5. (2025·海南中考)图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法.为了深入理解旋转的本质,王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究.
【知识技能】
(1)如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,连接BE,BF,EF,且∠EBF=45°.将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90°至△BAM,则点M在DA的延长线上.
①证明:△BFM≌△BFE,并判断AF+EC=EF是否成立;
②若DF=5,DE=12,请计算正方形ABCD的周长.

【教学理解】
(2)如图②,在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF.连接AF,CE,M,N分别是线段AF,CE上的点,连接BM,BN,MN,且∠MBN=45°(点E,F,M,N均不与端点重合).请猜想线段AM,MN,NC的数量关系,并说明理由.
【拓展研究】
(3)如图③,BD是正方形ABCD的对角线,P,Q分别为线段BD,BC上的点,且∠PQB=45°.将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转(旋转角小于45°)至△BMN,连接ND,取线段ND的中点E,连接CE,CM,求$\frac{CM}{CE}$的值.

5. (1) ①$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ BAD=∠ ABC=90°$.$\because$ 将$△ BCE$绕点B按逆时针方向旋转$90°$至$△ BAM$,$\therefore BE=BM$,$∠ BAM=∠ C=90°$,$∠ EBC=∠ MBA$,$AM=CE$,$\therefore ∠ EBC+∠ ABE=90°=∠ MBA+∠ ABE=∠ MBE$.$\because ∠ EBF=45°$,$\therefore ∠ MBF=∠ MBE-∠ EBF=90°-45°=45°$,$\therefore ∠ MBF=∠ EBF$.在$△ BFM$和$△ BFE$中,$\begin{cases} BM=BE, \\ ∠ MBF=∠ EBF, \\ BF=BF, \end{cases}$$\therefore △ BFM ≌ △ BFE (\mathrm{SAS})$,$\therefore FM=EF$.$\because FM=AF+AM=AF+CE$,$\therefore EF=AF+CE$,$\therefore AF+EC=EF$成立.
②$\because DF=5,DE=12$,$∠ D=90°$,$\therefore EF=\sqrt{DF^2+DE^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$,$\therefore AF+EC=13$,$\therefore AD+CD=(AF+EC)+DF+DE=13+5+12=30$,$\therefore$ 正方形ABCD的边长为$30 ÷ 2=15$,$\therefore$ 正方形ABCD的周长为$15 × 4=60$.
(2) $AM^2+NC^2=MN^2$,理由如下:将$△ BCN$绕点B逆时针旋转$90°$得$△ BAG$,连接GM,如图①,由旋转的性质可得$△ BCN ≌ △ BAG$,$\therefore ∠ CBN=∠ ABG$,$CN=AG$,$∠ BCN=∠ BAG$,$BN=BG$,$\therefore ∠ CBN+∠ ABN=90°=∠ ABG+∠ ABN=∠ GBN$.$\because ∠ MBN=45°$,$\therefore ∠ MBG=∠ GBN-∠ MBN=90°-45°=45°$,$\therefore ∠ MBN=∠ MBG$.$\because BM=BM$,$BN=BG$,$\therefore △ BMN ≌ △ BMG (\mathrm{SAS})$,$\therefore MN=GM$.$\because AE=CF$,$AE // CF$,$\therefore$ 四边形AECF是平行四边形,$\therefore CE // AF$,$\therefore ∠ BEC=∠ BAM$.$\because ∠ BCN+∠ BEC=90°$,$\therefore ∠ BAG+∠ BAM=90°$,即$∠ GAM=90°$,$\therefore AM^2+AG^2=GM^2$,$\therefore AM^2+NC^2=MN^2$.
(3) 过点C作$CH ⊥ BD$于H,连接HE,设MN交BC于点K,如图②,$\because$ 四边形ABCD是正方形,$CH ⊥ BD$,$\therefore H$为BD中点,$△ BCH$是等腰直角三角形,$\therefore \frac{BC}{CH}=\sqrt{2}$.$\because E$为DN的中点,$\therefore HE$是$△ BDN$的中位线,$\therefore BN=2HE$,$HE // BN$.$\because ∠ PQB=45°$,$∠ DBC=45°$,$\therefore △ BPQ$是等腰直角三角形.$\because$ 将$△ BPQ$绕点B按顺时针方向旋转(旋转角小于$45°$)至$△ BMN$,$\therefore △ BMN$是等腰直角三角形,$\therefore BN=\sqrt{2} BM$,$\therefore \sqrt{2} BM=2HE$,$\therefore \frac{BM}{HE}=\sqrt{2}$,$\therefore \frac{BC}{CH}=\frac{BM}{HE}=\sqrt{2}$.$\because ∠ BNK=45°=∠ DBC$,$\therefore ∠ BNK+∠ KBN=∠ DBC+∠ KBN$,即$∠ BKM=∠ DBN$.$\because HE // BN$,$\therefore ∠ DHE=∠ DBN$,$\therefore ∠ BKM=∠ DHE$,$\therefore 90°-∠ BKM=90°-∠ DHE$,即$∠ MBC=∠ EHC$,$\therefore △ MBC ∽ △ EHC$,$\therefore \frac{CM}{CE}=\frac{BC}{CH}=\sqrt{2}$,即$\frac{CM}{CE}$的值为$\sqrt{2}$.