1. (2024 甘肃中考改)如图 1 的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图 2,已知$\odot O$和圆上一点M.作法如下:①以点M为圆心,OM长为半径作弧交$\odot O$于A,B两点;②延长MO交$\odot O$于点C,即点A,B,C将$\odot O$的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图2中将$\odot O$的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若$\odot O$的半径为2cm,求$\triangle ABC$的周长.

解: (1) 如图, 点 A, B, C 即为所求;

(2) 设 CM 交 AB 于点 E.
∵ $\widehat{AB}=\widehat{AC}=\widehat{BC}$,
∴ $AB = CB = AC$, $\angle AOB = 120^{\circ}$.
∵ $\widehat{AM}=\widehat{BM}$,
∴ $\angle AOM=\angle BOM = 60^{\circ}$,
∵ $OA = OB$, ∴ $OE\perp AB$,
$AE = EB = 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$,
∴ $AB = 2\sqrt{3}$,
∴ $\triangle ABC$ 的周长为 $6\sqrt{3}$ cm.

2. (2024 山西中考改)【提出概念】如图1,在六边形ABCDEF中,若$AB= BC= CD= DE= EF= FA,∠A= ∠C= ∠E,∠B= ∠D= ∠F$,且$∠A≠∠B$,则此六边形称为“等边半正六边形”.
【性质探索】根据定义,探索“等边半正六边形”的性质,得到如下结论:
(1)“等边半正六边形”相邻两个内角的和为____;
(2)如图2,六边形ABCDEF是“等边半正六边形”.连接对角线AD,猜想$∠BAD与∠FAD$的数量关系,并说明理由;
【延伸拓展】
(3)如图3,已知$\triangle ACE$是正三角形,$\odot O$是它的外接圆.请在图3中作一个“等边半正六边形”ABCDEF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).

解: (1) $240^{\circ}$;
(2) $\angle BAD=\angle FAD$.
理由如下: 连接 BD, FD.
∵ 六边形 ABCDEF 是“等边半正六边形”,
∴ $AB = BC = CD = DE = EF = FA$,
$\angle C=\angle E$,
∴ $\triangle BCD\cong\triangle FED$,
∴ $BD = FD$.
在 $\triangle ABD$ 与 $\triangle AFD$ 中,
$\begin{cases}AB = AF,\\BD = FD,\\AD = AD,\end{cases}$
∴ $\triangle BAD\cong\triangle FAD$,
∴ $\angle BAD=\angle FAD$;
(3) 如图, 六边形 ABCDEF 即为所求(答案不唯一).
作法一:

作法二: