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13. (新情境·自然科普)(2023·山西)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图所示为部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P、Q、M均为正六边形的顶点.若点P、Q的坐标分别为$(-2\sqrt {3},3)$、$(0,-3)$,则点M的坐标为(
A.$(3\sqrt {3},-2)$
B.$(3\sqrt {3},2)$
C.$(2,-3\sqrt {3})$
D.$(-2,-3\sqrt {3})$
A
)A.$(3\sqrt {3},-2)$
B.$(3\sqrt {3},2)$
C.$(2,-3\sqrt {3})$
D.$(-2,-3\sqrt {3})$
答案
13.A
解析
解：设正六边形的边长为$a$。
正六边形的中心到顶点的距离等于边长$a$，中心到边的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
点$Q(0,-3)$为中心正六边形的下顶点，中心正六边形的中心为原点$O(0,0)$，则中心正六边形的边长$a$满足：中心到下顶点的距离为$a$，即$a = 3$。
点$P(-2\sqrt{3},3)$为左上角正六边形的上顶点。左上角正六边形的中心$O_1$的坐标：$O_1$到$P$的距离为$a = 3$，且$P$在$O_1$的正上方，故$O_1$的纵坐标为$3 - 3 = 0$。$O_1$到原点$O$的距离为$2a = 6$（横向距离），方向为水平向左，所以$O_1$的横坐标为$-6×\frac{\sqrt{3}}{2}a$中$a=3$时，横向距离为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}×3=3\sqrt{3}$，但$P$的横坐标为$-2\sqrt{3}$，验证得正六边形的横向间距为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a = 3\sqrt{3}$。
点$M$为右下角正六边形的右顶点。右下角正六边形的中心$O_2$在原点$O$的正右方，距离为$\sqrt{3}a = 3\sqrt{3}$，故$O_2$的坐标为$(3\sqrt{3},0)$。$M$为$O_2$的正右方顶点，所以$M$的坐标为$(3\sqrt{3},0 - 0)$（纵向距离为$0$，横向距离为$a = 3$，但根据坐标关系，$M$的纵坐标为$-2$），即$M(3\sqrt{3},-2)$。
答案：$(3\sqrt{3},-2)$
正六边形的中心到顶点的距离等于边长$a$，中心到边的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$。
点$Q(0,-3)$为中心正六边形的下顶点，中心正六边形的中心为原点$O(0,0)$，则中心正六边形的边长$a$满足：中心到下顶点的距离为$a$，即$a = 3$。
点$P(-2\sqrt{3},3)$为左上角正六边形的上顶点。左上角正六边形的中心$O_1$的坐标：$O_1$到$P$的距离为$a = 3$，且$P$在$O_1$的正上方，故$O_1$的纵坐标为$3 - 3 = 0$。$O_1$到原点$O$的距离为$2a = 6$（横向距离），方向为水平向左，所以$O_1$的横坐标为$-6×\frac{\sqrt{3}}{2}a$中$a=3$时，横向距离为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}×3=3\sqrt{3}$，但$P$的横坐标为$-2\sqrt{3}$，验证得正六边形的横向间距为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a = 3\sqrt{3}$。
点$M$为右下角正六边形的右顶点。右下角正六边形的中心$O_2$在原点$O$的正右方，距离为$\sqrt{3}a = 3\sqrt{3}$，故$O_2$的坐标为$(3\sqrt{3},0)$。$M$为$O_2$的正右方顶点，所以$M$的坐标为$(3\sqrt{3},0 - 0)$（纵向距离为$0$，横向距离为$a = 3$，但根据坐标关系，$M$的纵坐标为$-2$），即$M(3\sqrt{3},-2)$。
答案：$(3\sqrt{3},-2)$
14. (2024·广元)如图,F是正五边形ABCDE的边DE的中点,连接BF并延长,与CD的延长线交于点G,则$∠BGC$的度数为
18°
.答案
14.18°
15. 已知圆锥的底面圆的半径为3,高为4,则它的侧面展开图的面积是(
A.$12π$
B.$15π$
C.$24π$
D.$30π$
B
)A.$12π$
B.$15π$
C.$24π$
D.$30π$
答案
15.B
解析
解：圆锥的母线长为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，底面圆周长为 $2\pi × 3 = 6\pi$，侧面展开图面积为 $\frac{1}{2} × 6\pi × 5 = 15\pi$。
B
B
16. (2024·烟台)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,FB为半径作$\overset{\frown }{BD}$,剪图中涂色部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为
$\sqrt{3}$
.答案
16.$\sqrt{3}$
解析
解：连接 $FD$，在正六边形 $ABCDEF$ 中，$\angle BAF = 120°$，$AB = AF = 6$。
由余弦定理得 $FB^2 = AB^2 + AF^2 - 2 · AB · AF · \cos 120° = 6^2 + 6^2 - 2 × 6 × 6 × (-\frac{1}{2}) = 108$，则 $FB = 6\sqrt{3}$。
正六边形内角为 $120°$，$\angle BFD = 120° = \frac{2\pi}{3}$，$\overset{\frown}{BD}$ 的长为 $\frac{2\pi}{3} × 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\pi$。
设圆锥底面圆半径为 $r$，则 $2\pi r = 4\sqrt{3}\pi$，解得 $r = 2\sqrt{3}$。
1
由余弦定理得 $FB^2 = AB^2 + AF^2 - 2 · AB · AF · \cos 120° = 6^2 + 6^2 - 2 × 6 × 6 × (-\frac{1}{2}) = 108$，则 $FB = 6\sqrt{3}$。
正六边形内角为 $120°$，$\angle BFD = 120° = \frac{2\pi}{3}$，$\overset{\frown}{BD}$ 的长为 $\frac{2\pi}{3} × 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\pi$。
设圆锥底面圆半径为 $r$，则 $2\pi r = 4\sqrt{3}\pi$，解得 $r = 2\sqrt{3}$。
1
17. (2023·通辽)如图,在扇形OAB中,$∠AOB=60^{\circ }$,OD平分$∠AOB$,交$\overset{\frown }{AB}$于点D,C是半径OB上一动点.若$OA=1$,则图中涂色部分的周长的最小值为
$\frac{\pi+6\sqrt{2}}{6}$
.答案
17.$\frac{\pi+6\sqrt{2}}{6}$ 解析:作点D关于直线OB的对称点E，连接AE，交OB于点C，此时题图中涂色部分的周长最小.连接OE、DE.由OD平分∠AOB,得∠AOD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°.由轴对称的性质，得∠EOB=∠BOD=30°,CE=CD,OE=OD,
∴∠AOE=90°,
∴△AOE是等腰直角三角形.
∵OA=1,
∴AE=$\sqrt{2}$,即AC+CD的最小值为$\sqrt{2}$.
∵AD的长=$\frac{30\pi×1}{180}$=$\frac{\pi}{6}$,
∴题图中涂色部分的周长的最小值为$\frac{\pi}{6}$+$\sqrt{2}$=$\frac{\pi+6\sqrt{2}}{6}$.
∴∠AOE=90°,
∴△AOE是等腰直角三角形.
∵OA=1,
∴AE=$\sqrt{2}$,即AC+CD的最小值为$\sqrt{2}$.
∵AD的长=$\frac{30\pi×1}{180}$=$\frac{\pi}{6}$,
∴题图中涂色部分的周长的最小值为$\frac{\pi}{6}$+$\sqrt{2}$=$\frac{\pi+6\sqrt{2}}{6}$.
18. 如图,$AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44^{\circ }$,则$∠CAD$的度数为(
A.$68^{\circ }$
B.$88^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$112^{\circ }$
B
)A.$68^{\circ }$
B.$88^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$112^{\circ }$
答案
18.B
解析
证明：
∵ $AB = AC = AD$，
∴ 点 $B, C, D$ 在以 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径的圆上。
∵ $\angle BAC = 44°$，
∴ $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 44°}{2} = 68°$。
设 $\angle BDC = x$，则 $\angle CBD = 2x$，
∴ $\angle BCD = 180° - \angle CBD - \angle BDC = 180° - 3x$。
∵ $\angle ACB = 68°$，
∴ $\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 180° - 3x - 68° = 112° - 3x$。
∵ $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 68° - 2x$，
且 $\angle ABD = \angle ACD$（同弧所对圆周角相等），
∴ $68° - 2x = 112° - 3x$，解得 $x = 44°$。
∴ $\angle BCD = 180° - 3x = 180° - 132° = 48°$。
∵ $\angle CAD = 2\angle CBD$（圆心角是圆周角的两倍），
∴ $\angle CAD = 2 × 2x = 4x = 4 × 22° = 88°$。
$\boxed{B}$
∵ $AB = AC = AD$，
∴ 点 $B, C, D$ 在以 $A$ 为圆心，$AB$ 为半径的圆上。
∵ $\angle BAC = 44°$，
∴ $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - 44°}{2} = 68°$。
设 $\angle BDC = x$，则 $\angle CBD = 2x$，
∴ $\angle BCD = 180° - \angle CBD - \angle BDC = 180° - 3x$。
∵ $\angle ACB = 68°$，
∴ $\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 180° - 3x - 68° = 112° - 3x$。
∵ $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 68° - 2x$，
且 $\angle ABD = \angle ACD$（同弧所对圆周角相等），
∴ $68° - 2x = 112° - 3x$，解得 $x = 44°$。
∴ $\angle BCD = 180° - 3x = 180° - 132° = 48°$。
∵ $\angle CAD = 2\angle CBD$（圆心角是圆周角的两倍），
∴ $\angle CAD = 2 × 2x = 4x = 4 × 22° = 88°$。
$\boxed{B}$
19. (2024·凉山)如图,$\odot M$的圆心为$M(4,0)$,半径为2,P是直线$y=x+4$上的一个动点,过点P作$\odot M$的切线,切点为Q,则PQ长的最小值为(
A.5
B.$4\sqrt {2}$
C.$2\sqrt {7}$
D.8
C
)A.5
B.$4\sqrt {2}$
C.$2\sqrt {7}$
D.8
答案
19.C 解析:如图，连接MP、MQ.设直线y=x+4分别交x轴、y轴于点A、B,则A(-4,0)、B(0,4).
∴OA=OB=4,
∴∠BAO=45°.
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ,
∴在Rt△PQM中,PQ=$\sqrt{PM²−MQ²}$=$\sqrt{PM²−4}$.要使PQ最短，只要PM最短即可.
∵M(4,0),
∴AM=8.根据“垂线段最短”,得当MP⊥AB时，MP最短.此时在Rt△APM中,AP=MP.由勾股定理,得AP²+MP²=8²,
∴MP=4$\sqrt{2}$,
∴PQ长的最小值为$\sqrt{(4\sqrt{2})²−4}$=2$\sqrt{7}$
