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7.一种金属棒，当温度是20 ℃时，长为5厘米，温度每升高/降低1 ℃，它的长度就随之伸长/缩短0.0005厘米，则温度为10 ℃时金属棒的长度为
（
A.5.005厘米
B.5厘米
C.4.995厘米
D.4.895厘米
（
C
）A.5.005厘米
B.5厘米
C.4.995厘米
D.4.895厘米
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：20℃时金属棒长5cm，温度每变化1℃，长度对应变化0.0005cm，升温伸长、降温缩短。要求10℃时的长度，第一步先计算温度的变化量，判断是升温还是降温，第二步计算对应长度的变化量，第三步用原长减去缩短的长度就能得到结果。
【解析】
1. 计算温度变化量：$20℃ - 10℃ = 10℃$，说明温度较初始值降低了10℃。
2. 计算长度缩短总量：每降低1℃缩短0.0005厘米，降低10℃缩短的长度为$10 × 0.0005 = 0.005$厘米。
3. 计算10℃时金属棒长度：原长减去缩短的长度，即$5 - 0.005 = 4.995$厘米。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算；正负数实际应用
【点评】
本题是基础应用题，核心是理清温度变化和长度变化的对应规则，注意小数计算的准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确已知条件：20℃时金属棒长5cm，温度每变化1℃，长度对应变化0.0005cm，升温伸长、降温缩短。要求10℃时的长度，第一步先计算温度的变化量，判断是升温还是降温，第二步计算对应长度的变化量，第三步用原长减去缩短的长度就能得到结果。
【解析】
1. 计算温度变化量：$20℃ - 10℃ = 10℃$，说明温度较初始值降低了10℃。
2. 计算长度缩短总量：每降低1℃缩短0.0005厘米，降低10℃缩短的长度为$10 × 0.0005 = 0.005$厘米。
3. 计算10℃时金属棒长度：原长减去缩短的长度，即$5 - 0.005 = 4.995$厘米。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算；正负数实际应用
【点评】
本题是基础应用题，核心是理清温度变化和长度变化的对应规则，注意小数计算的准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
8. 若$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{1}{5})÷163=\frac{1}{210}$，则计算$80-163÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{1}{5})$的结果是（
A.$-130$
B.$130$
C.$-290$
D.$280$
A
）A.$-130$
B.$130$
C.$-290$
D.$280$
答案
8.A
解析
【分析】
观察已知等式和待求算式的结构，可发现待求式中$163÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{1}{5})$部分，正好是已知等式中除法算式的被除数和除数交换位置。我们可以先将括号内的分数运算整体设为S，根据“交换被除数和除数的位置，所得的商是原商的倒数”这一性质，先求出$163÷S$的值，再代入待求式计算即可，无需硬算括号内的分数和，简化计算过程。
【解析】
设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{1}{5}$，由题意得：
$S÷163=\frac{1}{210}$，即$\frac{S}{163}=\frac{1}{210}$，
根据倒数的性质，可得$163÷S=210$。
将$163÷S=210$代入待求算式：
$80 - 163÷S = 80 - 210 = -130$。
【答案】
A
【知识点】
有理数混合运算，倒数的性质，整体代入法
【点评】
本题重点考查对算式结构的观察能力，通过整体代换的思路避免复杂的分数运算，既提升解题速度也能减少计算失误，是有理数混合运算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
观察已知等式和待求算式的结构，可发现待求式中$163÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{1}{5})$部分，正好是已知等式中除法算式的被除数和除数交换位置。我们可以先将括号内的分数运算整体设为S，根据“交换被除数和除数的位置，所得的商是原商的倒数”这一性质，先求出$163÷S$的值，再代入待求式计算即可，无需硬算括号内的分数和，简化计算过程。
【解析】
设$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}-\frac{1}{5}$，由题意得：
$S÷163=\frac{1}{210}$，即$\frac{S}{163}=\frac{1}{210}$，
根据倒数的性质，可得$163÷S=210$。
将$163÷S=210$代入待求算式：
$80 - 163÷S = 80 - 210 = -130$。
【答案】
A
【知识点】
有理数混合运算，倒数的性质，整体代入法
【点评】
本题重点考查对算式结构的观察能力，通过整体代换的思路避免复杂的分数运算，既提升解题速度也能减少计算失误，是有理数混合运算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
9.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数。由图可知，孩子自出生后的天数是（
（第9题）
A.84
B.336
C.510
D.1326
C
）（第9题）A.84
B.336
C.510
D.1326
答案
9.C
解析
【分析】
这道题是“满七进一”的七进制计数问题，可类比我们熟悉的十进制计数规则思考：十进制是满十进一，每一位的位权从右到左依次是$10^0$、$10^1$、$10^2$……，同理七进制计数时，每一位的位权从右到左依次是$7^0$、$7^1$、$7^2$……。解题时首先数出每根绳子上的结数（即为对应位的数字），再将每一位的数字乘对应的位权，最后求和就能得到十进制表示的总天数。
【解析】
由题意可知，该计数规则为“满七进一”，属于七进制计数，从右到左每根绳子的位权依次为$7^0$、$7^1$、$7^2$、$7^3$。
观察图中绳结数量：
最左侧（最高位，对应$7^3$位）有1个结，第二位（对应$7^2$位）有3个结，第三位（对应$7^1$位）有2个结，最右侧（最低位，对应$7^0$位）有6个结。
计算总天数：
$\begin{aligned}\mathrm{总天数}&=1×7^3 + 3×7^2 + 2×7^1 + 6×7^0\\&=1×343 + 3×49 + 2×7 + 6×1\\&=343 + 147 + 14 + 6\\&=510\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】有理数混合运算，进制转换
【点评】本题结合古代传统文化“结绳计数”的背景，考查了特殊进制转十进制的计算，解题核心是理解不同进制下位权的规律，类比十进制的计数方法即可推出计算规则，计算时注意不要算错乘方和乘法结果。
【难度系数】
0.7
这道题是“满七进一”的七进制计数问题，可类比我们熟悉的十进制计数规则思考：十进制是满十进一，每一位的位权从右到左依次是$10^0$、$10^1$、$10^2$……，同理七进制计数时，每一位的位权从右到左依次是$7^0$、$7^1$、$7^2$……。解题时首先数出每根绳子上的结数（即为对应位的数字），再将每一位的数字乘对应的位权，最后求和就能得到十进制表示的总天数。
【解析】
由题意可知，该计数规则为“满七进一”，属于七进制计数，从右到左每根绳子的位权依次为$7^0$、$7^1$、$7^2$、$7^3$。
观察图中绳结数量：
最左侧（最高位，对应$7^3$位）有1个结，第二位（对应$7^2$位）有3个结，第三位（对应$7^1$位）有2个结，最右侧（最低位，对应$7^0$位）有6个结。
计算总天数：
$\begin{aligned}\mathrm{总天数}&=1×7^3 + 3×7^2 + 2×7^1 + 6×7^0\\&=1×343 + 3×49 + 2×7 + 6×1\\&=343 + 147 + 14 + 6\\&=510\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】C
【知识点】有理数混合运算，进制转换
【点评】本题结合古代传统文化“结绳计数”的背景，考查了特殊进制转十进制的计算，解题核心是理解不同进制下位权的规律，类比十进制的计数方法即可推出计算规则，计算时注意不要算错乘方和乘法结果。
【难度系数】
0.7
10. 小王用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
那么，当输入的数据是8时，输出的数据是
那么，当输入的数据是8时，输出的数据是
$\frac{8}{65}$
。答案
10.$\frac{8}{65}$
解析
【分析】
我们可以分分子、分母两部分观察输入和输出的对应关系：首先看分子，输入1、2、3、4、5时，输出的分子和输入的数完全相等，说明输出的分子就是输入的数据；再看分母，输入1时分母是2=1²+1，输入2时分母是5=2²+1，输入3时分母是10=3²+1，可推导出分母是输入数据的平方加1。得到通用规律后，代入输入数据8即可求解。
【解析】
观察表格中输入和输出的对应关系：
当输入为1时，输出$\frac{1}{2}=\frac{1}{1^2+1}$；
当输入为2时，输出$\frac{2}{5}=\frac{2}{2^2+1}$；
当输入为3时，输出$\frac{3}{10}=\frac{3}{3^2+1}$；
当输入为4时，输出$\frac{4}{17}=\frac{4}{4^2+1}$；
当输入为5时，输出$\frac{5}{26}=\frac{5}{5^2+1}$；
由此归纳规律：若输入的数据为$n$，则输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入数据$n=8$时，输出的数据为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
$\frac{8}{65}$
【知识点】
数字规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是分别从分子、分母两个维度寻找和输入数据的关联，再通过验证确认规律的正确性，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
我们可以分分子、分母两部分观察输入和输出的对应关系：首先看分子，输入1、2、3、4、5时，输出的分子和输入的数完全相等，说明输出的分子就是输入的数据；再看分母，输入1时分母是2=1²+1，输入2时分母是5=2²+1，输入3时分母是10=3²+1，可推导出分母是输入数据的平方加1。得到通用规律后，代入输入数据8即可求解。
【解析】
观察表格中输入和输出的对应关系：
当输入为1时，输出$\frac{1}{2}=\frac{1}{1^2+1}$；
当输入为2时，输出$\frac{2}{5}=\frac{2}{2^2+1}$；
当输入为3时，输出$\frac{3}{10}=\frac{3}{3^2+1}$；
当输入为4时，输出$\frac{4}{17}=\frac{4}{4^2+1}$；
当输入为5时，输出$\frac{5}{26}=\frac{5}{5^2+1}$；
由此归纳规律：若输入的数据为$n$，则输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入数据$n=8$时，输出的数据为$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
$\frac{8}{65}$
【知识点】
数字规律探究；有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是分别从分子、分母两个维度寻找和输入数据的关联，再通过验证确认规律的正确性，代入数值计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
11.假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，则前500个棋子中有
○○●●○●○○●●○●○○●●○●○○●●○●…
249
个黑色棋子。○○●●○●○○●●○●○○●●○●○○●●○●…
答案
11.249
解析
【分析】
解决这类规律排列问题，第一步要先观察排列特征，找到重复出现的循环单元（周期）；第二步确定一个周期内包含的黑色棋子数量；第三步用总棋子数除以周期长度，得到完整周期的个数和余下的棋子数；最后用完整周期数乘每个周期的黑棋数，再加上余下棋子里的黑棋数，就能得到总黑棋数量。
【解析】
1. 找周期：观察棋子排列：○○●●○●○○●●○●……，可发现每6个棋子为一个循环周期，周期内容为：○○●●○●。
2. 数每个周期的黑棋数：一个周期内黑色棋子有3个。
3. 计算周期数和余数：$ 500 ÷ 6 = 83 ······ 2 $，即共有83个完整的周期，还剩余2个棋子，剩余的2个棋子是周期的前2个，均为白色棋子，没有黑色棋子。
4. 计算总黑棋数：$ 83 × 3 = 249 $（个）。
【答案】
249
【知识点】
周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是准确识别循环周期，再结合除法运算得到周期数与余数即可求解，此类题型考查观察归纳能力，是规律类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7
解决这类规律排列问题，第一步要先观察排列特征，找到重复出现的循环单元（周期）；第二步确定一个周期内包含的黑色棋子数量；第三步用总棋子数除以周期长度，得到完整周期的个数和余下的棋子数；最后用完整周期数乘每个周期的黑棋数，再加上余下棋子里的黑棋数，就能得到总黑棋数量。
【解析】
1. 找周期：观察棋子排列：○○●●○●○○●●○●……，可发现每6个棋子为一个循环周期，周期内容为：○○●●○●。
2. 数每个周期的黑棋数：一个周期内黑色棋子有3个。
3. 计算周期数和余数：$ 500 ÷ 6 = 83 ······ 2 $，即共有83个完整的周期，还剩余2个棋子，剩余的2个棋子是周期的前2个，均为白色棋子，没有黑色棋子。
4. 计算总黑棋数：$ 83 × 3 = 249 $（个）。
【答案】
249
【知识点】
周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是准确识别循环周期，再结合除法运算得到周期数与余数即可求解，此类题型考查观察归纳能力，是规律类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7
12.现有5张不同数字的卡片，请按要求解答下列问题：
（1）从中取出2张卡片，使得这两张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是
（2）从中取出2张卡片，使得这两张卡片上数字的商最小，则商的最小值是
（3）从中取出4张卡片，请写出两个不同的算式，使得这四个数字的计算结果为24。
①
②
（1）从中取出2张卡片，使得这两张卡片上数字的乘积最大，则乘积的最大值是
21
；（2）从中取出2张卡片，使得这两张卡片上数字的商最小，则商的最小值是
-7
；（3）从中取出4张卡片，请写出两个不同的算式，使得这四个数字的计算结果为24。
①
略
=24；②
略
=24。答案
12.(1)21 (2)-7 (3)略
解析
【分析】
（1）要使两张卡片数字的乘积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规律，正数乘积大于负数乘积，因此只需分别计算两组同号数的乘积，比较大小即可得到最大值；
（2）要使两张卡片数字的商最小，商应为负数（负数小于所有正数），因此需选择异号两数相除，且要让商的绝对值最大，此时得到的负数最小，据此选择合适的数字计算即可；
（3）凑24属于有理数混合运算的灵活应用，从5个数中任选4个，结合加减乘除运算和括号调整运算顺序，尝试组合得到结果为24的算式即可，答案不唯一。
【解析】
（1）同号两数乘积为正，分别计算：
两个负数相乘：$(-7) × (-3) = 21$
两个正数相乘：$2 × 5 = 10$
因为$21 ＞ 10$，所以乘积的最大值是21。
（2）异号两数相除商为负，要商最小需商的绝对值最大，选择绝对值最大的负数$-7$作为被除数，最小的正数$1$作为除数：
$(-7) ÷ 1 = -7$，对比其余异号相除的结果，$-7$是最小的商。
（3）示例（答案不唯一）：
① 选数字$-7、-3、1、2$：$(-7) × (-3) + 1 + 2 = 21 + 3 = 24$
② 选数字$-3、1、2、5$：$(5 - (-3)) × (1 + 2) = 8 × 3 = 24$
【答案】
(1) $\boxed{21}$
(2) $\boxed{-7}$
(3) 示例：① $\boxed{(-7)×(-3)+1+2}$；② $\boxed{(5-(-3))×(1+2)}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
有理数的乘法、有理数的除法、有理数的混合运算
【点评】
本题围绕有理数的运算法则设置问题，既考查了对有理数乘除符号规律的基础掌握，又通过凑24点的形式考查运算的灵活性，需要熟练掌握运算法则，多尝试不同运算组合。
【难度系数】
0.7
（1）要使两张卡片数字的乘积最大，根据有理数乘法“同号得正，异号得负”的规律，正数乘积大于负数乘积，因此只需分别计算两组同号数的乘积，比较大小即可得到最大值；
（2）要使两张卡片数字的商最小，商应为负数（负数小于所有正数），因此需选择异号两数相除，且要让商的绝对值最大，此时得到的负数最小，据此选择合适的数字计算即可；
（3）凑24属于有理数混合运算的灵活应用，从5个数中任选4个，结合加减乘除运算和括号调整运算顺序，尝试组合得到结果为24的算式即可，答案不唯一。
【解析】
（1）同号两数乘积为正，分别计算：
两个负数相乘：$(-7) × (-3) = 21$
两个正数相乘：$2 × 5 = 10$
因为$21 ＞ 10$，所以乘积的最大值是21。
（2）异号两数相除商为负，要商最小需商的绝对值最大，选择绝对值最大的负数$-7$作为被除数，最小的正数$1$作为除数：
$(-7) ÷ 1 = -7$，对比其余异号相除的结果，$-7$是最小的商。
（3）示例（答案不唯一）：
① 选数字$-7、-3、1、2$：$(-7) × (-3) + 1 + 2 = 21 + 3 = 24$
② 选数字$-3、1、2、5$：$(5 - (-3)) × (1 + 2) = 8 × 3 = 24$
【答案】
(1) $\boxed{21}$
(2) $\boxed{-7}$
(3) 示例：① $\boxed{(-7)×(-3)+1+2}$；② $\boxed{(5-(-3))×(1+2)}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
有理数的乘法、有理数的除法、有理数的混合运算
【点评】
本题围绕有理数的运算法则设置问题，既考查了对有理数乘除符号规律的基础掌握，又通过凑24点的形式考查运算的灵活性，需要熟练掌握运算法则，多尝试不同运算组合。
【难度系数】
0.7
