登录
1. 如图，$AC$、$BE$是$\odot O$的直径，弦$AD$与$BE$交于点$F$，连接$AB$、$AE$、$BD$、$CF$、$DE$。下列三角形中，外心不是点$O$的为()
A.$\triangle ABE$
B.$\triangle ACF$
C.$\triangle ABD$
D.$\triangle ADE$
A.$\triangle ABE$
B.$\triangle ACF$
C.$\triangle ABD$
D.$\triangle ADE$
答案
B
解析
外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点，若三角形三个顶点都在⊙O上，则外心为O。
A.△ABE：顶点A、B、E均在⊙O上，外心是O。
B.△ACF：顶点A、C在⊙O上（直径端点），F是AD与BE的交点（BE为直径），F不在⊙O上（F是弦与直径的交点，非圆上点），故外心不是O。
C.△ABD：顶点A、B、D均在⊙O上，外心是O。
D.△ADE：顶点A、D、E均在⊙O上，外心是O。
A.△ABE：顶点A、B、E均在⊙O上，外心是O。
B.△ACF：顶点A、C在⊙O上（直径端点），F是AD与BE的交点（BE为直径），F不在⊙O上（F是弦与直径的交点，非圆上点），故外心不是O。
C.△ABD：顶点A、B、D均在⊙O上，外心是O。
D.△ADE：顶点A、D、E均在⊙O上，外心是O。
2. 如图，$\triangle ABC$的外心的坐标是()
A.$(-1,-2)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-2,-1)$
D.$(-1,-1)$
A.$(-1,-2)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-2,-1)$
D.$(-1,-1)$
答案
D
解析
由图可知，A(0,2)，B(2,1)，C(2,-2)。分别作AB、BC的垂直平分线，AB中点为(1,1.5)，AB斜率为(1-2)/(2-0)=-1/2，其垂直平分线斜率为2，方程为y-1.5=2(x-1)，即y=2x-0.5；BC中点为(2,-0.5)，BC垂直平分线为水平线y=-0.5。联立两垂直平分线方程，解得x=-1，y=-1，即外心坐标(-1,-1)。
3. 已知直角三角形的两边长分别为$16$、$12$，则此三角形的外接圆的半径为。
答案
$10$或$8$（若原题是填空题，若有选项则按规则选，若以本题形式则直接写结果）
解析
由直角三角形的外接圆的性质可知，直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，半径为斜边的一半。
当$16$和$12$为直角边时，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{16^{2} + 12^{2}}=\sqrt{256 + 144}=\sqrt{400}=20$，则外接圆半径为$\frac{20}{2}=10$；
当$16$为斜边时，外接圆半径为$\frac{16}{2}=8$。
当$16$和$12$为直角边时，由勾股定理可得斜边长为$\sqrt{16^{2} + 12^{2}}=\sqrt{256 + 144}=\sqrt{400}=20$，则外接圆半径为$\frac{20}{2}=10$；
当$16$为斜边时，外接圆半径为$\frac{16}{2}=8$。
4. (2025·昆山期末)如图，在$8×8$的正方形网格中，点$A$、$B$、$C$、$P$、$Q$、$M$、$N$都在格点上(正方形的顶点即格点)。若$\odot O$是以$A$、$B$、$C$为顶点的三角形的外接圆，则点$P$、$Q$、$M$、$N$中，在$\odot O$上的是点。
答案
Q
解析
1. 建立坐标系，设小正方形边长为1，确定A、B、C坐标（假设A(2,5)，B(1,4)，C(5,4)）；2. 求△ABC外心O：BC中点(3,4)，垂直平分线x=3；AB中点(1.5,4.5)，AB斜率1，垂直平分线斜率-1，方程y=-x+6，与x=3交于O(3,3)；3. 半径OA=√[(3-2)²+(3-5)²]=√5；4. 计算各点到O距离：Q(4,5)到O距离√[(4-3)²+(5-3)²]=√5=OA，故Q在⊙O上。
5. 如图，$AD$既是$\triangle ABC$的中线，又是$\angle BAC$的平分线。
(1) 判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
(2) 判断$AD$是否过$\triangle ABC$的外接圆的圆心，并证明你的结论。
(1) 判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
(2) 判断$AD$是否过$\triangle ABC$的外接圆的圆心，并证明你的结论。
答案
(1) △ABC是等腰三角形。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE。∵AD是中线，∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，$\left\{\begin{array}{l}AD=ED\\ \angle ADC=\angle EDB\\ CD=BD\end{array}\right.$，∴△ADC≌△EDB(SAS)。∴AC=BE，∠CAD=∠E。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠E。∴AB=BE(等角对等边)，∴AB=AC，故△ABC是等腰三角形。
(2) AD过△ABC的外接圆的圆心。证明：∵AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)，即AD垂直平分BC。∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，BC的垂直平分线为AD，∴△ABC的外接圆圆心在AD上，即AD过△ABC的外接圆的圆心。
(2) AD过△ABC的外接圆的圆心。证明：∵AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)，即AD垂直平分BC。∵三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，BC的垂直平分线为AD，∴△ABC的外接圆圆心在AD上，即AD过△ABC的外接圆的圆心。
6. 已知点$A$、$B$，且$AB ＜ 4$，则经过$A$、$B$两点且半径为$2$的圆有()
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.无数个
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.无数个
答案
C
解析
经过A、B两点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上。设AB=d（d＜4），AB中点为M，则AM=d/2。设圆心为O，半径OA=2，在Rt△OAM中，OM²=OA²-AM²=4-(d/2)²。因d＜4，故4-(d/2)²＞0，OM有两个非零值（AB上下方各一个），即圆心有2个，所以圆有2个。
7. (2023·江西)如图，点$A$、$B$、$C$、$D$均在直线$l$上，点$P$在直线$l$外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
D
解析
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，题中A、B、C、D共线于直线l，P在直线l外。从5个点中选3个点，共线的组合（仅含A、B、C、D中三点）有4种，不能确定圆；含P的组合（P与A、B、C、D中任意两点）共C(4,2)=6种，均不共线，可确定6个圆。
