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8. 如图,AB是$\odot O$的直径,C为$\overset{\frown }{BD}$的中点,CF为$\odot O$的弦,且$CF⊥AB$,垂足为E,连接BD,交CF于点G,连接CD、AD、BF.
(1) 求证:$\triangle BFG\cong \triangle CDG$;
(2) 若$AD=BE=2$,求BF的长.
(1) 求证:$\triangle BFG\cong \triangle CDG$;
(2) 若$AD=BE=2$,求BF的长.
答案
8.(1)
∵C是BD的中点，
∴CD=BC.
∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB,
∴BC=BF,
∴CD=BF.
∵BC=BC，
∴∠F=∠CDG.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC，∠F=∠CDG，
∴△BFG≌△CDG
(2)连接OF,设⊙O的半径为r.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ADB中,BD²=AB²−AD²,即BD²=(2r)²−2².
∵CF⊥AB,
∴CF=2EF.在Rt△OEF中,OF²=OE²+EF²,即EF²=r²−(r−2)².
∵CD=BC=BF,
∴BD=CF,
∴BD²=CF²=(2EF)²=4EF²,即(2r)²−2²=4[r²−(r−2)²],解得r₁=1(不合题意，舍去),r₂=3.
∴在Rt△EFB中,BF²=EF²+BE²=3²−(3−2)²+2²=12,
∴BF=2$\sqrt{3}$
∵C是BD的中点，
∴CD=BC.
∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB,
∴BC=BF,
∴CD=BF.
∵BC=BC，
∴∠F=∠CDG.在△BFG和△CDG中，∠FGB=∠DGC，∠F=∠CDG，
∴△BFG≌△CDG
(2)连接OF,设⊙O的半径为r.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°,
∴在Rt△ADB中,BD²=AB²−AD²,即BD²=(2r)²−2².
∵CF⊥AB,
∴CF=2EF.在Rt△OEF中,OF²=OE²+EF²,即EF²=r²−(r−2)².
∵CD=BC=BF,
∴BD=CF,
∴BD²=CF²=(2EF)²=4EF²,即(2r)²−2²=4[r²−(r−2)²],解得r₁=1(不合题意，舍去),r₂=3.
∴在Rt△EFB中,BF²=EF²+BE²=3²−(3−2)²+2²=12,
∴BF=2$\sqrt{3}$
9. (2023·重庆B卷)如图,AB为$\odot O$的直径,直线CD与$\odot O$相切于点C,连接AC.若$∠ACD=50^{\circ }$,则$∠BAC$的度数为(
A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
B
)A.$30^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
9.B
解析
证明：连接OC。
∵CD是$\odot O$的切线，
∴$OC\perp CD$，即$\angle OCD=90°$。
∵$\angle ACD=50°$，
∴$\angle OCA=\angle OCD-\angle ACD=90°-50°=40°$。
∵OA=OC，
∴$\angle BAC=\angle OCA=40°$。
答案：B
∵CD是$\odot O$的切线，
∴$OC\perp CD$，即$\angle OCD=90°$。
∵$\angle ACD=50°$，
∴$\angle OCA=\angle OCD-\angle ACD=90°-50°=40°$。
∵OA=OC，
∴$\angle BAC=\angle OCA=40°$。
答案：B
10. 如图,在矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的$\odot O$与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法:①AC与BD的交点是$\odot O$的圆心;②AF与DE的交点是$\odot O$的圆心;③BC与$\odot O$相切.其中,正确的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
10.C
解析
证明：
① 假设AC与BD交点为O'，矩形对角线互相平分，O'为AC、BD中点。若O'为圆心，则OA=OD=OG。设AD=2a，AB=2b，坐标法：A(0,0), D(2a,0), B(0,2b), C(2a,2b), G(a,2b)。OA=√(a²+b²), OD=√(a²+b²), OG=√(a²+b²)，则OA=OD=OG，①正确。
② 设AF与DE交于O''，AF:y=(2b)/(2a)x=(b/a)x，DE:y=(-b/a)(x-2a)。联立得O''(a,b)，即O'，故②正确。
③ 圆心O(a,b)，BC方程x=2a，圆心到BC距离d=|2a - a|=a，半径r=√(a²+b²)。若b≠0，则d=a ＜ r，BC与⊙O相交，③错误。
综上，①②正确，个数为2。
答案：C
① 假设AC与BD交点为O'，矩形对角线互相平分，O'为AC、BD中点。若O'为圆心，则OA=OD=OG。设AD=2a，AB=2b，坐标法：A(0,0), D(2a,0), B(0,2b), C(2a,2b), G(a,2b)。OA=√(a²+b²), OD=√(a²+b²), OG=√(a²+b²)，则OA=OD=OG，①正确。
② 设AF与DE交于O''，AF:y=(2b)/(2a)x=(b/a)x，DE:y=(-b/a)(x-2a)。联立得O''(a,b)，即O'，故②正确。
③ 圆心O(a,b)，BC方程x=2a，圆心到BC距离d=|2a - a|=a，半径r=√(a²+b²)。若b≠0，则d=a ＜ r，BC与⊙O相交，③错误。
综上，①②正确，个数为2。
答案：C
11. 如图,在扇形ABC中,$CD⊥AB$,垂足为D,$\odot E$是$\triangle ACD$的内切圆,连接AE、BE,则$∠AEB$的度数为
135°
.答案
11.135° 解析:连接EC.由点E是△ACD的内心，可得∠AEC=90°+$\frac{1}{2}$∠ADC=135°.证△EAB≌△EAC,得∠AEB=∠AEC=135°.
解析
解：连接EC。
∵E是△ACD的内心，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CAD，∠ECA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠EAC+∠ECA=$\frac{1}{2}$(∠CAD+∠ACD)=45°，
∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=135°。
∵扇形ABC，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，∠CAB=∠CBA。
∵E是△ACD的内心，
∴AE平分∠CAD，即∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
同理∠EBD=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠EAD=∠EBD。
在△EAD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠EAD=∠EBD\\AE=AE\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EBD(SAS)，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=2∠AED。
又
∵∠AEC=135°，∠AED=∠AEC-∠DEC，∠DEC=∠DEB，
∴∠AEB=∠AEC=135°。
135°
∵E是△ACD的内心，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CAD，∠ECA=$\frac{1}{2}$∠ACD。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠EAC+∠ECA=$\frac{1}{2}$(∠CAD+∠ACD)=45°，
∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=135°。
∵扇形ABC，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，∠CAB=∠CBA。
∵E是△ACD的内心，
∴AE平分∠CAD，即∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
同理∠EBD=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠EAD=∠EBD。
在△EAD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\∠EAD=∠EBD\\AE=AE\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EBD(SAS)，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=2∠AED。
又
∵∠AEC=135°，∠AED=∠AEC-∠DEC，∠DEC=∠DEB，
∴∠AEB=∠AEC=135°。
135°
12. (2024·济宁)如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,D是BC上一点,$AD=AC$.E是$\odot O$外一点,$∠BAE=∠CAD,∠ADE=∠ACB$,连接BE.
(1) 若$AB=8$,求AE的长;
(2) 求证:EB是$\odot O$的切线.
(1) 若$AB=8$,求AE的长;
(2) 求证:EB是$\odot O$的切线.
答案
12.(1)
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD,即∠EAD=∠BAC.又
∵∠ADE=∠ACB,AD=AC,
∴△ADE≌△ACB,
∴AE=AB.
∵AB=8,
∴AE=8
(2)如图，连接BO并延长交⊙O于点F，连接AF.
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°,
∴在Rt△BAF中,∠AFB+∠ABF=90°.
∵AB=AB,
∴∠AFB=∠ACB,
∴∠ACB+∠ABF=90°.
∵AD=AC,
∴∠ACB=∠ADC,
∴在△ADC中,2∠ACB+∠CAD=180°.由(1)知,AE=AB,
∴∠AEB=∠ABE,
∴在△ABE中,2∠ABE+∠BAE=180°.
∵∠BAE=∠CAD,
∴∠ACB=∠ABE,
∴∠ABE+∠ABF=90°,即∠OBE=90°,
∴OB为⊙O的半径，
∴EB是⊙O的切线
