8. 如图所示，点 P 为线段 AB 的中点，M 为 PB 上任一点，试探究 2PM 与 AM－BM 之间的大小关系，并简要说明理由。

2PM=AM-BM. 理由：因为P是AB的中点，所以AP=BP，所以PM+BM=AM-PM，所以2PM=AM-BM

【分析】
要探究2PM与AM－BM的大小关系，我们可以先利用线段中点的性质得到AP=BP的等量关系，再结合线段的和差规则，把AM、BM拆分成包含PM、AP、BP的表达式，代入AM-BM中化简，就能推出二者的关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{2PM = AM - BM}$，理由如下：
∵ 点P是线段AB的中点，
∴ $AP = BP$。
根据线段的和差关系可得：$AM = AP + PM$，$BM = BP - PM$，
将上述两式代入$AM - BM$中得：
$\begin{aligned}AM - BM &= (AP + PM) - (BP - PM) \\&= AP + PM - BP + PM\end{aligned}$
又
∵ $AP = BP$，因此$AP-BP=0$，
∴ $AM - BM = 2PM$，即$2PM = AM - BM$。
【答案】
$2PM=AM-BM$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是利用线段中点的等量关系，将待研究的线段拆分为公共线段的和差形式，通过代数化简即可得到结论，熟练掌握线段的拆分方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

9. 如图所示，有A，B，C，D四个村庄，为解决当地的缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.不考虑其他因素，请你画出蓄水池P的位置，使它与四个村庄的距离之和最小.

点P为直线AD,BC的交点

【分析】
要使蓄水池P到四个村庄的距离之和最小，即求$PA+PB+PC+PD$的最小值，我们可以把距离和拆分为$(PA+PD)$和$(PB+PC)$两部分分别分析。根据“两点之间，线段最短”的性质：要让$PA+PD$最小，点P必须在线段AD上，若P不在线段AD上，$PA+PD$就会大于线段AD的长度；同理要让$PB+PC$最小，点P必须在线段BC上。因此同时满足两个条件的点就是线段AD和BC的交点，该点就是所求的蓄水池位置。
【解析】
1. 用直尺分别连接线段AD、线段BC；
2. 线段AD和线段BC的交点即为所求的蓄水池P的位置。
原理：根据两点之间线段最短，此时$PA+PD=AD$，$PB+PC=BC$，总距离和$PA+PB+PC+PD=AD+BC$，是所有可能位置中的最小值。
【答案】
点P为线段AD、BC的交点
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 最短路径选址
【点评】
本题是结合生活实际的最短路径问题，解题关键是把到四个点的距离和拆分为两组两点间的距离和，利用基础几何性质简化问题，能有效锻炼将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7