1.(常州中考)如图①,小丽借助几何软件进行数学探究:第一步,画出矩形ABCD和矩形EFGH,点E,F在边AB上(EF＜AB),且点C,D,G,H在直线AB的同侧;第二步,设$\frac{AB}{AD}=m$,$\frac{EF}{EH}=n$,矩形EFGH能在边AB上左右滑动;第三步,画出边EF的中点O,射线OH与射线AD相交于点P(点P,D不重合),射线OG与射线BC相交于点Q(点Q,C不重合),观测DP,CQ的长度.
(1)如图②,小丽取AB=4,EF=3,m=1,n=3,滑动矩形EFGH,当点E,A重合时,CQ=.
(2)小丽滑动矩形EFGH,使得O恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n,DP=CQ总成立.请说明理由.
(3)经过数次操作,小丽猜想,设定m,n的某种数量关系后,滑动矩形EFGH,DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确?请说明理由.

1. (1) $\frac{7}{3}$ 解析:$\because AB=4,EF=3,m=1,n=3$,且$\frac{AB}{AD}=m,\frac{EF}{EH}=n$,$\therefore AD=4,EH=1$.又$\because$ 四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形,$\therefore BC=AD=4,FG=EH=1$.$\because$ 点O是EF的中点,$\therefore OE=OF=\frac{3}{2},OB=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$.$\because ∠ GFO=∠ B=90°$,$∠ GOF=∠ QOB$,$\therefore △ OFG ∽ △ OBQ$,$\therefore \frac{FG}{BQ}=\frac{OF}{OB}$,解得$BQ=\frac{5}{3}$,$\therefore CQ=CB-BQ=\frac{7}{3}$.
(2) 如图①,$\because$ 点O为AB中点且点O为EF中点,$\therefore OA=OB,OE=OF$.$\because$ 四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形,$\therefore HE=GF,AD=CB$,且$∠ B=∠ GFO=∠ HEO=∠ A=90°$,$\therefore \frac{HE}{PA}=\frac{OE}{OA},\frac{GF}{BQ}=\frac{OF}{OB}$.$\because OA=OB,OE=OF$且$HE=GF$,$\therefore PA=BQ$.又$\because AD=BC$,$\therefore DP=CQ$.
一题多解 如图①,$\because$ 点O为AB中点且点O为EF中点,$\therefore OA=OB,OE=OF$.$\because$ 四边形ABCD和四边形EFGH都是矩形,$\therefore HE=GF,AD=CB$,且$∠ B=∠ GFO=∠ HEO=∠ A=90°$,$\therefore △ OGF ≌ △ OHE (\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ HOE=∠ GOF$,$\therefore △ OAP ≌ △ OBQ (\mathrm{ASA})$,$\therefore AP=BQ$.$\because AD=BC$,$\therefore DP=CQ$.
(3) 小丽的猜想正确,当$m=n$时,滑动矩形EFGH,$DP=CQ$总成立.理由如下:如图②,延长OP交直线CD于点M,设OQ与边CD交于点N,过点M作$MK ⊥ AB$所在直线于点K,过点N作$NJ ⊥ AB$于点J.由矩形的性质可得$MK=DA=NJ,HE=GF$.设$AD=a,HE=b$,则当$m=n$时,$AB=am$,$EF=bn=bm$.$\because O$是EF的中点,$\therefore EO=OF=\frac{bm}{2}$.$\because ∠ MKA=∠ HEO=∠ GFO=∠ NJO=90°$,$\therefore \frac{HE}{MK}=\frac{OE}{OK},\frac{GF}{NJ}=\frac{OF}{OJ}$,$\therefore \frac{b}{a}=\frac{\frac{bm}{2}}{OK},\frac{b}{a}=\frac{\frac{bm}{2}}{OJ}$,$\therefore OK=OJ=\frac{am}{2}=\frac{AB}{2}$,$\therefore KJ=AB$,$\therefore KA=JB$.由矩形的性质可得$DM=NC$.$\because OE=OF,HE=GF,∠ HEO=∠ GFO$,$\therefore △ OEH ≌ △ OFG$,$\therefore ∠ HOE=∠ GOF$.$\because AB // CD$,$\therefore ∠ 1=∠ HOE$,$∠ 2=∠ GOF$,$\therefore ∠ 1=∠ 2=∠ QNC$.又$\because ∠ QCN=∠ PDM=90°$且$NC=MD$,$\therefore △ NCQ ≌ △ MDP$,$\therefore DP=CQ$.
难点突破 要使得$DP=CQ$恒成立,则点P和点Q应分别在直线CD的上方和下方,则解题的核心思路为证明$△ NCQ$和$△ MDP$全等,可以依靠前两问的思路通过相似三角形得出所需条件.

2. (2026·泰州模拟)将一张边长为8的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,折痕与AD,BC分别交于点M,N,继续进行折纸实验.
【尝试与感悟】
(1)如图①,将纸片沿过点B的直线折叠,使得点A落在MN上的点A'处,此时折痕与AD交于点Q,则∠ABA'=°.
(2)如图②,折叠正方形纸片ABCD,使得点A落在点N处,点D落在点H处,NH与CD交于点G,此时折痕分别交AB,CD于点E,F,求BE的长.
【拓展与延伸】
(3)在图②的折叠过程中,有同学猜想点G是CD的三等分点,这个猜想正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请求出$\frac{DG}{CD}$的值.

2. (1) 30 解析:$\because$ 将一张边长为8的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,折痕与AD,BC分别交于点M,N,$\therefore MN ⊥ BC,BN=\frac{1}{2}BC=4$,$\therefore ∠ ABN+∠ BNM=90°+90°=180°$,$\therefore MN // AB$,$\therefore ∠ ABA'=∠ NA'B$.$\because$ 将纸片沿过点B的直线折叠,使得点A落在MN上的点A'处,$\therefore A'B=AB=8$,$\therefore \sin ∠ NA'B=\frac{BN}{A'B}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$,$\therefore ∠ NA'B=30°$,$\therefore ∠ ABA'=∠ NA'B=30°$.
(2) 设$BE=x$,由折叠可知$EN=AE=8-x$,$BN=NC=\frac{1}{2}BC=4$,在$\mathrm{Rt}△ BEN$中,$EN^2=BE^2+BN^2$,$\therefore (8-x)^2=x^2+4^2$,解得$x=3$,$\therefore BE=3$.
(3) 猜想正确,理由如下:在正方形ABCD中,$∠ A=∠ B=∠ C=90°$,$\therefore ∠ BEN+∠ BNE=90°$.由折叠可知$∠ A=∠ ENH=90°$,$\therefore ∠ CNG+∠ BNE=90°$,$\therefore ∠ BEN=∠ CNG$,$\therefore △ BEN ∽ △ CNG$,$\therefore \frac{BE}{CN}=\frac{BN}{CG}$,即$\frac{3}{4}=\frac{4}{CG}$,解得$CG=\frac{16}{3}$,$\therefore DG=\frac{8}{3}$,$\therefore \frac{DG}{DC}=\frac{1}{3}$,即点G是CD的三等分点.
归纳总结 折叠是中考高频考点,常连接折叠前后的线段以制造一定的难度.折叠问题的突破口往往是全等三角形、折叠所形成的等腰三角形、折叠后边角的相等关系以及折痕与对应点连线的垂直关系等.有时候这些关系不容易找出,需要作适当的辅助线.