登录
一、选择题
1. 有下列函数表达式：① $y=-3x-2$；② $y=2x^2+1$；③ $y=2x-1$；④ $y=\frac{1}{3x}$。其中是一次函数的有(
A.1
B.2
C.3
D.4
1. 有下列函数表达式：① $y=-3x-2$；② $y=2x^2+1$；③ $y=2x-1$；④ $y=\frac{1}{3x}$。其中是一次函数的有(
B
)个。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
解题首先要明确一次函数的判定标准：一次函数的一般形式为$y=kx+b$，其中$k$、$b$为常数，且$k\ne0$，要求自变量$x$的最高次数为1，且$x$不能出现在分母、根号等位置。接下来我们只需要按照这个标准逐个判断给出的4个函数表达式，统计符合要求的个数即可得到答案。
【解析】
首先回忆一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数叫做一次函数，正比例函数是特殊的一次函数。
逐个判断表达式：
①$y=-3x-2$：符合一次函数的一般形式，$k=-3\ne0$，$x$的次数为1，是一次函数；
②$y=2x^2+1$：$x$的最高次数为2，属于二次函数，不是一次函数；
③$y=2x-1$：符合一次函数的一般形式，$k=2\ne0$，$x$的次数为1，是一次函数；
④$y=\frac{1}{3x}$：$x$在分母位置，属于反比例函数，$x$的次数为-1，不是一次函数。
综上，是一次函数的有①和③，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的判定；常见函数的识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一次函数定义的理解，解题时要注意区分一次函数、二次函数、反比例函数的形式特征，尤其要注意不要把含$x$高次项、或者$x$在分母的函数错判为一次函数。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一次函数的判定标准：一次函数的一般形式为$y=kx+b$，其中$k$、$b$为常数，且$k\ne0$，要求自变量$x$的最高次数为1，且$x$不能出现在分母、根号等位置。接下来我们只需要按照这个标准逐个判断给出的4个函数表达式，统计符合要求的个数即可得到答案。
【解析】
首先回忆一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数叫做一次函数，正比例函数是特殊的一次函数。
逐个判断表达式：
①$y=-3x-2$：符合一次函数的一般形式，$k=-3\ne0$，$x$的次数为1，是一次函数；
②$y=2x^2+1$：$x$的最高次数为2，属于二次函数，不是一次函数；
③$y=2x-1$：符合一次函数的一般形式，$k=2\ne0$，$x$的次数为1，是一次函数；
④$y=\frac{1}{3x}$：$x$在分母位置，属于反比例函数，$x$的次数为-1，不是一次函数。
综上，是一次函数的有①和③，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的判定；常见函数的识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一次函数定义的理解，解题时要注意区分一次函数、二次函数、反比例函数的形式特征，尤其要注意不要把含$x$高次项、或者$x$在分母的函数错判为一次函数。
【难度系数】
0.8
2. 已知正比例函数 $ y = -2x $，则它的图象经过的象限是(
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限
D.第二、三象限
B
)。A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、四象限
D.第二、三象限
答案
2. B
解析
【分析】
解决这道题的思路是先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，图象经过的象限由$k$的符号决定。我们首先从题目给出的函数解析式中找出$k$的值，判断$k$的正负，再对应性质就能确定图象经过的象限。
【解析】
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$），其图象是经过原点的直线：
1. 当$k＞0$时，直线经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$k＜0$时，直线经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
本题中函数$y=-2x$是正比例函数，其中$k=-2＜0$，因此它的图象经过第二、四象限。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对正比例函数性质的识记，熟练掌握$k$的符号与图象经过象限的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决这道题的思路是先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，图象经过的象限由$k$的符号决定。我们首先从题目给出的函数解析式中找出$k$的值，判断$k$的正负，再对应性质就能确定图象经过的象限。
【解析】
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是常数，$k\ne0$），其图象是经过原点的直线：
1. 当$k＞0$时，直线经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$k＜0$时，直线经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
本题中函数$y=-2x$是正比例函数，其中$k=-2＜0$，因此它的图象经过第二、四象限。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对正比例函数性质的识记，熟练掌握$k$的符号与图象经过象限的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 下列说法不正确的是(
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
D
).A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道概念辨析题，首先需要明确一次函数和正比例函数的定义及从属关系：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），当b=0时，一次函数就变为y=kx（k≠0），也就是正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。接下来我们逐一验证每个选项的正误，就能找到不正确的说法。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
一次函数：形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数；
正比例函数：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，属于b=0的特殊一次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：当一次函数中常数项b≠0时，该函数就不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数，说法正确，不符合题意；
B选项：正比例函数属于一次函数的一类，因此不属于一次函数的函数，一定不可能是正比例函数，说法正确，不符合题意；
C选项：正比例函数是常数项b=0的一次函数，因此是特殊的一次函数，说法正确，不符合题意；
D选项：当一次函数中常数项b≠0时，它不是正比例函数，但仍然属于一次函数，因此“不是正比例函数就一定不是一次函数”的说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数的定义 2.正比例函数的定义 3.一次函数与正比例函数的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理清一次函数和正比例函数的包含关系，只要准确掌握两类函数的定义，避免概念混淆就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
要解决这道概念辨析题，首先需要明确一次函数和正比例函数的定义及从属关系：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），当b=0时，一次函数就变为y=kx（k≠0），也就是正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。接下来我们逐一验证每个选项的正误，就能找到不正确的说法。
【解析】
首先明确两类函数的定义：
一次函数：形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数；
正比例函数：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，属于b=0的特殊一次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：当一次函数中常数项b≠0时，该函数就不是正比例函数，因此一次函数不一定是正比例函数，说法正确，不符合题意；
B选项：正比例函数属于一次函数的一类，因此不属于一次函数的函数，一定不可能是正比例函数，说法正确，不符合题意；
C选项：正比例函数是常数项b=0的一次函数，因此是特殊的一次函数，说法正确，不符合题意；
D选项：当一次函数中常数项b≠0时，它不是正比例函数，但仍然属于一次函数，因此“不是正比例函数就一定不是一次函数”的说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数的定义 2.正比例函数的定义 3.一次函数与正比例函数的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是理清一次函数和正比例函数的包含关系，只要准确掌握两类函数的定义，避免概念混淆就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
x 成正比例，且当 $ x = 2 $ 时，$ y = 3 $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是
$y=\frac{3}{2}x$
.答案
4. $y=\frac{3}{2}x$
解析
【分析】
已知y与x成正比例，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（k为常数，且$k≠0$），要求y与x的函数表达式，只需要求出未知系数k的值即可。我们可以将题目给出的$x=2$、$y=3$这组对应值代入一般式，得到关于k的一元一次方程，解出k后再代回一般式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
∵ y与x成正比例
∴ 设y与x的函数表达式为$ y = kx $（$ k ≠ 0 $，k为常数）
将$ x=2 $，$ y=3 $代入$ y = kx $，得：
$ 3 = 2k $
解得：$ k = \frac{3}{2} $
将$ k = \frac{3}{2} $代入$ y = kx $，可得函数表达式为$ y = \frac{3}{2}x $
【答案】
$ y=\frac{3}{2}x $
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查对正比例函数形式的识记和待定系数法的应用，解题思路清晰、步骤固定，是后续学习一次函数相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
已知y与x成正比例，首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（k为常数，且$k≠0$），要求y与x的函数表达式，只需要求出未知系数k的值即可。我们可以将题目给出的$x=2$、$y=3$这组对应值代入一般式，得到关于k的一元一次方程，解出k后再代回一般式，就能得到最终的函数表达式。
【解析】
∵ y与x成正比例
∴ 设y与x的函数表达式为$ y = kx $（$ k ≠ 0 $，k为常数）
将$ x=2 $，$ y=3 $代入$ y = kx $，得：
$ 3 = 2k $
解得：$ k = \frac{3}{2} $
将$ k = \frac{3}{2} $代入$ y = kx $，可得函数表达式为$ y = \frac{3}{2}x $
【答案】
$ y=\frac{3}{2}x $
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题型，核心考查对正比例函数形式的识记和待定系数法的应用，解题思路清晰、步骤固定，是后续学习一次函数相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
函数$y=2x^{m^2 -8} + m -3$是正比例函数，则$m$的值为
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数的定义：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），其核心特征有两个：一是自变量$x$的次数为1，二是没有常数项（即常数项为0），同时还要保证$x$的系数不为0。我们只需要根据这几个特征列出关于$m$的方程和约束条件，求解后取同时满足所有条件的$m$值即可。
【解析】
已知函数$y=2x^{m^2 -8} + m -3$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需满足以下条件：
1. 自变量$x$的次数为1：
$m^2 - 8 = 1$
解方程得：$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$。
2. 常数项为0：
$m - 3 = 0$，解得$m=3$。
3. $x$的系数不为0：本题中系数为$2≠0$，恒成立。
综上，同时满足所有条件的$m$值为$3$。
【答案】
3
【知识点】
正比例函数的定义，解方程
【点评】
本题重点考查对正比例函数定义的掌握，易错点是容易忽略常数项必须为0的要求，导致误将$m=-3$当作结果，牢记正比例函数的形式特征即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数的定义：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），其核心特征有两个：一是自变量$x$的次数为1，二是没有常数项（即常数项为0），同时还要保证$x$的系数不为0。我们只需要根据这几个特征列出关于$m$的方程和约束条件，求解后取同时满足所有条件的$m$值即可。
【解析】
已知函数$y=2x^{m^2 -8} + m -3$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需满足以下条件：
1. 自变量$x$的次数为1：
$m^2 - 8 = 1$
解方程得：$m^2=9$，即$m=3$或$m=-3$。
2. 常数项为0：
$m - 3 = 0$，解得$m=3$。
3. $x$的系数不为0：本题中系数为$2≠0$，恒成立。
综上，同时满足所有条件的$m$值为$3$。
【答案】
3
【知识点】
正比例函数的定义，解方程
【点评】
本题重点考查对正比例函数定义的掌握，易错点是容易忽略常数项必须为0的要求，导致误将$m=-3$当作结果，牢记正比例函数的形式特征即可避免出错。
【难度系数】
0.7
6. 新定义：$[a,b]$为一次函数$y=ax+b$（$a≠0$，$a$，$b$为实数）的“关联数”.若某一次函数的“关联数”为$[3,m-2]$，且该函数是正比例函数，则点$(1-m,1+m)$在
二
象限.答案
6. 二
解析
【分析】
解题时首先要正确理解新定义“关联数”的含义：“关联数”[a,b]对应的一次函数为y=ax+b。第一步先根据给出的关联数写出对应的一次函数表达式；第二步结合正比例函数的定义（正比例函数形如y=kx，k≠0，常数项为0），列出关于m的方程求出m的值；第三步将m代入点的坐标，计算横、纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标符号特征判断点所在的象限。
【解析】
1. 根据“关联数”的定义，“关联数”为[3,m-2]的一次函数为：$y=3x + (m-2)$。
2. 因为该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，常数项为0，即：
$m-2=0$，解得$m=2$。
3. 计算点$(1-m,1+m)$的坐标：
横坐标：$1-m=1-2=-1$，
纵坐标：$1+m=1+2=3$，
即该点坐标为$(-1,3)$。
4. 横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
正比例函数的定义；新定义问题；象限内点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查基础概念的应用，解题的核心是准确理解新定义的规则，再结合正比例函数的性质求出参数，最后根据象限坐标符号特点判断即可，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要正确理解新定义“关联数”的含义：“关联数”[a,b]对应的一次函数为y=ax+b。第一步先根据给出的关联数写出对应的一次函数表达式；第二步结合正比例函数的定义（正比例函数形如y=kx，k≠0，常数项为0），列出关于m的方程求出m的值；第三步将m代入点的坐标，计算横、纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标符号特征判断点所在的象限。
【解析】
1. 根据“关联数”的定义，“关联数”为[3,m-2]的一次函数为：$y=3x + (m-2)$。
2. 因为该函数是正比例函数，根据正比例函数的定义，常数项为0，即：
$m-2=0$，解得$m=2$。
3. 计算点$(1-m,1+m)$的坐标：
横坐标：$1-m=1-2=-1$，
纵坐标：$1+m=1+2=3$，
即该点坐标为$(-1,3)$。
4. 横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
正比例函数的定义；新定义问题；象限内点的坐标特征
【点评】
本题结合新定义考查基础概念的应用，解题的核心是准确理解新定义的规则，再结合正比例函数的性质求出参数，最后根据象限坐标符号特点判断即可，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 已知正比例函数$y=(m-1)x$的图象上有两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$.
（1）求$m$的取值范围；
（2）当$m$为取值范围内的最大整数时，画出此时该函数的图象.
7. 已知正比例函数$y=(m-1)x$的图象上有两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$.
（1）求$m$的取值范围；
（2）当$m$为取值范围内的最大整数时，画出此时该函数的图象.
答案
7. (1) $m＜1$ (2) $m=0$，该函数表达式为$y=-x$，图象略
解析
【分析】
（1）解决第一问需结合正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx$，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。已知当$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明该函数$y$随$x$增大而减小，因此比例系数$m-1$为负数，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
（2）解决第二问先在第一问求得的$m$范围内找最大整数，将其代入原函数得到具体的函数解析式，再根据正比例函数图象是过原点的直线的特点，选取两个点连线即可画出图象。
【解析】
（1）$\because$ 正比例函数$y=(m-1)x$中，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
$\therefore$ 该函数$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 比例系数满足 $m-1＜0$，
解不等式得：$m＜1$。
（2）$\because m＜1$，
$\therefore m$取值范围内的最大整数为$0$，
将$m=0$代入原函数，得函数表达式为：$y=(0-1)x=-x$。
画$y=-x$的图象：正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-1)$，过两点画直线即为该函数的图象。
【答案】
(1) $m＜1$；(2) $m=0$，该函数表达式为$y=-x$，图象略
【知识点】
正比例函数的性质、解一元一次不等式、正比例函数的图象
【点评】
本题围绕正比例函数的性质展开考查，解题的核心是根据函数的增减性判断比例系数的符号，掌握正比例函数增减性规律和图象特点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问需结合正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx$，当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。已知当$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明该函数$y$随$x$增大而减小，因此比例系数$m-1$为负数，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
（2）解决第二问先在第一问求得的$m$范围内找最大整数，将其代入原函数得到具体的函数解析式，再根据正比例函数图象是过原点的直线的特点，选取两个点连线即可画出图象。
【解析】
（1）$\because$ 正比例函数$y=(m-1)x$中，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
$\therefore$ 该函数$y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$ 比例系数满足 $m-1＜0$，
解不等式得：$m＜1$。
（2）$\because m＜1$，
$\therefore m$取值范围内的最大整数为$0$，
将$m=0$代入原函数，得函数表达式为：$y=(0-1)x=-x$。
画$y=-x$的图象：正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-1)$，过两点画直线即为该函数的图象。
【答案】
(1) $m＜1$；(2) $m=0$，该函数表达式为$y=-x$，图象略
【知识点】
正比例函数的性质、解一元一次不等式、正比例函数的图象
【点评】
本题围绕正比例函数的性质展开考查，解题的核心是根据函数的增减性判断比例系数的符号，掌握正比例函数增减性规律和图象特点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
