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自主预习：阅读教科书，完成下列填空。
(1)如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都
(2)两条平行线中，
(3)两条平行线之间的距离处处相等；
(4)夹在两条平行线间的平行线段
实践应用：如图，点P，D在直线a上，点A，C在直线b上，$a // b$，$PB ⊥ b$于点B。若$PA=15\ \mathrm{cm}$，$PB=12\ \mathrm{cm}$，$PC=13\ \mathrm{cm}$，$CD=14\ \mathrm{cm}$，则直线a与b之间的距离是
归纳总结
(1)平行线的位置确定后，它们之间的距离是定值，不随垂线位置的改变而改变。
(2)两条平行线之间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置。
(3)平行线之间的距离常用于计算面积。
(1)如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都
相等
；(2)两条平行线中，
一条直线上任意一点到另一条直线的距离
称为平行线之间的距离；(3)两条平行线之间的距离处处相等；
(4)夹在两条平行线间的平行线段
相等
。实践应用：如图，点P，D在直线a上，点A，C在直线b上，$a // b$，$PB ⊥ b$于点B。若$PA=15\ \mathrm{cm}$，$PB=12\ \mathrm{cm}$，$PC=13\ \mathrm{cm}$，$CD=14\ \mathrm{cm}$，则直线a与b之间的距离是
12
$\mathrm{cm}$。归纳总结
(1)平行线的位置确定后，它们之间的距离是定值，不随垂线位置的改变而改变。
(2)两条平行线之间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置。
(3)平行线之间的距离常用于计算面积。
答案
(1) 相等
(2) 一条直线上任意一点到另一条直线的距离
(4) 相等
实践应用 12
(2) 一条直线上任意一点到另一条直线的距离
(4) 相等
实践应用 12
解析
【分析】
本题分为基础概念填空和实践应用两部分，解题思路如下：
1. 自主预习部分考查平行线相关的基础性质和定义：回忆平行线间距离的定义、平行线间距离的性质、夹在平行线间平行线段的性质，直接对应填空即可。
2. 实践应用部分，根据平行线间距离的定义：两条平行线之间的距离是其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段长度，找到题中垂直于平行线的垂线段，对应长度就是所求距离。
【解析】
自主预习
(1) 根据平行线间距离的性质，两条平行直线中，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，故填“相等”。
(2) 根据平行线间距离的定义，两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离称为平行线之间的距离，故填对应内容。
(4) 根据平行线的性质，夹在两条平行线间的平行线段相等，故填“相等”。
实践应用
已知直线$a// b$，$PB⊥ b$，根据平行线间距离的定义，$PB$的长度就是直线$a$与$b$之间的距离，题中给出$PB=12\ \mathrm{cm}$，因此所求距离为$12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
自主预习：(1)相等；(2)一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(4)相等
实践应用：12
【知识点】
1. 平行线间距离的定义
2. 平行线间距离的性质
3. 平行线段的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生牢记平行线相关的定义和性质，解题时注意区分平行线间的距离（垂线段长度）和斜线段长度，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.9
本题分为基础概念填空和实践应用两部分，解题思路如下：
1. 自主预习部分考查平行线相关的基础性质和定义：回忆平行线间距离的定义、平行线间距离的性质、夹在平行线间平行线段的性质，直接对应填空即可。
2. 实践应用部分，根据平行线间距离的定义：两条平行线之间的距离是其中一条直线上的点到另一条直线的垂线段长度，找到题中垂直于平行线的垂线段，对应长度就是所求距离。
【解析】
自主预习
(1) 根据平行线间距离的性质，两条平行直线中，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，故填“相等”。
(2) 根据平行线间距离的定义，两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离称为平行线之间的距离，故填对应内容。
(4) 根据平行线的性质，夹在两条平行线间的平行线段相等，故填“相等”。
实践应用
已知直线$a// b$，$PB⊥ b$，根据平行线间距离的定义，$PB$的长度就是直线$a$与$b$之间的距离，题中给出$PB=12\ \mathrm{cm}$，因此所求距离为$12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
自主预习：(1)相等；(2)一条直线上任意一点到另一条直线的距离；(4)相等
实践应用：12
【知识点】
1. 平行线间距离的定义
2. 平行线间距离的性质
3. 平行线段的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生牢记平行线相关的定义和性质，解题时注意区分平行线间的距离（垂线段长度）和斜线段长度，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.9
1. 如图，直线$a // b$，$AB // CD$，$CE ⊥ b$，$FG ⊥ b$，$E$，$G$为垂足，则下列说法错误的是（
A.$CE // FG$
B.$CE = FG$
C.$A$，$B$两点的距离就是线段$AB$的长
D.直线$a$，$b$之间的距离就是线段$CD$的长
D
）A.$CE // FG$
B.$CE = FG$
C.$A$，$B$两点的距离就是线段$AB$的长
D.直线$a$，$b$之间的距离就是线段$CD$的长
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先回忆平行线的判定、平行线间距离、两点间距离的相关概念，逐个对选项进行判断：首先根据垂直于同一直线的两条直线平行判断A选项；再根据平行线间的垂线段长度相等判断B选项；结合两点间距离的定义判断C选项；最后根据平行线间距离为垂线段的长度判断D选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知$CE ⊥ b$，$FG ⊥ b$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$CE // FG$，该选项说法正确；
B. 已知$a // b$，$CE ⊥ b$，$FG ⊥ b$，因此$CE$、$FG$都是平行线$a$、$b$之间的垂线段，根据“平行线间的距离处处相等”，可得$CE=FG$，该选项说法正确；
C. 根据两点间距离的定义：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，因此$A$，$B$两点的距离就是线段$AB$的长，该选项说法正确；
D. 平行线间的距离是两条平行线之间的垂线段的长度，$CD$不垂直于$a$或$b$，不是$a$、$b$之间的垂线段，因此直线$a$，$b$之间的距离不是线段$CD$的长，该选项说法错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；两点间的距离；平行线间的距离
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确区分两点间距离、平行线间距离的定义，牢记平行线间的距离是指两条平行线之间的垂线段的长度，而非任意线段的长度。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行线的判定、平行线间距离、两点间距离的相关概念，逐个对选项进行判断：首先根据垂直于同一直线的两条直线平行判断A选项；再根据平行线间的垂线段长度相等判断B选项；结合两点间距离的定义判断C选项；最后根据平行线间距离为垂线段的长度判断D选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知$CE ⊥ b$，$FG ⊥ b$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$CE // FG$，该选项说法正确；
B. 已知$a // b$，$CE ⊥ b$，$FG ⊥ b$，因此$CE$、$FG$都是平行线$a$、$b$之间的垂线段，根据“平行线间的距离处处相等”，可得$CE=FG$，该选项说法正确；
C. 根据两点间距离的定义：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，因此$A$，$B$两点的距离就是线段$AB$的长，该选项说法正确；
D. 平行线间的距离是两条平行线之间的垂线段的长度，$CD$不垂直于$a$或$b$，不是$a$、$b$之间的垂线段，因此直线$a$，$b$之间的距离不是线段$CD$的长，该选项说法错误。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；两点间的距离；平行线间的距离
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确区分两点间距离、平行线间距离的定义，牢记平行线间的距离是指两条平行线之间的垂线段的长度，而非任意线段的长度。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知 $AB // CD$，$S_{△ ACD} = 6 \ \mathrm{cm}^2$，求 $S_{△ BCD}$。
答案
$S_{△ BCD}=6\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先观察两个三角形的底和高的特征：①△ACD和△BCD有公共底CD；②已知AB//CD，根据平行线间的距离处处相等，可知点A、点B到CD的距离相等，也就是两个三角形对应CD边上的高相等。根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，即可直接推出△BCD的面积。
【解析】
∵ $AB // CD$，
∴ 点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等（平行线间的距离处处相等）。
又
∵ $△ ACD$和$△ BCD$有公共底边$CD$，且二者对应$CD$边上的高相等，
∴ 两个三角形面积相等，即$S_{△ BCD}=S_{△ ACD}$。
已知$S_{△ ACD}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ BCD}=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行线间距离的性质、三角形面积公式、同底等高三角形面积关系
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行线的性质得到两个三角形的高相等，结合公共底推出面积相等，解题的关键是准确识别两个三角形的底和高的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察两个三角形的底和高的特征：①△ACD和△BCD有公共底CD；②已知AB//CD，根据平行线间的距离处处相等，可知点A、点B到CD的距离相等，也就是两个三角形对应CD边上的高相等。根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，即可直接推出△BCD的面积。
【解析】
∵ $AB // CD$，
∴ 点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等（平行线间的距离处处相等）。
又
∵ $△ ACD$和$△ BCD$有公共底边$CD$，且二者对应$CD$边上的高相等，
∴ 两个三角形面积相等，即$S_{△ BCD}=S_{△ ACD}$。
已知$S_{△ ACD}=6\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ BCD}=6\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行线间距离的性质、三角形面积公式、同底等高三角形面积关系
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行线的性质得到两个三角形的高相等，结合公共底推出面积相等，解题的关键是准确识别两个三角形的底和高的对应关系。
【难度系数】
0.8
任务二 平行线之间距离的综合运用
阅读材料，完成下列探究。
我们知道平行线之间的距离处处相等，如图(1)，已知 $AD // BC$，$MN ⊥ AD$，$PQ ⊥ AD$，所以 $PQ = MN$。
已知：图(2)至图(4)中的四边形 $ABCD$ 都是平行四边形，设它们的面积均为 $S$。
探究1：如图(2)，$M$ 为边 $AD$ 上任意一点，则 $△ BCM$ 的面积 $S_1 = $
探究2：如图(3)，设 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则 $O$ 为 $AC$，$BD$ 的中点，求 $△ AOD$ 的面积 $S_3$ 与四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 之间的数量关系。
探究3：如图(4)，$P$ 为 $□ ABCD$ 内任意一点，记 $△ PAD$ 的面积为 $S_4$，$△ PBC$ 的面积为 $S_5$，猜想 $S_4$，$S_5$ 的和与四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 之间的数量关系。
探究4：如图(5)，已知 $P$ 为 $□ ABCD$ 内任意一点，$△ PAD$ 的面积为 2，$△ PDC$ 的面积为 4，求 $△ PBD$ 的面积。
阅读材料，完成下列探究。
我们知道平行线之间的距离处处相等，如图(1)，已知 $AD // BC$，$MN ⊥ AD$，$PQ ⊥ AD$，所以 $PQ = MN$。
已知：图(2)至图(4)中的四边形 $ABCD$ 都是平行四边形，设它们的面积均为 $S$。
探究1：如图(2)，$M$ 为边 $AD$ 上任意一点，则 $△ BCM$ 的面积 $S_1 = $
$\dfrac{1}{2}$
$S$，$△ BCD$ 的面积 $S_2$ 与 $△ BCM$ 的面积 $S_1$ 之间的数量关系是 $S_1=S_2$
。探究2：如图(3)，设 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，则 $O$ 为 $AC$，$BD$ 的中点，求 $△ AOD$ 的面积 $S_3$ 与四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 之间的数量关系。
探究3：如图(4)，$P$ 为 $□ ABCD$ 内任意一点，记 $△ PAD$ 的面积为 $S_4$，$△ PBC$ 的面积为 $S_5$，猜想 $S_4$，$S_5$ 的和与四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 之间的数量关系。
探究4：如图(5)，已知 $P$ 为 $□ ABCD$ 内任意一点，$△ PAD$ 的面积为 2，$△ PDC$ 的面积为 4，求 $△ PBD$ 的面积。
答案
探究1 $\dfrac{1}{2}$ $S_1=S_2$
探究2 $S_3=\dfrac{1}{4}S$。
探究3 $S_4+S_5=\dfrac{1}{2}S$。
探究4 $S_{△ PBD}=2$。
探究2 $S_3=\dfrac{1}{4}S$。
探究3 $S_4+S_5=\dfrac{1}{2}S$。
探究4 $S_{△ PBD}=2$。
解析
【分析】
解题思路可按4个探究逐层推导：
1. 探究1：△BCM与平行四边形ABCD同底BC，高均为AD与BC这组平行线之间的距离，根据三角形和平行四边形面积公式可直接推导面积关系；△BCD是平行四边形的对角线分成的三角形，面积也是平行四边形的一半，即可得S₁和S₂的关系。
2. 探究2：平行四边形对角线互相平分，O是AC、BD中点，可知4个小三角形等底等高，面积相等，即可得△AOD的面积和S的关系。
3. 探究3：过P作AD、BC的垂线，两个三角形的高之和等于AD、BC之间的距离，结合面积公式推导S₄+S₅和S的关系。
4. 探究4：利用探究3的结论，可知△PAD+△PBC=△PAB+△PDC=½S，再结合△ABD的面积是½S，通过面积差即可求出△PBD的面积。
【解析】
探究1
设平行四边形ABCD的底BC为a，BC与AD之间的高为h，则$S=ah$。
△BCM的底为a，高为h，故$S_1=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}S$；
BD是平行四边形对角线，将平行四边形分成面积相等的两个三角形，故$S_2=\frac{1}{2}S$，因此$S_1=S_2$。
探究2
∵平行四边形对角线互相平分，
∴O是BD、AC的中点，即$BO=OD$，$AO=OC$。
△AOB和△AOD等底同高，面积相等；同理△AOD和△COD、△COD和△BOC面积均相等，
∴4个小三角形面积相等，故$S_3=\frac{1}{4}S$。
探究3
过点P作$PE⊥AD$于E，延长EP交BC于F，
∵$AD// BC$，
∴$PF⊥BC$，
则$S_4=\frac{1}{2}AD· PE$，$S_5=\frac{1}{2}BC· PF$，
∵$AD=BC$，$EF=PE+PF$为AD、BC之间的高，
∴$S_4+S_5=\frac{1}{2}AD·(PE+PF)=\frac{1}{2}AD· EF=\frac{1}{2}S$。
探究4
由探究3的结论可得：$S_{△PAD}+S_{△PBC}=S_{△PAB}+S_{△PDC}=\frac{1}{2}S$，
已知$S_{△PAD}=2$，$S_{△PDC}=4$，
∴$S_{△PAB}=\frac{1}{2}S - 4$，
又
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S$，
∴$S_{△PBD}=S_{△ABD}-S_{△PAD}-S_{△PAB}=\frac{1}{2}S - 2 - (\frac{1}{2}S - 4)=2$。
【答案】
探究1：$\dfrac{1}{2}$，$S_1=S_2$；
探究2：$S_3=\dfrac{1}{4}S$；
探究3：$S_4+S_5=\dfrac{1}{2}S$；
探究4：$S_{△PBD}=2$
【知识点】
平行四边形的性质，平行线间的距离，三角形面积计算
【点评】
本题以平行线间距离处处相等为核心，结合平行四边形的基本性质，从特殊到一般层层设置探究问题，重点考查同底等高三角形面积关系的应用，掌握此类面积转化规律可快速解决平行四边形内点的面积相关问题。
【难度系数】
0.7
解题思路可按4个探究逐层推导：
1. 探究1：△BCM与平行四边形ABCD同底BC，高均为AD与BC这组平行线之间的距离，根据三角形和平行四边形面积公式可直接推导面积关系；△BCD是平行四边形的对角线分成的三角形，面积也是平行四边形的一半，即可得S₁和S₂的关系。
2. 探究2：平行四边形对角线互相平分，O是AC、BD中点，可知4个小三角形等底等高，面积相等，即可得△AOD的面积和S的关系。
3. 探究3：过P作AD、BC的垂线，两个三角形的高之和等于AD、BC之间的距离，结合面积公式推导S₄+S₅和S的关系。
4. 探究4：利用探究3的结论，可知△PAD+△PBC=△PAB+△PDC=½S，再结合△ABD的面积是½S，通过面积差即可求出△PBD的面积。
【解析】
探究1
设平行四边形ABCD的底BC为a，BC与AD之间的高为h，则$S=ah$。
△BCM的底为a，高为h，故$S_1=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}S$；
BD是平行四边形对角线，将平行四边形分成面积相等的两个三角形，故$S_2=\frac{1}{2}S$，因此$S_1=S_2$。
探究2
∵平行四边形对角线互相平分，
∴O是BD、AC的中点，即$BO=OD$，$AO=OC$。
△AOB和△AOD等底同高，面积相等；同理△AOD和△COD、△COD和△BOC面积均相等，
∴4个小三角形面积相等，故$S_3=\frac{1}{4}S$。
探究3
过点P作$PE⊥AD$于E，延长EP交BC于F，
∵$AD// BC$，
∴$PF⊥BC$，
则$S_4=\frac{1}{2}AD· PE$，$S_5=\frac{1}{2}BC· PF$，
∵$AD=BC$，$EF=PE+PF$为AD、BC之间的高，
∴$S_4+S_5=\frac{1}{2}AD·(PE+PF)=\frac{1}{2}AD· EF=\frac{1}{2}S$。
探究4
由探究3的结论可得：$S_{△PAD}+S_{△PBC}=S_{△PAB}+S_{△PDC}=\frac{1}{2}S$，
已知$S_{△PAD}=2$，$S_{△PDC}=4$，
∴$S_{△PAB}=\frac{1}{2}S - 4$，
又
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}S$，
∴$S_{△PBD}=S_{△ABD}-S_{△PAD}-S_{△PAB}=\frac{1}{2}S - 2 - (\frac{1}{2}S - 4)=2$。
【答案】
探究1：$\dfrac{1}{2}$，$S_1=S_2$；
探究2：$S_3=\dfrac{1}{4}S$；
探究3：$S_4+S_5=\dfrac{1}{2}S$；
探究4：$S_{△PBD}=2$
【知识点】
平行四边形的性质，平行线间的距离，三角形面积计算
【点评】
本题以平行线间距离处处相等为核心，结合平行四边形的基本性质，从特殊到一般层层设置探究问题，重点考查同底等高三角形面积关系的应用，掌握此类面积转化规律可快速解决平行四边形内点的面积相关问题。
【难度系数】
0.7
