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1. 下列说法正确的有(
① 过两点有且只有一条直线；
② 连接两点的线段叫作两点的距离；
③ 两点之间线段最短；
④ 如果$AB=BC$，则点$B$是线段$AC$的中点.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).① 过两点有且只有一条直线；
② 连接两点的线段叫作两点的距离；
③ 两点之间线段最短；
④ 如果$AB=BC$，则点$B$是线段$AC$的中点.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
本题是直线、线段相关基础概念的辨析题，解题核心是准确回忆每个概念的定义和成立的前提条件，逐个判断4个说法的正误，统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们对4个说法逐一分析判断：
1. 说法①：“过两点有且只有一条直线”是直线的基本性质，也叫“两点确定一条直线”，该说法正确；
2. 说法②：连接两点的线段的长度才叫做两点的距离，距离是长度量，不是线段本身，该说法错误；
3. 说法③：“两点之间线段最短”是线段的基本性质，该说法正确；
4. 说法④：若AB=BC，只有当A、B、C三点共线，且点B在线段AC上时，点B才是线段AC的中点，缺少必要前提，该说法错误。
综上，正确的说法有①和③，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线的性质，线段的性质，中点与距离定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于容易混淆“线段”和“线段长度”的区别，以及忽略线段中点成立的共线前提，牢记相关概念的完整表述就能避免出错。
【难度系数】
0.7
本题是直线、线段相关基础概念的辨析题，解题核心是准确回忆每个概念的定义和成立的前提条件，逐个判断4个说法的正误，统计正确说法的数量即可选出答案。
【解析】
我们对4个说法逐一分析判断：
1. 说法①：“过两点有且只有一条直线”是直线的基本性质，也叫“两点确定一条直线”，该说法正确；
2. 说法②：连接两点的线段的长度才叫做两点的距离，距离是长度量，不是线段本身，该说法错误；
3. 说法③：“两点之间线段最短”是线段的基本性质，该说法正确；
4. 说法④：若AB=BC，只有当A、B、C三点共线，且点B在线段AC上时，点B才是线段AC的中点，缺少必要前提，该说法错误。
综上，正确的说法有①和③，共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直线的性质，线段的性质，中点与距离定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点在于容易混淆“线段”和“线段长度”的区别，以及忽略线段中点成立的共线前提，牢记相关概念的完整表述就能避免出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示，小华的家在A处，书店在B处.星期日小华到书店去买书，他想尽快地赶到书店，则下列路线最短的是(
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
B
).A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察四个选项的路线，发现开头均为A→C，因此只需比较从C到B的剩余路线长度即可。解题核心用到“两点之间，线段最短”的基本事实，我们只需要判断C到B的各条路线中，哪条最接近C、B两点之间的线段，就能找到最短路线：绕路走折线、曲线的路线都会比沿线段方向的路线更长，逐一排除不符合的选项就能得到答案。
【解析】
第一步：观察所有选项的路线，第一段都是A→C，因此仅需比较C到B段的路径长度。
第二步：根据“两点之间，线段最短”的性质：
选项A的剩余路径C→D→B是直角折线，长度远大于C到B的直接路径，排除；
选项C的剩余路径C→E→F→B多绕了E点，路径长度比C→F→B更长，排除；
选项D的剩余路径C→M→B是弧线（曲线），曲线长度大于对应线段的长度，排除；
选项B的剩余路径C→F→B是沿C、B两点连线方向的路径，总长度最短。
因此最短路线为A→C→F→B。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选择
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的应用，解题时先筛选掉各选项相同的路径段，再结合线段性质对比剩余路径即可快速得出结论，注重考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.9
首先观察四个选项的路线，发现开头均为A→C，因此只需比较从C到B的剩余路线长度即可。解题核心用到“两点之间，线段最短”的基本事实，我们只需要判断C到B的各条路线中，哪条最接近C、B两点之间的线段，就能找到最短路线：绕路走折线、曲线的路线都会比沿线段方向的路线更长，逐一排除不符合的选项就能得到答案。
【解析】
第一步：观察所有选项的路线，第一段都是A→C，因此仅需比较C到B段的路径长度。
第二步：根据“两点之间，线段最短”的性质：
选项A的剩余路径C→D→B是直角折线，长度远大于C到B的直接路径，排除；
选项C的剩余路径C→E→F→B多绕了E点，路径长度比C→F→B更长，排除；
选项D的剩余路径C→M→B是弧线（曲线），曲线长度大于对应线段的长度，排除；
选项B的剩余路径C→F→B是沿C、B两点连线方向的路径，总长度最短。
因此最短路线为A→C→F→B。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；最短路径选择
【点评】
本题是线段性质在实际生活中的应用，解题时先筛选掉各选项相同的路径段，再结合线段性质对比剩余路径即可快速得出结论，注重考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.9
3. 已知线段AB，反向延长AB到点C，使$AC=\frac{1}{3}BC$，D为AC中点. 若$CD=2\ \mathrm{cm}$，则AB等于（
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
C
）.A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先根据“反向延长AB到C”确定各点在直线上的排列顺序为C、A、B，A在C和B之间。解题思路分三步：第一步利用线段中点的性质，由CD的长度求出AC的长度；第二步根据AC和BC的数量关系求出BC的长度；第三步利用线段的和差关系，结合BC=AC+AB，代入数值计算得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ D是AC的中点，$CD=2\ \mathrm{cm}$
∴ $AC=2CD=2×2=4\ \mathrm{cm}$
∵ $AC=\frac{1}{3}BC$
∴ $BC=3AC=3×4=12\ \mathrm{cm}$
∵ 反向延长AB到C，点C、A、B共线，满足$BC=AC+AB$
∴ $AB=BC-AC=12-4=8\ \mathrm{cm}$
故选：C
【答案】C
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题，解题核心是根据题意正确画出线段示意图，理清各线段的位置和数量关系，结合中点性质推导即可，需要注意反向延长线的含义，避免判断错线段位置关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“反向延长AB到C”确定各点在直线上的排列顺序为C、A、B，A在C和B之间。解题思路分三步：第一步利用线段中点的性质，由CD的长度求出AC的长度；第二步根据AC和BC的数量关系求出BC的长度；第三步利用线段的和差关系，结合BC=AC+AB，代入数值计算得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ D是AC的中点，$CD=2\ \mathrm{cm}$
∴ $AC=2CD=2×2=4\ \mathrm{cm}$
∵ $AC=\frac{1}{3}BC$
∴ $BC=3AC=3×4=12\ \mathrm{cm}$
∵ 反向延长AB到C，点C、A、B共线，满足$BC=AC+AB$
∴ $AB=BC-AC=12-4=8\ \mathrm{cm}$
故选：C
【答案】C
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题，解题核心是根据题意正确画出线段示意图，理清各线段的位置和数量关系，结合中点性质推导即可，需要注意反向延长线的含义，避免判断错线段位置关系。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 平面上有A，B两点，且$AB=6\ \mathrm{cm}$，在该平面上找一点P.
（1）若使$PA+PB=6\ \mathrm{cm}$，则点P在
（2）若使$PA+PB＞6\ \mathrm{cm}$，则点P在
（3）若使$PA+PB＜6\ \mathrm{cm}$，则点P
4. 平面上有A，B两点，且$AB=6\ \mathrm{cm}$，在该平面上找一点P.
（1）若使$PA+PB=6\ \mathrm{cm}$，则点P在
线段AB上
；（2）若使$PA+PB＞6\ \mathrm{cm}$，则点P在
线段AB外
；（3）若使$PA+PB＜6\ \mathrm{cm}$，则点P
不存在
.答案
4. (1) 线段AB上 (2) 线段AB外 (3) 不存在
解析
【分析】
解题的核心依据是“两点之间，线段最短”的性质。首先明确A、B两点间的最短距离就是线段AB的长度6cm，接下来分情况讨论点P的位置：①当点P在线段AB上时，PA+PB的长度恰好等于AB的长度；②当点P不在线段AB上时，根据两点之间线段最短，PA+PB的长度必然大于AB的长度；③由于两点之间线段最短是公理，PA+PB的最小值就是AB的长度，不可能出现比6cm更小的情况，据此就能得出三种情况下的结论。
【解析】
根据两点之间线段最短的性质，A、B两点之间的最短距离为线段AB的长度，即6cm。
(1) 若PA+PB=6cm，恰好等于A、B两点的最短距离，说明点P位于线段AB上，此时PA与PB的和刚好是线段AB的总长度；
(2) 若PA+PB＞6cm，说明P到A、B的距离和大于最短距离，因此点P不在线段AB上，即点P在线段AB外；
(3) 因为两点之间线段最短，PA+PB的最小值为6cm，不存在PA+PB＜6cm的情况，因此这样的点P不存在。
【答案】
(1) 线段AB上 (2) 线段AB外 (3) 不存在
【知识点】
两点之间线段最短；点与线段的位置关系
【点评】
本题是对线段基础性质的直接考查，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短的公理，明确点与线段的不同位置对应的距离和的变化规律，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是“两点之间，线段最短”的性质。首先明确A、B两点间的最短距离就是线段AB的长度6cm，接下来分情况讨论点P的位置：①当点P在线段AB上时，PA+PB的长度恰好等于AB的长度；②当点P不在线段AB上时，根据两点之间线段最短，PA+PB的长度必然大于AB的长度；③由于两点之间线段最短是公理，PA+PB的最小值就是AB的长度，不可能出现比6cm更小的情况，据此就能得出三种情况下的结论。
【解析】
根据两点之间线段最短的性质，A、B两点之间的最短距离为线段AB的长度，即6cm。
(1) 若PA+PB=6cm，恰好等于A、B两点的最短距离，说明点P位于线段AB上，此时PA与PB的和刚好是线段AB的总长度；
(2) 若PA+PB＞6cm，说明P到A、B的距离和大于最短距离，因此点P不在线段AB上，即点P在线段AB外；
(3) 因为两点之间线段最短，PA+PB的最小值为6cm，不存在PA+PB＜6cm的情况，因此这样的点P不存在。
【答案】
(1) 线段AB上 (2) 线段AB外 (3) 不存在
【知识点】
两点之间线段最短；点与线段的位置关系
【点评】
本题是对线段基础性质的直接考查，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短的公理，明确点与线段的不同位置对应的距离和的变化规律，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
5. 数轴上的点A，C，B分别表示－2，4，8，若AC＝BD，则数轴上点D表示的数是
2或14
.答案
5. 2或14
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴上两点间距离的计算方法：两点所对应数的差的绝对值，也可直接用右侧点的数减去左侧点的数快速计算。本题已知AC=BD，我们可以先算出AC的长度，再得到BD的长度；由于只规定了BD的长度，未限定点D相对于点B的位置，因此需要分点D在点B左侧、点D在点B右侧两种情况讨论，分别计算出点D对应的数即可。
【解析】
第一步：计算AC的长度
数轴上点A表示-2，点C表示4，点C在点A右侧，因此AC = 4 - (-2) = 6。
第二步：根据AC=BD，得BD=6，分两种情况计算点D对应的数：
① 若点D在点B的左侧：此时点D对应的数比点B的数小6，即8 - 6 = 2；
② 若点D在点B的右侧：此时点D对应的数比点B的数大6，即8 + 6 = 14。
综上，点D表示的数是2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
数轴两点距离计算，分类讨论思想，绝对值几何意义
【点评】
本题属于数轴基础应用题，核心考查数轴上两点距离的计算逻辑，易错点是容易忽略点D的位置有两种可能性，仅计算出其中一个解，解题时遇到仅给出两点距离、未限定位置的问题，要主动考虑多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确数轴上两点间距离的计算方法：两点所对应数的差的绝对值，也可直接用右侧点的数减去左侧点的数快速计算。本题已知AC=BD，我们可以先算出AC的长度，再得到BD的长度；由于只规定了BD的长度，未限定点D相对于点B的位置，因此需要分点D在点B左侧、点D在点B右侧两种情况讨论，分别计算出点D对应的数即可。
【解析】
第一步：计算AC的长度
数轴上点A表示-2，点C表示4，点C在点A右侧，因此AC = 4 - (-2) = 6。
第二步：根据AC=BD，得BD=6，分两种情况计算点D对应的数：
① 若点D在点B的左侧：此时点D对应的数比点B的数小6，即8 - 6 = 2；
② 若点D在点B的右侧：此时点D对应的数比点B的数大6，即8 + 6 = 14。
综上，点D表示的数是2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
数轴两点距离计算，分类讨论思想，绝对值几何意义
【点评】
本题属于数轴基础应用题，核心考查数轴上两点距离的计算逻辑，易错点是容易忽略点D的位置有两种可能性，仅计算出其中一个解，解题时遇到仅给出两点距离、未限定位置的问题，要主动考虑多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 如图所示，已知$BC=4$，$BD=7$，且$D$是$AC$的中点，则$AB=$
10
，$AC=$6
。答案
6. 10 6
解析
【分析】
首先观察线段上点的排列顺序为A、D、C、B，解题时第一步先根据已知的BD、BC的长度，利用线段的差求出DC的长度；第二步结合D是AC中点的性质，即可求出AC的长度；第三步利用线段的和，将AC与BC的长度相加就能得到AB的总长度。
【解析】
解：
∵点C在线段BD上
∴$DC = BD - BC = 7 - 4 = 3$
又
∵D是AC的中点
∴$AC = 2DC = 2×3 = 6$
∵线段AB由AC和BC组成
∴$AB = AC + BC = 6 + 4 = 10$
【答案】
10；6
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是理清各点在直线上的位置关系，准确对应线段之间的数量关系，再结合中点的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
首先观察线段上点的排列顺序为A、D、C、B，解题时第一步先根据已知的BD、BC的长度，利用线段的差求出DC的长度；第二步结合D是AC中点的性质，即可求出AC的长度；第三步利用线段的和，将AC与BC的长度相加就能得到AB的总长度。
【解析】
解：
∵点C在线段BD上
∴$DC = BD - BC = 7 - 4 = 3$
又
∵D是AC的中点
∴$AC = 2DC = 2×3 = 6$
∵线段AB由AC和BC组成
∴$AB = AC + BC = 6 + 4 = 10$
【答案】
10；6
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的核心是理清各点在直线上的位置关系，准确对应线段之间的数量关系，再结合中点的性质即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 如图所示，$AB=12$，$AM=\dfrac{2}{5}AB$，$BN=\dfrac{1}{3}BM$，求$MN$的长.
7. 如图所示，$AB=12$，$AM=\dfrac{2}{5}AB$，$BN=\dfrac{1}{3}BM$，求$MN$的长.
答案
7. MN=4.8
解析
【分析】
解题时先从已知的线段总长度AB出发，第一步根据AM和AB的比例关系求出AM的长度，再利用线段和差关系AB=AM+BM求出BM的长度，接着根据BN和BM的比例关系，结合MN=BM-BN的和差关系，就能求出MN的长度，整体按照“已知比例求部分→和差求相邻线段→再按比例求目标线段”的思路逐步计算即可。
【解析】
解：已知$AB=12$，
$\because AM=\dfrac{2}{5}AB$，
$\therefore AM=\dfrac{2}{5}×12=\dfrac{24}{5}$，
$\therefore BM=AB-AM=12-\dfrac{24}{5}=\dfrac{36}{5}$，
又$\because BN=\dfrac{1}{3}BM$，
$\therefore MN=BM-BN=BM-\dfrac{1}{3}BM=\dfrac{2}{3}BM$，
代入$BM$的长度得：$MN=\dfrac{2}{3}×\dfrac{36}{5}=\dfrac{24}{5}=4.8$。
【答案】
$MN=4.8$
【知识点】
线段和差计算；线段比例运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心是理清各线段的数量关系，按照已知条件逐步推导即可，是巩固线段和差、比例计算的典型练习题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的线段总长度AB出发，第一步根据AM和AB的比例关系求出AM的长度，再利用线段和差关系AB=AM+BM求出BM的长度，接着根据BN和BM的比例关系，结合MN=BM-BN的和差关系，就能求出MN的长度，整体按照“已知比例求部分→和差求相邻线段→再按比例求目标线段”的思路逐步计算即可。
【解析】
解：已知$AB=12$，
$\because AM=\dfrac{2}{5}AB$，
$\therefore AM=\dfrac{2}{5}×12=\dfrac{24}{5}$，
$\therefore BM=AB-AM=12-\dfrac{24}{5}=\dfrac{36}{5}$，
又$\because BN=\dfrac{1}{3}BM$，
$\therefore MN=BM-BN=BM-\dfrac{1}{3}BM=\dfrac{2}{3}BM$，
代入$BM$的长度得：$MN=\dfrac{2}{3}×\dfrac{36}{5}=\dfrac{24}{5}=4.8$。
【答案】
$MN=4.8$
【知识点】
线段和差计算；线段比例运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，核心是理清各线段的数量关系，按照已知条件逐步推导即可，是巩固线段和差、比例计算的典型练习题。
【难度系数】
0.8
