含有已知条件的形式，计算时注意运算顺序，避免指数运算和数值计算出错。
【难度系数】
0.6
本题已知含$x^{2n}$的等式，要求含更高次幂的代数式的值，解题思路如下：首先先化简所求代数式，先计算单项式乘单项式的部分，运用同底数幂相乘的法则计算；接着运用幂的乘方的逆运算，将化简后的式子中所有幂的指数都转化为$2n$的倍数，方便用已知的$x^{2n}$整体代入；最后将$x^{2n}$的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先化简所求代数式：
$\begin{aligned}x^{4n} + (2x^n)(-5x^{5n})&=x^{4n} - 10x^{n+5n}\\&=x^{4n} - 10x^{6n}\\&=(x^{2n})^2 - 10· (x^{2n})^3\end{aligned}$
由$x^{2n} - 3 = 0$，可得$x^{2n}=3$。
将$x^{2n}=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3^2 - 10× 3^3\\&=9 - 10× 27\\&=9 - 270\\&=-261\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-261}$
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方的逆运算
3.整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活运用和整体代入思想，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，将所求式子变形为含有已知条件的形式，计算时注意运算顺序，避免指数运算和数值计算出错。
【难度系数】
0.6
