3. (2025·吉林中考)【问题背景】在学习了平行四边形后,某数学兴趣小组研究了有一个内角为$60°$的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下:
【探究发现】如图①,在平行四边形ABCD中,$∠ A=60°$,$AB＞AD$,E为边AD的中点,点F在边DC上,且$DF=DE$,连接EF,将$△ DEF$沿EF翻折得到$△ GEF$,点D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形,请判断该四边形的形状,不需要说明理由.
【探究证明】取图①中的边BC的中点M,点N在边AB上,且$BN=BM$,连接MN,将$△ BMN$沿MN翻折得到$△ HMN$,点B的对称点为点H.连接FH,GN,如图②.求证:四边形GFHN是平行四边形.
【探究提升】在图②中,四边形GFHN能否成为轴对称图形.如果能,写出$\frac{AD}{AB}$的值;如果不能,请说明理由.

3. 【探究发现】四边形DEGF是菱形. 解析:$\because$ 将$△ DEF$沿EF翻折得到$△ GEF$,$\therefore DE=GE,DF=GF$.$\because DF=DE$,$\therefore GE=DE=DF=GF$,$\therefore$ 四边形DEGF是菱形.
【探究证明】$\because$ 将$△ BMN$沿MN翻折得到$△ HMN$,$\therefore BN=HN,BM=HM$.$\because BN=BM$,$\therefore HN=BN=BM=HM$,$\therefore$ 四边形BMHN是菱形,$\therefore NH // BC$.$\because E$为边AD的中点,M为边BC的中点,$\therefore DE=\frac{1}{2}AD,BM=\frac{1}{2}BC$.$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AD=BC,AD // BC$,$\therefore DE=BM,AD // NH$.$\because$ 四边形DEGF是菱形,$\therefore DE=FG,FG // AD$,$\therefore FG=HN,FG // NH$,$\therefore$ 四边形GFHN是平行四边形.
【探究提升】四边形GFHN能成为轴对称图形.由【探究证明】知,四边形GFHN是平行四边形,若四边形GFHN为轴对称图形,则四边形GFHN是矩形或菱形.当四边形GFHN是矩形时,过点G作$GK ⊥ AB$于K,过点E作$ET ⊥ AB$于T,如图①,$\because ∠ A=60°$,$\therefore ∠ AET=30°$,$\therefore AT=\frac{1}{2}AE$.设$AT=x$,则$AE=2x$,$\therefore ET=\sqrt{AE^2-AT^2}=\sqrt{3}x=GK$.$\because E$为AD的中点,$\therefore AD=2AE=4x$,$DE=AE=2x$.$\because$ 四边形DEGF是菱形,$\therefore EG=DE=2x=TK$.$\because$ 四边形GFHN是矩形,$\therefore ∠ GNH=90°$.$\because AD // NH$,$∠ A=60°$,$\therefore ∠ HNB=∠ A=60°$,$\therefore ∠ GNK=180°-∠ GNH-∠ HNB=180°-90°-60°=30°$,$\therefore KN=\sqrt{3}GK=\sqrt{3} × \sqrt{3}x=3x$.$\because BN=BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=2x$,$\therefore AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$.
当四边形GFHN是菱形时,延长FG交AB于W,如图②,设$AD=y$,则$DE=DF=EG=GF=BN=BM=HM=NH=\frac{1}{2}y$,$\because$ 四边形GFHN是菱形,$\therefore GF=FH=NH=GN=\frac{1}{2}y$.$\because EG // CD // AB,GF // AD$,$\therefore$ 四边形AEGW是平行四边形,$∠ GWN=∠ A=60°$,$\therefore AW=EG=\frac{1}{2}y$,$GW=AE=\frac{1}{2}y$,$\therefore GW=GN$,$\therefore △ GWN$是等边三角形,$\therefore WN=GW=\frac{1}{2}y$,$\therefore AB=AW+WN+BN=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}y$,$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{y}{\frac{3}{2}y}=\frac{2}{3}$.
综上所述,四边形GFHN为轴对称图形时,$\frac{AD}{AB}$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{2}{3}$.

4. 如图①，已知 $△ ABC ∽ △ ADE$，$∠ ACB = ∠ AED = 90°$，$\frac{AC}{AE}=m$，$△ ADE$ 可绕点 $A$ 旋转，连接 $CE$，$BD$.
(1)求证：$△ ACE ∽ △ ABD$；
(2)如图②，若 $m=\frac{5}{3}$，$AC=5$，$\sin∠ ABC=\frac{1}{2}$，当点 $E$ 在直线 $AC$ 下方且 $C$，$E$，$D$ 三点在一条直线上时，求线段 $BD$ 的长；
(3)如图③，若 $m=1$，延长 $CE$ 交 $BD$ 于点 $F$，$CE=BF$，求 $∠ ABC$ 的度数.

4. (1) $\because △ ABC ∽ △ ADE$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,$∠ BAC=∠ DAE$,$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$,$∠ BAC+∠ BAE=∠ DAE+∠ BAE$,即$∠ CAE=∠ BAD$,$\therefore △ ACE ∽ △ ABD$.
(2) $\because \frac{AC}{AE}=m$,$m=\frac{5}{3}$,$AC=5$,即$\frac{5}{AE}=\frac{5}{3}$,$\therefore AE=3$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$\sin ∠ ABC=\frac{1}{2}$,$\therefore ∠ ABC=30°$,$\therefore AB=2AC=10$,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$.$\because △ ABC ∽ △ ADE$,$\therefore ∠ ADE=∠ ABC=30°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AD=2AE=6$,$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.$\because C,E,D$三点在一条直线上,$∠ AED=90°$,$\therefore ∠ AEC=90°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,由(1)可知,$△ ACE ∽ △ ABD$,$\therefore \frac{CE}{BD}=\frac{AC}{AB}$,即$\frac{4}{BD}=\frac{5}{10}$,解得$BD=8$.
(3) 如图,连接AF.
$\because △ ABC ∽ △ ADE$,$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
$\because m=1$,即$\frac{AC}{AE}=1$,$\therefore AB=AD,AC=AE$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$∠ ABD=∠ ADB$.$\because △ ACE ∽ △ ABD$,$\therefore ∠ ACE=∠ ABD$,$∠ AEC=∠ ADB$,$\therefore ∠ ACE=∠ ABD$,$\therefore$ 点A,C,B,F共圆,$\therefore ∠ ACB+∠ AFB=180°$.$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ AFB=90°$,$\therefore BF=FD=\frac{1}{2}BD$.$\because △ ACE ∽ △ ABD$,$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BD}$.$\because CE=BF$,$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{BF}{BD}=\frac{1}{2}$,$\therefore \sin ∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore ∠ ABC=30°$.