8. 如图，已知正比例函数$y=kx$的图象经过点$A$，点$A$在第四象限，过点$A$作$AH ⊥ x$轴，垂足为点$H$，点$A$的横坐标为3，且三角形$AOH$的面积为3.
（1）求该正比例函数的表达式；
（2）在$x$轴上能否找到一点$P$，使三角形$AOP$的面积为5？若存在，求点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

(1) $y=-\frac{2}{3}x$ (2) 存在，点$P$的坐标为(5, 0)或(-5, 0)

【分析】
（1）要求正比例函数表达式，需先确定函数图象上点A的坐标：已知点A横坐标为3，AH垂直x轴可得OH=3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，即可得到点A坐标，代入y=kx解出k值即可。
（2）判断x轴上是否存在点P使△AOP面积为5，可将OP作为三角形的底，点A到x轴的距离作为高，根据面积公式求出OP的长度，再分点P在原点左侧、右侧两种情况讨论，即可得到P的坐标。
【解析】
（1）
∵点A的横坐标为3，AH⊥x轴，垂足为H，
∴OH=3。
由$S_{△ AOH}=3$得：$\frac{1}{2} × OH × AH = 3$，代入OH=3，解得AH=2。
∵点A在第四象限，
∴点A的纵坐标为-2，即A点坐标为(3,-2)。
将A(3,-2)代入$y=kx$，得$-2=3k$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
∴该正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
（2）存在，求解过程如下：
设点P的坐标为$(x,0)$，则OP的长度为$|x|$。
点A到x轴的距离为$|-2|=2$，即△AOP中OP边上的高为2。
由$S_{△ AOP}=5$得：$\frac{1}{2} × |x| × 2 =5$，化简得$|x|=5$，解得$x=5$或$x=-5$。
∴点P的坐标为(5,0)或(-5,0)。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；(2) 存在，点P的坐标为(5, 0)或(-5, 0)
【知识点】
正比例函数解析式求解，坐标与图形性质，三角形面积公式
【点评】
本题考查正比例函数的综合应用，解题的关键是结合坐标系中点的特征求出对应点的坐标，求解点的位置时要注意分情况讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7

9. 已知$y$与$x+2$成正比例，$z$与$y-1$成正比例.
(1) $z$是$x$的一次函数吗？请说明理由；
(2) 在什么条件下，$z$是$x$的正比例函数.

(1) z是x的一次函数，理由略 (2) 当y与x+2成正比例的比例系数为$\frac{1}{2}$时，z是x的正比例函数

【分析】
要判断z是否为x的一次函数，首先根据“两个量成正比例”的定义，分别设出y与x+2、z与y-1的函数关系式，再通过代入消元得到z关于x的表达式，最后对照一次函数的定义判断即可；第二问要使z为x的正比例函数，根据正比例函数“常数项为0且一次项系数不为0”的要求，列式求解即可得到对应的条件。
【解析】
(1) z是x的一次函数，理由如下：
根据题意，设$y=k_1(x+2)$（$k_1≠0$，$k_1$为常数），
再设$z=k_2(y-1)$（$k_2≠0$，$k_2$为常数），
将$y=k_1(x+2)$代入$z=k_2(y-1)$得：
$z=k_2[k_1(x+2)-1]$
展开整理得：$z=k_1k_2x + 2k_1k_2 - k_2$
∵ $k_1≠0$，$k_2≠0$，
∴ $k_1k_2≠0$，符合一次函数$y=kx+b$（$k、b$为常数，$k≠0$）的形式，因此z是x的一次函数。
(2) 若z是x的正比例函数，正比例函数需满足“一次项系数不为0，常数项为0”，即：
$\begin{cases}k_1k_2≠0 \\ 2k_1k_2 - k_2=0\end{cases}$
∵ $k_2≠0$，等式$2k_1k_2 - k_2=0$两边同时除以$k_2$得：$2k_1 - 1=0$，解得$k_1=\frac{1}{2}$
即当y与x+2成正比例的比例系数为$\frac{1}{2}$时，z是x的正比例函数。
【答案】
(1) z是x的一次函数，理由见解析；(2) 当y与x+2成正比例的比例系数为$\frac{1}{2}$时，z是x的正比例函数
【知识点】
正比例函数定义，一次函数定义，待定系数法
【点评】
本题是一次函数的基础题型，重点考查对正比例、一次函数概念的掌握，解题的核心是根据成正比例的关系正确设出含参数的解析式，通过代换整理后结合对应函数的定义分析求解，需要注意比例系数不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8