1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，点$E$在$AD$上，且$EA=EB$，以$ED$，$EB$为邻边作$□ EBCD$。若$AB=4\sqrt{5}$，$DB=4$，求四边形$ABCD$的面积。

四边形ABCD的面积为22。

【分析】
解题思路如下：首先，在Rt△ABD中，已知斜边AB和直角边DB的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边AD的长度；其次，根据EA=EB的条件，设ED的长度为x，用含x的式子表示EB的长度，再在Rt△EDB中利用勾股定理列方程，求解得到ED的长度；最后，根据平行四边形对边平行且相等的性质，可知BC=ED且BC//AD，因此四边形ABCD是梯形，结合梯形面积公式即可求出其面积。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ ADB=90°$，$AB=4\sqrt{5}$，$DB=4$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - DB^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 4^2}=\sqrt{80 - 16}=\sqrt{64}=8$。
2. 设$ED=x$，$\because EA=EB$，$\therefore EB=EA=AD - ED=8 - x$。
在$\mathrm{Rt}△EDB$中，$∠ EDB=90°$，由勾股定理得：
$ED^2 + DB^2 = EB^2$，即$x^2 + 4^2=(8 - x)^2$。
展开计算：$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，消去$x^2$后解得$16x=48$，$x=3$，即$ED=3$。
3. $\because$四边形$EBCD$是平行四边形，$\therefore BC=ED=3$，且$BC// AD$。
又$\because BD⊥ AD$，$\therefore BD$是梯形$ABCD$的高，根据梯形面积公式：
$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×(AD + BC)× BD=\frac{1}{2}×(8 + 3)×4=22$。
【答案】
22
【知识点】
勾股定理；平行四边形的性质；梯形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是利用线段相等的条件构造方程求出未知边的长度，再结合平行四边形的性质判断四边形ABCD的形状，代入面积公式计算即可，解题过程中要注意勾股定理的适用条件。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$□ ABCD$中，点M，N分别在边AB，CD上，$BM=DN$，MN与对角线AC相交于点O。求证：$OM=ON$。

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠OAM=∠OCN，∠OMA=∠ONC，
又∵ BM=DN，
∴ AB - BM = CD - DN，
即 AM=CN，
在△AOM和△CON中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠OMA=∠ONC\end{array} $
∴ △AOM ≌ △CON（ASA），
∴ OM=ON。

【分析】
要证明OM=ON，可通过证明两条线段所在的△AOM和△CON全等来实现。首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，结合已知BM=DN，可推导出AM=CN；再由平行线的性质可得两组内错角相等，即可得到全等需要的角的条件，最后用ASA判定两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等就能得出结论。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠OAM=∠OCN，∠OMA=∠ONC，
又
∵ BM=DN，
∴ AB - BM = CD - DN，
即 AM=CN，
在△AOM和△CON中，
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠OMA=∠ONC\end{array} $
∴ △AOM ≌ △CON（ASA），
∴ OM=ON。
【答案】
OM=ON
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是将证明线段相等的问题转化为证明三角形全等的问题，结合平行四边形的性质推导全等所需的边、角条件即可求解，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系。
平行四边形边和角的性质
定义
叫作平行四边形
相关概念：对角线
对称性
平行四边形是对称图形，两条的交点是它的
性质定理
平行四边形的对边
平行四边形的对角

1. 两组对边分别平行的四边形
2. 中心
3. 对角线
4. 对称中心
5. 相等
6. 相等

【分析】
本题是平行四边形边和角性质的知识体系构建题，解题思路为回忆教材中平行四边形的相关基础知识点，依次对应各个填空的考查方向作答即可：首先明确平行四边形的定义内容，其次回忆平行四边形的对称类型及对称中心的位置，最后牢记平行四边形边、角的性质定理，逐个完成填空。
【解析】
1. 对应平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，因此第一个空填写“两组对边分别平行的四边形”；
2. 对应对称性知识点：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心为两条对角线的交点，因此接下来三个空依次填写“中心”“对角线”“对称中心”；
3. 对应性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，因此最后两个空均填写“相等”。
【答案】
1. 两组对边分别平行的四边形；2. 中心；3. 对角线；4. 对称中心；5. 相等；6. 相等
【知识点】
平行四边形的定义；平行四边形的对称性；平行四边形边与角的性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查平行四边形的核心基础概念与性质，熟练掌握相关课本内容即可快速作答，这类基础知识点是后续学习平行四边形相关判定、特殊平行四边形的重要基础。
【难度系数】
0.9

任务一 探究平行四边形对角线的性质
知识回顾:
如图，四边形ABCD是平行四边形。

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC(理由：)；
AB=CD，AD=BC(理由：)；
∠A=，∠B=(理由：)；
∠A+∠B=(理由：)。
类比探究: 如图，ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

分别度量OA，OC，OB，OD的长度，你会发现OAOC，OBOD。
分析：要证明上述关系，观察图形，OA与OB，OC与OD分别属于△与△，因此只需证明这两个三角形即可。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//，AB=。
∴∠BAO=，∠ABO=。
∵AB=CD，
∴△≌△(ASA)。
∴OAOC，OBOD。
新知生成：平行四边形的对角线互相。

平行四边形的定义
平行四边形的对边相等
∠C
∠D
平行四边形的对角相等
180°
两直线平行，同旁内角互补(或平行四边形的邻角互补)
=
=
AOB
COD
全等
CD
CD
∠DCO
∠CDO
ABO
CDO
=
=
平分

【分析】
本题分为知识回顾和类比探究两个模块，核心是从已掌握的平行四边形边、角性质出发，推导对角线的性质。解题时首先回忆平行四边形的定义、对边相等、对角相等、邻角互补这些基础性质完成知识回顾部分的填空；类比探究对角线性质时，观察到待证相等的线段分别属于△AOB和△COD，结合平行四边形对边平行且相等的性质，可得两个三角形的两组内错角相等，加夹边相等的条件，即可用ASA证明两三角形全等，由全等对应边相等就能得到对角线被交点分成的线段相等，最终生成平行四边形对角线互相平分的性质。
【解析】
按题目顺序逐一推导填空：
1. 由平行四边形的定义可知，平行四边形两组对边分别平行，故AB//CD，AD//BC的理由为平行四边形的定义；
2. 平行四边形的对边相等是基础性质，故AB=CD，AD=BC的理由为平行四边形的对边相等；
3. 平行四边形对角相等，因此∠A=∠C，∠B=∠D，理由为平行四边形的对角相等；
4. 平行四边形对边平行，两直线平行同旁内角互补，因此邻角∠A+∠B=180°，理由为两直线平行，同旁内角互补（或平行四边形的邻角互补）；
5. 度量平行四边形对角线分成的四条线段，可得OA=OC，OB=OD；
6. 观察图形，OA、OB在△AOB中，OC、OD在△COD中，要证线段相等只需证明这两个三角形全等即可；
7. 证明过程中，由平行四边形性质得AB//CD，AB=CD；
8. 两直线平行内错角相等，因此∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO；
9. 结合AB=CD，满足ASA判定条件，故△ABO≌△CDO；
10. 全等三角形对应边相等，因此OA=OC，OB=OD；
11. 综上可得新知：平行四边形的对角线互相平分。
【答案】
平行四边形的定义；平行四边形的对边相等；∠C；∠D；平行四边形的对角相等；180°；两直线平行，同旁内角互补(或平行四边形的邻角互补)；=；=；AOB；COD；全等；CD；CD；∠DCO；∠CDO；ABO；CDO；=；=；平分
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题贴合知识生成的逻辑，既考查了平行四边形边、角的基础性质，又引导学生通过全等三角形自主推导对角线的性质，有助于夯实基础，培养逻辑推理能力，是平行四边形性质模块的基础训练题。
【难度系数】
0.8