8. 如图所示，已知线段$a$，$b$，$c$.
求作线段$AD$，使得$AD=2a + b - c$.（不写作法，保留作图痕迹）

解：
线段AD即为所求作的线段，作图痕迹保留要求如下：
作射线AP，在射线AP上从端点A开始顺次截取AB=a，BC=a，CE=b，得到总长度为2a+b的线段AE，再在线段AE上从点E开始向点A方向截取ED=c，使点D落在线段A、E之间，最终得到的线段AD满足AD=2a+b-c，所有用圆规截取等长线段的圆弧痕迹全部保留。

【分析】
要构造满足$AD=2a + b - c$的线段，可依据线段和差的作图逻辑思考：首先处理线段的求和部分，先在射线上顺次截取得到总长为$2a+b$的线段，顺次截取的操作对应线段的和运算；再处理线段的求差部分，从总长线段的末端向起点方向反向截取长度为$c$的线段，反向截取对应线段的差运算，剩余线段的长度就是所求的$AD$。
【解析】
1. 作射线$AP$；
2. 在射线$AP$上从端点$A$开始顺次截取$AB=a$，$BC=a$，$CE=b$，此时线段$AE$的长度为$AB+BC+CE=2a+b$；
3. 在线段$AE$上从点$E$开始向点$A$方向截取$ED=c$，使点$D$落在线段$A$、$E$之间，此时$AD=AE-ED=2a+b-c$，保留所有圆规截取等长线段的圆弧痕迹。
【答案】
按上述步骤作出的线段$AD$即为所求作的线段。
【知识点】
1. 尺规作线段
2. 线段的和差
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，核心是掌握“顺次截取作和、反向截取作差”的作图规则，作图时需保留全部圆规截取的痕迹，截取差的部分时要注意方向，保证截得的点落在已有和线段内部。
【难度系数】
0.8

9. 如图所示，已知线段$a$，$b$，射线$AM$.
（1）按以下步骤进行尺规作图：（保留作图痕迹）
① 在射线$AM$上顺次截取$AP = PB = a$；
② 在射线$AM$上截取$BQ = b$；
（2）求$AQ$的长.

(1) 图略 (2) 2a + b 或 2a − b

【分析】
本题分为作图和计算两部分：①作图部分考查尺规作相等线段的基本操作，首先用圆规量取已知线段a的长度，在射线AM上从A出发依次截取两段长度为a的线段得到AP、PB；再量取线段b的长度，以B为圆心画弧，与射线AM相交即可得到点Q，注意Q有两种可能位置。②计算AQ长度时，先算出AB的总长度为2a，再根据Q在B的左侧或右侧两种情况，分别利用线段和差计算AQ的长度即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
1. 将圆规两脚张开，使两脚间距等于线段a的长度，以点A为圆心，a为半径画弧，交射线AM于点P；再以点P为圆心，a为半径画弧，交射线AM上点P的右侧于点B，此时满足$AP=PB=a$。
2. 将圆规两脚张开，使两脚间距等于线段b的长度，以点B为圆心，b为半径画弧，与射线AM交于两点：一点在B的右侧，一点在B的左侧，两点均满足$BQ=b$，保留作图痕迹即可。
(2) 首先计算AB的长度：$\because AP=PB=a$，$\therefore AB=AP+PB=a+a=2a$。
分两种情况讨论：
① 当点Q在点B的右侧时，$AQ=AB+BQ=2a + b$；
② 当点Q在点B的左侧时，$AQ=AB-BQ=2a - b$。
综上，AQ的长为$2a+b$或$2a-b$。
【答案】
(1) 作图略
(2) $2a + b$ 或 $2a - b$
【知识点】
1. 尺规作相等线段
2. 线段的和差计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于基础作图与计算结合类题目，重点考查尺规作图的基本技能和线段和差的运算能力，易错点是忽略Q点的位置有两种可能性，出现漏解的问题，解题时要结合射线可向一端无限延伸的特点，考虑所有符合要求的位置。
【难度系数】
0.7