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例2 如图所示,回答下列问题.
(1)$∠AOC$是哪两个角的和?
(2)$∠AOB$是哪两个角的差?
解:
【规律方法】
解决角的和、差计算问题的关键
解决角的和、差计算问题的关键是明确两角之间的关系,重点观察图形,看一个角是在另一个角的内部还是外部,两个角是否有公共边. 若题目没有给出图形,解答时要根据题意画出草图.
(1)$∠AOC$是哪两个角的和?
(2)$∠AOB$是哪两个角的差?
解:
【规律方法】
解决角的和、差计算问题的关键
解决角的和、差计算问题的关键是明确两角之间的关系,重点观察图形,看一个角是在另一个角的内部还是外部,两个角是否有公共边. 若题目没有给出图形,解答时要根据题意画出草图.
答案
(1) ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和；
(2) ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，∠AOB也是∠AOD与∠BOD的差.
(2) ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，∠AOB也是∠AOD与∠BOD的差.
解析
【分析】
解决这道题的核心是结合图形观察角的包含关系，找角之间的公共边：
(1) 找∠AOC的组成时，观察∠AOC内部的射线，看哪两个有公共边的小角能拼成∠AOC；
(2) 找∠AOB是哪两个角的差时，先找比∠AOB大、且包含∠AOB的角，用大角减去大角内部除了∠AOB之外的部分，就能得到∠AOB。
【解析】
(1) 观察图形可知，射线OB在∠AOC的内部，将∠AOC分成了两个有公共边OB的小角∠AOB和∠BOC，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，即∠AOC是∠AOB与∠BOC的和。
(2) 首先，∠AOC包含∠AOB和∠BOC，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；其次，∠AOD包含∠AOB和∠BOD，因此$∠ AOB = ∠ AOD - ∠ BOD$，即∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，也是∠AOD与∠BOD的差。
【答案】
(1) $∠ AOC$是$∠ AOB$与$∠ BOC$的和；
(2) $∠ AOB$是$∠ AOC$与$∠ BOC$的差，$∠ AOB$也是$∠ AOD$与$∠ BOD$的差。
【知识点】
角的和与差、角的组成
【点评】
本题是角的和差关系的基础应用题，解题关键是结合图形判断角的包含关系与公共边，熟练掌握这类题型是后续进行角的运算的基础。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是结合图形观察角的包含关系，找角之间的公共边：
(1) 找∠AOC的组成时，观察∠AOC内部的射线，看哪两个有公共边的小角能拼成∠AOC；
(2) 找∠AOB是哪两个角的差时，先找比∠AOB大、且包含∠AOB的角，用大角减去大角内部除了∠AOB之外的部分，就能得到∠AOB。
【解析】
(1) 观察图形可知，射线OB在∠AOC的内部，将∠AOC分成了两个有公共边OB的小角∠AOB和∠BOC，因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，即∠AOC是∠AOB与∠BOC的和。
(2) 首先，∠AOC包含∠AOB和∠BOC，因此$∠ AOB = ∠ AOC - ∠ BOC$；其次，∠AOD包含∠AOB和∠BOD，因此$∠ AOB = ∠ AOD - ∠ BOD$，即∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，也是∠AOD与∠BOD的差。
【答案】
(1) $∠ AOC$是$∠ AOB$与$∠ BOC$的和；
(2) $∠ AOB$是$∠ AOC$与$∠ BOC$的差，$∠ AOB$也是$∠ AOD$与$∠ BOD$的差。
【知识点】
角的和与差、角的组成
【点评】
本题是角的和差关系的基础应用题，解题关键是结合图形判断角的包含关系与公共边，熟练掌握这类题型是后续进行角的运算的基础。
【难度系数】
0.9
例3 计算:
(1)$180° - 46°42'$; (2)$28°36' +72°24'$;
(3)$50°24' ×3$; (4)$49°28'52'' ÷4$.
解:
【规律方法】
(1)角的运算一般是从低级到高级或从高级到低级逐级运算.
(2)加法、乘法运算中,分、秒满60向上一级进1;减法运算中,若需借位,注意上一级的1需乘60放入下一级;除法运算中,从高位算起,余数乘60化为下一级再运算.
(1)$180° - 46°42'$; (2)$28°36' +72°24'$;
(3)$50°24' ×3$; (4)$49°28'52'' ÷4$.
解:
【规律方法】
(1)角的运算一般是从低级到高级或从高级到低级逐级运算.
(2)加法、乘法运算中,分、秒满60向上一级进1;减法运算中,若需借位,注意上一级的1需乘60放入下一级;除法运算中,从高位算起,余数乘60化为下一级再运算.
答案
(1) 133°18'；
(2) 101°；
(3) 151°12'；
(4) 12°22'13''.
(2) 101°；
(3) 151°12'；
(4) 12°22'13''.
解析
【分析】
首先明确度、分、秒为60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，再根据不同运算的规则分步计算：①减法运算时，若低一级单位数值不够减，需从高一级单位借1当60再计算；②加法运算时，同级单位分别相加，满60就向高一级单位进1；③乘法运算时，度、分分别乘乘数，结果满60向高一级单位进1；④除法运算时，从最高级单位开始除，余数乘60转化为下一级单位后继续除，依次计算到秒即可。
【解析】
(1) 计算$180° - 46°42'$：
将$180°$转化为$179°60'$（借$1°$换算为$60'$），再分级相减：
$179°-46°=133°$，$60'-42'=18'$，得结果$133°18'$。
(2) 计算$28°36' +72°24'$：
同级单位分别相加：$28°+72°=100°$，$36'+24'=60'$，因$60'=1°$，进位后得$100°+1°=101°$。
(3) 计算$50°24' ×3$：
度、分分别乘3：$50°×3=150°$，$24'×3=72'$，将$72'$换算为$1°12'$，合并后得$150°+1°12'=151°12'$。
(4) 计算$49°28'52'' ÷4$：
从最高位开始除：$49°÷4=12°$余$1°$，将余数$1°$换算为$60'$，与原有$28'$合并得$88'$；
再计算分的除法：$88'÷4=22'$，无余数；
最后计算秒的除法：$52''÷4=13''$；
合并结果得$12°22'13''$。
【答案】
(1) $133°18'$；(2) $101°$；(3) $151°12'$；(4) $12°22'13''$
【知识点】
度分秒的换算、角的加减运算、角的乘除运算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，核心考查度分秒的60进制运算规则，熟练掌握不同运算下的进退位、借位、单位转换规则就能准确作答。
【难度系数】
0.75
首先明确度、分、秒为60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，再根据不同运算的规则分步计算：①减法运算时，若低一级单位数值不够减，需从高一级单位借1当60再计算；②加法运算时，同级单位分别相加，满60就向高一级单位进1；③乘法运算时，度、分分别乘乘数，结果满60向高一级单位进1；④除法运算时，从最高级单位开始除，余数乘60转化为下一级单位后继续除，依次计算到秒即可。
【解析】
(1) 计算$180° - 46°42'$：
将$180°$转化为$179°60'$（借$1°$换算为$60'$），再分级相减：
$179°-46°=133°$，$60'-42'=18'$，得结果$133°18'$。
(2) 计算$28°36' +72°24'$：
同级单位分别相加：$28°+72°=100°$，$36'+24'=60'$，因$60'=1°$，进位后得$100°+1°=101°$。
(3) 计算$50°24' ×3$：
度、分分别乘3：$50°×3=150°$，$24'×3=72'$，将$72'$换算为$1°12'$，合并后得$150°+1°12'=151°12'$。
(4) 计算$49°28'52'' ÷4$：
从最高位开始除：$49°÷4=12°$余$1°$，将余数$1°$换算为$60'$，与原有$28'$合并得$88'$；
再计算分的除法：$88'÷4=22'$，无余数；
最后计算秒的除法：$52''÷4=13''$；
合并结果得$12°22'13''$。
【答案】
(1) $133°18'$；(2) $101°$；(3) $151°12'$；(4) $12°22'13''$
【知识点】
度分秒的换算、角的加减运算、角的乘除运算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，核心考查度分秒的60进制运算规则，熟练掌握不同运算下的进退位、借位、单位转换规则就能准确作答。
【难度系数】
0.75
2. 如图,两个三角尺的直角顶点重合于点O处,若∠AOD=135°,则∠BOC=
45
°.答案
2. 45
解析
【分析】
首先明确两个三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。观察图形可发现，∠AOB与∠COD的和恰好等于∠AOD加上重叠部分的∠BOC，因此可以通过角的和差关系推导出∠BOC的计算方法，代入已知的∠AOD的度数即可求解。
【解析】
解：根据三角尺的特征，得$∠ AOB = ∠ COD = 90°$。
观察角的组成可得：$∠ AOB + ∠ COD = ∠ AOD + ∠ BOC$
将已知角度代入：$90° + 90° = 135° + ∠ BOC$
计算得：$∠ BOC = 180° - 135° = 45°$
【答案】
45
【知识点】
直角的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题关键是找准不同角之间的和差关系，利用直角的固定度数列式计算即可，掌握角的和差规律能大大提高解题效率。
【难度系数】
0.8
首先明确两个三角尺的直角均为90°，即∠AOB=∠COD=90°。观察图形可发现，∠AOB与∠COD的和恰好等于∠AOD加上重叠部分的∠BOC，因此可以通过角的和差关系推导出∠BOC的计算方法，代入已知的∠AOD的度数即可求解。
【解析】
解：根据三角尺的特征，得$∠ AOB = ∠ COD = 90°$。
观察角的组成可得：$∠ AOB + ∠ COD = ∠ AOD + ∠ BOC$
将已知角度代入：$90° + 90° = 135° + ∠ BOC$
计算得：$∠ BOC = 180° - 135° = 45°$
【答案】
45
【知识点】
直角的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题关键是找准不同角之间的和差关系，利用直角的固定度数列式计算即可，掌握角的和差规律能大大提高解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 计算:
(1)$14°25'+42°42'$;
(2)$180°-21°17'24''$;
(3)$20°21'×6$;
(4)$17°4'÷5$.
(1)$14°25'+42°42'$;
(2)$180°-21°17'24''$;
(3)$20°21'×6$;
(4)$17°4'÷5$.
答案
(1) 57°7'；
(2) 158°42'36''；
(3) 122°6'；
(4) 3°24'48''.
(2) 158°42'36''；
(3) 122°6'；
(4) 3°24'48''.
解析
【分析】
角度的运算遵循度、分、秒60进制的规则，解题时按不同单位分别计算，再按规则处理进位、借位即可：
1. 加法：度与度相加、分与分相加，分满60向度进1；
2. 减法：若被减数的分/秒小于减数的分/秒，需向上一级借1当60，再逐位相减；
3. 乘法：度、分分别乘乘数，分满60向度进1；
4. 除法：从最高级单位开始除，余数转化为下一级单位后继续除即可。
【解析】
(1) 计算$14°25'+42°42'$：
度相加：$14°+42°=56°$
分相加：$25'+42'=67'=1°7'$
合并结果：$56°+1°7'=57°7'$
(2) 计算$180°-21°17'24''$：
先把$180°$转化为$179°59'60''$（借1°为60'，再借1'为60''）
度相减：$179°-21°=158°$
分相减：$59'-17'=42'$
秒相减：$60''-24''=36''$
合并结果：$158°42'36''$
(3) 计算$20°21'×6$：
度乘6：$20°×6=120°$
分乘6：$21'×6=126'=2°6'$
合并结果：$120°+2°6'=122°6'$
(4) 计算$17°4'÷5$：
先算度：$17°÷5=3°$，余$2°$，将$2°$转化为$120'$
再算分：$(120'+4')÷5=124'÷5=24'$，余$4'$，将$4'$转化为$240''$
最后算秒：$240''÷5=48''$
合并结果：$3°24'48''$
【答案】
(1) $57°7'$；(2) $158°42'36''$；(3) $122°6'$；(4) $3°24'48''$
【知识点】
度分秒换算，角的加减运算，角的乘除运算
【点评】
本题是角的运算基础题，重点考查度分秒60进制的换算规则，计算时只要注意进位、借位的规范处理，就能准确得出结果。
【难度系数】
0.8
角度的运算遵循度、分、秒60进制的规则，解题时按不同单位分别计算，再按规则处理进位、借位即可：
1. 加法：度与度相加、分与分相加，分满60向度进1；
2. 减法：若被减数的分/秒小于减数的分/秒，需向上一级借1当60，再逐位相减；
3. 乘法：度、分分别乘乘数，分满60向度进1；
4. 除法：从最高级单位开始除，余数转化为下一级单位后继续除即可。
【解析】
(1) 计算$14°25'+42°42'$：
度相加：$14°+42°=56°$
分相加：$25'+42'=67'=1°7'$
合并结果：$56°+1°7'=57°7'$
(2) 计算$180°-21°17'24''$：
先把$180°$转化为$179°59'60''$（借1°为60'，再借1'为60''）
度相减：$179°-21°=158°$
分相减：$59'-17'=42'$
秒相减：$60''-24''=36''$
合并结果：$158°42'36''$
(3) 计算$20°21'×6$：
度乘6：$20°×6=120°$
分乘6：$21'×6=126'=2°6'$
合并结果：$120°+2°6'=122°6'$
(4) 计算$17°4'÷5$：
先算度：$17°÷5=3°$，余$2°$，将$2°$转化为$120'$
再算分：$(120'+4')÷5=124'÷5=24'$，余$4'$，将$4'$转化为$240''$
最后算秒：$240''÷5=48''$
合并结果：$3°24'48''$
【答案】
(1) $57°7'$；(2) $158°42'36''$；(3) $122°6'$；(4) $3°24'48''$
【知识点】
度分秒换算，角的加减运算，角的乘除运算
【点评】
本题是角的运算基础题，重点考查度分秒60进制的换算规则，计算时只要注意进位、借位的规范处理，就能准确得出结果。
【难度系数】
0.8
