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13.一个池塘的浮莲，每天都在生长，且每天的面积都是前一天的2倍。如果12天就能把整个池塘遮满，那么浮莲长到遮住半个池塘需要（
A.6天
B.8天
C.10天
D.11天
D
）A.6天
B.8天
C.10天
D.11天
答案
13.D
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确核心条件：浮莲每天面积是前一天的2倍，12天可遮满整个池塘。不少同学会惯性认为是匀速增长，直接用12÷2得到6天，这是错误的，因为浮莲是按倍数增长的。解题时可以优先用逆推思路：后一天面积是前一天的2倍，反过来前一天面积就是后一天的一半，已知第12天遮满，那它的前一天刚好就是半个池塘，不用复杂计算就能得到结果；也可以正向借助乘方知识，通过设初始面积推导对应天数。
【解析】
方法一（逆推法）：
由题意可知，浮莲后一天的面积 = 前一天的面积 × 2，因此前一天的面积 = 后一天的面积 ÷ 2。
已知第12天刚好遮满整个池塘，那么第11天的面积 = 第12天的面积 ÷ 2 = 整个池塘面积的一半，即第11天刚好遮住半个池塘。
方法二（乘方法）：
设第1天浮莲的面积为a（a＞0），根据增长规律可得：第n天浮莲的面积为$2^{n-1}a$。
第12天遮满池塘，因此池塘总面积 = 第12天的面积 = $2^{12-1}a = 2^{11}a$。
半个池塘的面积为$2^{11}a ÷ 2 = 2^{10}a$。
令第n天浮莲面积为$2^{10}a$，则$2^{n-1}a = 2^{10}a$，两边同时除以a得$2^{n-1}=2^{10}$，即$n-1=10$，解得$n=11$。
综上，浮莲长到遮住半个池塘需要11天。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方应用，逆推法解题，倍数关系应用
【点评】
这是典型的巧算类题型，切忌按照匀速增长的惯性思维直接计算，利用倍数的逆推关系可以快速得到答案，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
拿到这道题首先要明确核心条件：浮莲每天面积是前一天的2倍，12天可遮满整个池塘。不少同学会惯性认为是匀速增长，直接用12÷2得到6天，这是错误的，因为浮莲是按倍数增长的。解题时可以优先用逆推思路：后一天面积是前一天的2倍，反过来前一天面积就是后一天的一半，已知第12天遮满，那它的前一天刚好就是半个池塘，不用复杂计算就能得到结果；也可以正向借助乘方知识，通过设初始面积推导对应天数。
【解析】
方法一（逆推法）：
由题意可知，浮莲后一天的面积 = 前一天的面积 × 2，因此前一天的面积 = 后一天的面积 ÷ 2。
已知第12天刚好遮满整个池塘，那么第11天的面积 = 第12天的面积 ÷ 2 = 整个池塘面积的一半，即第11天刚好遮住半个池塘。
方法二（乘方法）：
设第1天浮莲的面积为a（a＞0），根据增长规律可得：第n天浮莲的面积为$2^{n-1}a$。
第12天遮满池塘，因此池塘总面积 = 第12天的面积 = $2^{12-1}a = 2^{11}a$。
半个池塘的面积为$2^{11}a ÷ 2 = 2^{10}a$。
令第n天浮莲面积为$2^{10}a$，则$2^{n-1}a = 2^{10}a$，两边同时除以a得$2^{n-1}=2^{10}$，即$n-1=10$，解得$n=11$。
综上，浮莲长到遮住半个池塘需要11天。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方应用，逆推法解题，倍数关系应用
【点评】
这是典型的巧算类题型，切忌按照匀速增长的惯性思维直接计算，利用倍数的逆推关系可以快速得到答案，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
14.如图，有甲、乙、丙三个容器，甲是棱长为8厘米的立方体，乙是底面半径为3厘米、高为8厘米的圆柱体；丙是长12厘米、宽6厘米、高6厘米的长方体。现将甲容器盛满酒精，并倒满与乙相同的2个容器后，再把甲容器剩下的酒精倒入丙容器，求丙容器内酒精的高度（π取3，结果精确到0.1厘米，容器的厚度不计）。
答案
14. 甲的体积为 512 cm³,乙的体积为 72π cm³,把甲的酒精倒满与乙相同的 2 个容器,剩下的酒精的体积为(512−72π×2)cm³,倒入丙容器后,丙容器内酒精的高度为(512−72π×2)÷(12×6)=(512−432)÷72≈1.1(cm)
解析
【分析】
这是一道液体体积转移的等积变换问题，解题核心是抓住酒精体积在转移过程中总量不变。第一步先计算正方体甲的容积，得到酒精的总体积；第二步计算2个圆柱乙的总容积，用酒精总体积减去2个乙的容积，得到剩余要倒入丙的酒精体积；第三步根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，用剩余酒精体积除以丙的底面积，即可求出丙中酒精的高度，最后按要求代入π的取值计算并保留小数即可。
【解析】
解：按照步骤计算如下：
1. 计算正方体甲的容积：
$V_{\mathrm{甲}} = 棱长×棱长×棱长 = 8×8×8 = 512 \ \mathrm{cm}^3$，即酒精总容积为$512 \ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算2个圆柱乙的总容积：
单个乙的容积$V_{\mathrm{乙}} = π r^2 h = π×3^2×8 =72π \ \mathrm{cm}^3$，
2个乙的总容积为$2V_{\mathrm{乙}} = 2×72π =144π \ \mathrm{cm}^3$。
3. 计算倒满2个乙后剩余酒精体积：
$V_{\mathrm{剩}} = V_{\mathrm{甲}} - 2V_{\mathrm{乙}} = 512 -144π$。
4. 计算丙容器的底面积：
$S_{\mathrm{丙}} = 长×宽 =12×6=72 \ \mathrm{cm}^2$。
5. 计算丙中酒精的高度，代入$π=3$：
$h = \frac{V_{\mathrm{剩}}}{S_{\mathrm{丙}}} = \frac{512 -144×3}{72} = \frac{80}{72}≈1.1 \ \mathrm{cm}$
【答案】
丙容器内酒精的高度约为1.1厘米。
【知识点】
正方体体积计算，圆柱体积计算，长方体体积计算
【点评】
本题解题关键是明确液体转移时体积不变，需要熟练掌握常见立体图形的体积公式，计算时注意题干中“2个乙容器”的要求、π的取值以及结果的精度要求，避免因审题不细出错。
【难度系数】
0.7
这是一道液体体积转移的等积变换问题，解题核心是抓住酒精体积在转移过程中总量不变。第一步先计算正方体甲的容积，得到酒精的总体积；第二步计算2个圆柱乙的总容积，用酒精总体积减去2个乙的容积，得到剩余要倒入丙的酒精体积；第三步根据长方体体积公式“体积=底面积×高”，用剩余酒精体积除以丙的底面积，即可求出丙中酒精的高度，最后按要求代入π的取值计算并保留小数即可。
【解析】
解：按照步骤计算如下：
1. 计算正方体甲的容积：
$V_{\mathrm{甲}} = 棱长×棱长×棱长 = 8×8×8 = 512 \ \mathrm{cm}^3$，即酒精总容积为$512 \ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算2个圆柱乙的总容积：
单个乙的容积$V_{\mathrm{乙}} = π r^2 h = π×3^2×8 =72π \ \mathrm{cm}^3$，
2个乙的总容积为$2V_{\mathrm{乙}} = 2×72π =144π \ \mathrm{cm}^3$。
3. 计算倒满2个乙后剩余酒精体积：
$V_{\mathrm{剩}} = V_{\mathrm{甲}} - 2V_{\mathrm{乙}} = 512 -144π$。
4. 计算丙容器的底面积：
$S_{\mathrm{丙}} = 长×宽 =12×6=72 \ \mathrm{cm}^2$。
5. 计算丙中酒精的高度，代入$π=3$：
$h = \frac{V_{\mathrm{剩}}}{S_{\mathrm{丙}}} = \frac{512 -144×3}{72} = \frac{80}{72}≈1.1 \ \mathrm{cm}$
【答案】
丙容器内酒精的高度约为1.1厘米。
【知识点】
正方体体积计算，圆柱体积计算，长方体体积计算
【点评】
本题解题关键是明确液体转移时体积不变，需要熟练掌握常见立体图形的体积公式，计算时注意题干中“2个乙容器”的要求、π的取值以及结果的精度要求，避免因审题不细出错。
【难度系数】
0.7
15.某校利用二维码进行学生学号统一编排，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0。将每一行数字从左到右依次记为$a$，$b$，$c$，$d$，再利用公式$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d$计算出每一行的数据。第一行表示年级，第二行表示班级，第三行表示班级学号的十位数字，第四行表示班级学号的个位数字。如图①，第一行数字从左往右依次是1,0,0,1，则表示的数据为$1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 +1=9$，记为09；第二行数字从左往右依次是1,0,1,0，则表示的数据为$1×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +0=10$，记为10，依此类推，图①代表的统一学号为091034，表示9年级10班34号。小明所对应的二维码如图②，请列式计算他的统一学号。
答案
15. 070625
解析
【分析】
解题时首先要明确编码规则：浅蓝色小正方形表示1，白色小正方形表示0，每一行4个格子从左到右对应a、b、c、d，按公式$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d$计算该行对应数值，四行数值分别对应年级、班级、学号十位、学号个位，每一项数值不足两位时前面补0，最后将四组两位数拼接即可得到统一学号。接下来逐行识别图②每行的0和1，代入公式计算即可。
【解析】
我们逐行计算图②每行对应的数值：
1. 第一行（年级）：从左到右颜色为白、蓝、蓝、蓝，对应$a=0,b=1,c=1,d=1$，代入公式得：
$0×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +1 = 0+4+2+1=7$，不足两位补0记为07；
2. 第二行（班级）：从左到右颜色为白、蓝、蓝、白，对应$a=0,b=1,c=1,d=0$，代入公式得：
$0×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +0 = 0+4+2+0=6$，不足两位补0记为06；
3. 第三行（学号十位）：从左到右颜色为白、白、蓝、白，对应$a=0,b=0,c=1,d=0$，代入公式得：
$0×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +0 = 0+0+2+0=2$，不足两位补0记为02；
4. 第四行（学号个位）：从左到右颜色为白、蓝、白、蓝，对应$a=0,b=1,c=0,d=1$，代入公式得：
$0×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1 = 0+4+0+1=5$，不足两位补0记为05；
将四组数值拼接得到统一学号为070625。
【答案】
070625
【知识点】
有理数混合运算，新定义运算，进制转换
【点评】
本题结合生活中的二维码编码场景出题，核心考查对新定义规则的理解能力和有理数混合运算的计算能力，解题关键是准确识别每行的0和1，严格按照给定公式计算，注意不足两位的数值要补0，计算时注意运算顺序避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确编码规则：浅蓝色小正方形表示1，白色小正方形表示0，每一行4个格子从左到右对应a、b、c、d，按公式$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d$计算该行对应数值，四行数值分别对应年级、班级、学号十位、学号个位，每一项数值不足两位时前面补0，最后将四组两位数拼接即可得到统一学号。接下来逐行识别图②每行的0和1，代入公式计算即可。
【解析】
我们逐行计算图②每行对应的数值：
1. 第一行（年级）：从左到右颜色为白、蓝、蓝、蓝，对应$a=0,b=1,c=1,d=1$，代入公式得：
$0×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +1 = 0+4+2+1=7$，不足两位补0记为07；
2. 第二行（班级）：从左到右颜色为白、蓝、蓝、白，对应$a=0,b=1,c=1,d=0$，代入公式得：
$0×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +0 = 0+4+2+0=6$，不足两位补0记为06；
3. 第三行（学号十位）：从左到右颜色为白、白、蓝、白，对应$a=0,b=0,c=1,d=0$，代入公式得：
$0×2^3 +0×2^2 +1×2^1 +0 = 0+0+2+0=2$，不足两位补0记为02；
4. 第四行（学号个位）：从左到右颜色为白、蓝、白、蓝，对应$a=0,b=1,c=0,d=1$，代入公式得：
$0×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1 = 0+4+0+1=5$，不足两位补0记为05；
将四组数值拼接得到统一学号为070625。
【答案】
070625
【知识点】
有理数混合运算，新定义运算，进制转换
【点评】
本题结合生活中的二维码编码场景出题，核心考查对新定义规则的理解能力和有理数混合运算的计算能力，解题关键是准确识别每行的0和1，严格按照给定公式计算，注意不足两位的数值要补0，计算时注意运算顺序避免出错。
【难度系数】
0.7
