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1. 如图,已知$\odot O及圆外一点P$.
(1)请用尺规作$\odot O的切线PA$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)请证明$PA是\odot O$的切线.
(1)请用尺规作$\odot O的切线PA$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)请证明$PA是\odot O$的切线.
答案
解:(1)如图,连接OP,以OP为直径作⊙O',交⊙O于点A,A',则PA,PA'为所求;
(2)连接OA,OA',
∵OP为⊙O'的直径，
∴∠OAP = ∠OA'P = 90°,
即OA⊥AP,OA'⊥A'P,
∴PA,PA'是⊙O的切线.
2. 如图,已知锐角$\triangle ABC$中,$AC = BC$.
(1)尺规作图:先作$\angle ACB的平分线CD$,再作$\triangle ABC的外接圆\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若$AB = 8$,$\odot O的半径为5$,求$AC$的长.
(1)尺规作图:先作$\angle ACB的平分线CD$,再作$\triangle ABC的外接圆\odot O$(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若$AB = 8$,$\odot O的半径为5$,求$AC$的长.
答案
解:(1)如图1,射线CD,⊙O即为所求.
(2)如图2,连接OA,设射线CD交AB于E.
∵CA = CB,CD平分∠ACB,
∴CD⊥AB,AE = EB = 4,
∴OE = √(OA² - AE²)
= √(5² - 4²)
= 3,
∴CE = OC + OE = 5 + 3 = 8,
∴AC = BC = √(AE² + EC²) = √(4² + 8²) = 4√5
3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD是BC$边上的高.
(1)尺规作图:作$\triangle ABC的外接圆\odot O$;
(2)若$AB = 3\sqrt{10}$,$BC = 6$,求$\odot O$的半径.
(1)尺规作图:作$\triangle ABC的外接圆\odot O$;
(2)若$AB = 3\sqrt{10}$,$BC = 6$,求$\odot O$的半径.
答案
解:(1)如图,作AC的垂直平分线交AD于点O,以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O,则⊙O为所求;
(2)连接OB.∵OD⊥BC,
∴BD = 1/2BC = 3,
∵AB = 3√10,
∴AD = √(AB² - BD²) = 9,
设OA = OB = R,则OD = 9 - R,
∵OB² = OD² + BD²,
∴R² = (9 - R)² + 3²,解得R = 5,
∴⊙O的半径为5.
