20. 如图,AB是$\odot O$的弦,$OC⊥AB$,垂足为C,$OD// AB$,交$\odot O$于点D,$OD=2OC$,则$∠ABD$的度数为.

20.105° 解析:连接OB，取OB的中点E，连接CE.
∵OD=2OC,OB=OD,
∴OC=$\frac{1}{2}$OB.
∵OC⊥AB,
∴在Rt△OCB中,CE=$\frac{1}{2}$OB,
∴CE=OC=OE,
∴△OCE为等边三角形,
∴∠COB=60°,
∴在Rt△OCB中,∠CBO=30°.
∵OD//AB,
∴∠BOD=∠CBO=30°.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB=75°,
∴∠ABD=∠CBO+∠OBD=105°.

21. (整体思想)(2024·资阳)如图,在矩形ABCD中,$AB=4,AD=2$.以点A为圆心,AD为半径作弧交AB于点E,再以AB为直径作半圆,与$\overset{\frown }{DE}$交于点F,则图中涂色部分的面积为.

21.$\sqrt{3}$+$\frac{2\pi}{3}$

22. (新考向·传统文化)如图,我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.若$Rt\triangle ABC$的内切圆的半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为.

22.289 解析:由直角三角形内切圆半径的计算，可得$\frac{AC+BC−AB}{2}$=3,
∴AC+BC−AB=6,即AC+BC=AB+6.两边平方，得(AC+BC)²=(AB+6)².
∴BC²+AC²+2BC·AC=AB²+12AB+36.
∵BC²+AC²=AB²①,
∴2BC·AC=12AB+36②.
∵小正方形的面积为49，
∴(BC−AC)²=49,即BC²+AC²−2BC·AC=49③.把①②代入③,得AB²−12AB−85=0,解得AB=17(负值舍去).
∴大正方形的面积为17²=289.

23. (分类讨论思想)(2024·江西)如图,AB是$\odot O$的直径,$AB=2$,点C在线段AB上运动,过点C的弦$DE⊥AB$,将$\overset{\frown }{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F.当DE的长为正整数时,线段FB的长为.

23.2−$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$或2 解析:
∵⊙O的直径AB=2,弦DE的长为正整数，
∴DE=1或2.情况1:当DE=1,且DE在点O的右侧时，如图①,连接OD,则OD=OB=$\frac{1}{2}$AB=1.
∵AB是⊙O的直径,DE⊥AB,
∴DC=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$,
∴在Rt△DCO中,OC=$\sqrt{1²−(\frac{1}{2})²}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵DE是折痕,
∴FB=2BC=2×(1−$\frac{\sqrt{3}}{2}$)=2−$\sqrt{3}$.情况2:当DE=1,且DE在点O的左侧时,如图②,同理可求得OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵DE是折痕,
∴FB=2BC=2×(1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$)=2+$\sqrt{3}$.情况3:当DE=2,如图③,DE是⊙O的直径，此时点A与点F重合，FB=AB=2.综上所述，线段FB的长为2−$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$或2.

24. 如图,$\odot O$的半径为3 cm,B为$\odot O$外一点,OB交$\odot O$于点A,$AB=OA$,动点P从点A出发,以$π$ cm/s的速度在$\odot O$上按逆时针方向运动一周回到点A后停止.当点P运动的时间为s时,直线BP与$\odot O$相切.

24.1或5 解析:当点P在OB的上方时，运动的时间为$\frac{60\pi×3}{180}$÷π=1(s);当点P在OB的下方时，运动的时间为$\frac{(360−60)\pi×3}{180}$÷π=5(s).

解：
∵$\odot O$的半径为$3\ cm$，$AB=OA$，
∴$OA=OP=3\ cm$，$OB=OA+AB=6\ cm$.
情况1：点P在OB上方时
∵BP与$\odot O$相切，
∴$OP\perp BP$，
在$ Rt\triangle OPB$中，$\sin\angle OBP=\frac{OP}{OB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴$\angle POB=60°$，
点P运动的弧长为$\frac{60\pi×3}{180}=\pi\ cm$，
运动时间为$\frac{\pi}{\pi}=1\ s$.
情况2：点P在OB下方时
同理可得优弧$AP$的圆心角为$360°-60°=300°$，
弧长为$\frac{300\pi×3}{180}=5\pi\ cm$，
运动时间为$\frac{5\pi}{\pi}=5\ s$.
综上，时间为$1$或$5\ s$.
答案：$1$或$5$

25. 如图,$\odot O$的半径为1,A、P、B、C是$\odot O$上的四个点,$∠APC=∠CPB=60^{\circ }$.
(1) $\triangle ABC$的形状是.
(2) 试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明你的结论.
(3) 当点P位于$\overset{\frown }{AB}$的什么位置时,四边形APBC的面积最大? 请求出最大面积.

25.(1)等边三角形
(2)PC=PA+PB 如图①,在PC上截取PD=PA,连接AD.
∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,
∴∠ADC=120°.
∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠APB=∠APC+∠CPB=120°,
∴∠ADC=∠APB.在△APB和△ADC中，∠ABP=∠ACD，∠APB=∠ADC，
∴△APB≌△ADC,
∴PB=DC.又
∵AP=AD，
∴PC=PD+DC=PA+PB
(3)当P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大 如图②,过点P作PE⊥AB,垂足为E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.
∵S△APB=$\frac{1}{2}$AB·PE,S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·CF,
∴S四边形APBC=$\frac{1}{2}$AB·(PE+CF).当P为AB的中点时,AP=BP,
∴E为AB的中点.
∵△ABC是⊙O的内接正三角形,
∴CA=CB,
∴F为AB的中点.又
∵∠AEP+∠AFC=180°,
∴点E与点F重合,点P、E、C共线,
∴PE+CF=PC,且PC为⊙O的直径,
∴此时四边形APBC的面积最大.又
∵⊙O的半径为1,
∴易得其内接正三角形的边长AB=$\sqrt{3}$,
∴四边形APBC的最大面积为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2=$\sqrt{3}$