1. 下列关于平行四边形性质的叙述中，错误的是（）

A.平行四边形的对边相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.平行四边形的对角线相等
D.平行四边形的对角相等

1. C

【分析】
本题考查平行四边形的性质相关知识，解题思路如下：第一步先回忆平行四边形关于边、角、对角线的三类基本性质；第二步将四个选项的描述分别和对应的性质对照；第三步找出描述错误的选项即为答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：平行四边形的对边相等，是平行四边形的基本性质，描述正确，不符合题意；
B选项：平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形对角线的核心性质，描述正确，不符合题意；
C选项：只有矩形、正方形这类特殊的平行四边形的对角线才相等，普通平行四边形的对角线不相等，描述错误，符合题意；
D选项：平行四边形的对角相等，是平行四边形角的基本性质，描述正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形边的性质、平行四边形角的性质、平行四边形对角线的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对平行四边形性质的记忆与区分，尤其要注意不要把普通平行四边形的性质和特殊平行四边形的性质混淆。
【难度系数】
0.9

2. 如图，若$□ ABCD$的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，且BD的长为5 cm，则$△ ABD$的周长为。

2. 16 cm

【分析】
要计算△ABD的周长，首先明确△ABD的周长=AB+AD+BD，题目已经给出BD=5cm，因此只需要求出AB+AD的长度即可。根据平行四边形对边相等的性质，平行四边形的周长等于2倍相邻两边的和，结合已知的平行四边形周长22cm，可先求出AB与AD的和，再代入三角形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）
∵ABCD的周长为22 cm
∴2(AB+AD)=22 cm
解得AB+AD=11 cm
又
∵BD=5 cm
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=11+5=16 cm
【答案】
16 cm
【知识点】
平行四边形对边相等，三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的关键是将所求三角形周长转化为平行四边形相邻两边和加已知边长，题目中的点O是干扰条件，解题时注意排除无关信息的影响。
【难度系数】
0.8

例 如图，在$□ ABCD$中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD。
(1)求证：$OE=OF$；
(2)若$S_{□ ABCD}=63$，$OE=3.5$，求AD的长。

(1)证明略
(2) AD=9。

【分析】
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。结合平行四边形的性质：对角线互相平分可得$OA=OC$，对边平行可得$AD// BC$，进而得到一组内错角相等，再搭配对顶角相等，即可用ASA判定$△ AEO≌△ CFO$，从而推出$OE=OF$。
(2) 求$AD$的长可利用平行四边形面积公式“面积=底×高”求解。由(1)的结论可算出$EF$的长度，结合$EF⊥ AD$、$AD// BC$，可知$EF$就是$AD$边上的高，代入面积公式即可算出$AD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，
∴$∠ EAO=∠ FCO$。
在$△ AEO$和$△ CFO$中：
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO \\OA=OC \\∠ AOE=∠ COF\end{cases}$
∴$△ AEO≌△ CFO(\mathrm{ASA})$，
∴$OE=OF$。
(2) 解：
由(1)得$OE=OF$，
∵$OE=3.5$，
∴$EF=OE+OF=2×3.5=7$。
又
∵$EF⊥ AD$，$AD// BC$，
∴$EF$是平行四边形$ABCD$中$AD$边上的高。
∵$S_{□ ABCD}=AD× EF=63$，
∴$AD=\dfrac{63}{EF}=\dfrac{63}{7}=9$。
【答案】
(1) 证明略；
(2) $AD=9$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形面积计算
【点评】
本题属于平行四边形的基础常考题，第一问通过全等证明线段相等是平行四边形中证明线段相等的常用方法，第二问结合面积公式求解边长，重点考查基础性质的应用和常规解题思路的掌握。
【难度系数】
0.7

1. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 OB，OD 的中点。求证：$AE=CF$。

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$。
∵ $E$，$F$分别是$OB$，$OD$的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \\OE = OF\end{array} $
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（SAS），
∴ $AE = CF$。

【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察得AE、CF分别属于△AOE和△COF，我们先结合平行四边形的性质寻找全等的条件：平行四边形对角线互相平分，可得OA=OC，OB=OD；再结合E、F是OB、OD的中点，可推出OE=OF；加上对顶角∠AOE=∠COF，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边AE=CF。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$。
∵ $E$，$F$分别是$OB$，$OD$的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \\OE = OF\end{array} $
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（SAS），
∴ $AE = CF$。
【答案】
$AE=CF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心解题思路是通过证明三角形全等来得到线段相等的结论，解题关键是熟练运用平行四边形对角线互相平分的性质，结合全等三角形判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.85

2. 如图，在$□ ABCD$中，点E，F在对角线BD上，$BE=DF$，点M，N分别在BA，DC的延长线上，$AM=CN$，连接ME，NF。试判断线段ME与NF的关系，并说明理由。

ME=NF 且 ME//NF。理由略。

【分析】
要判断线段ME与NF的关系，需同时考虑数量关系和位置关系。首先利用平行四边形的性质得到边、角的等量关系，结合已知条件证明△MBE和△NDF全等，通过全等三角形的性质得到边相等、对应角相等，再由角的关系推导两直线平行即可。
【解析】
ME=NF且ME//NF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB//CD
∴∠MBE=∠NDF（两直线平行，内错角相等）
∵AM=CN
∴AB+AM=CD+CN，即BM=DN
在△MBE和△NDF中：
$\{\begin{array}{l}BM=DN\\ ∠ MBE=∠ NDF\\ BE=DF\end{array} $
∴△MBE≌△NDF（SAS）
∴ME=NF（全等三角形对应边相等），∠MEB=∠NFD（全等三角形对应角相等）
∴180°-∠MEB=180°-∠NFD，即∠MED=∠NFB
∴ME//NF（内错角相等，两直线平行）
【答案】
ME=NF且ME//NF
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是结合平行四边形的性质找到全等三角形的判定条件，需注意线段的关系包含数量和位置两类，避免遗漏位置关系的判断。
【难度系数】
0.7

请根据本课所学，构建知识体系。

平行四边形对角线的性质
定理推导
证明三角形全等
性质定理
平行四边形的对角线互相
应用

平分

【分析】
本题是平行四边形对角线性质的知识体系梳理题，解题时先明确知识框架的逻辑：先通过证明三角形全等完成定理推导，得到对应的性质定理内容，再进行性质应用。我们只需要回忆课堂所学的平行四边形对角线的性质结论，即可完成填空。
【解析】
推导平行四边形对角线性质时，在平行四边形中，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得到对角线分割出的两个三角形的对应内错角相等，加上对顶角相等，可通过AAS或ASA证明两个三角形全等，进而得到对角线被交点分成的两组线段分别相等，因此平行四边形的对角线互相平分，故横线处填写“平分”。
【答案】
平分
【知识点】
平行四边形对角线性质；全等三角形证明
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对平行四边形核心性质的识记，是后续解决平行四边形相关几何问题的基础，需熟练掌握相关性质内容。
【难度系数】
0.9