3. (2025·淮安中考)综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问.
【情境】图①、图②是小丽在雨天水平撑伞的示意图,她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ,MN=0.2米,MQ=1.6米,雨伞撑开的宽度AC=1米,伞柄的OG部分长为0.45米,点O为AC中点,OG⊥AC,点G到地面的距离是1.35米,手臂可以水平向前最长伸出0.5米,雨线AB与地面的夹角为θ,雨线AB与CD平行,AC与地面BD平行.
【问题感知】
(1)①在图①、图②中,点C到地面的距离是米;
②如图①所示,θ=72°,若小丽将伞拿在胸前(OG与NP在同一条直线上),则小丽身体被雨水淋湿的部分PK=米.(参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08)
【问题探究】
(2)如图②所示,θ=60°,设小丽将手臂水平前伸了x米(即线段EG的长度),身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米,求y与x的函数表达式,并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围.
【问题解决】
(3)在(2)的条件下,小丽发现水平撑伞时身体始终有部分会被淋湿,于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度(点G到地面的距离保持不变),使得AC与雨线AB垂直,如图③所示.试问:小丽在旋转雨伞后,是否可以通过调节手臂水平前伸长度,使得全身都不会被雨淋湿?如果可以,请求出EG的最小值;如果不可以,请说明理由.

3.(1)① 1.8 解析:由题意知,OG=0.45米,GP=1.35米,
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8(米),即点C到地面的距离是1.8米.
② 0.26 解析:
∵AC=1米,点O为AC中点,
∴$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$米.
∵AB//CD,
∴∠ABD=∠KDP=72°.
∵AC//BD,
∴∠OCK=∠KDP=72°,
∴在Rt△OCK中,$OK=OC · \tan 72° \approx \frac{1}{2} × 3.08 = 1.54$(米),
∴PK=OP-OK=1.8-1.54=0.26(米).
(2) ,延长PN交AC于点F,则OF=EG=x米,
∴$CF=OF+OC = (x + \frac{1}{2})$米.
∵AB//CD,
∴∠ABD=∠KDP=60°.
∵AC//BD,
∴∠FCK=∠KDP=60°,
∴在Rt△FCK中,$FK=CF · \tan 60° = (\frac{1}{2} + x) × \sqrt{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}x)$米,
∴$PK=FP-FK=1.8 - (\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}x) = (-\sqrt{3}x + 1.8 - \frac{\sqrt{3}}{2})$米,即$y=-\sqrt{3}x+1.8-\frac{\sqrt{3}}{2}$.延长NM交AB于点H,过A作AI⊥HN于点I,则AI=1.8-1.6=0.2(米),$HI=\frac{0.2}{\tan 60°}=\frac{\sqrt{3}}{15}$(米),AF=NI=(0.5-x)米,为使头部不被淋湿,
∴$HN=HI+IN = (\frac{\sqrt{3}}{15} + 0.5 - x)$米≥MN=0.2米,解得$x ≤ \frac{9+2\sqrt{3}}{30}$.又
∵x≥0,x≤0.5,$\frac{9+2\sqrt{3}}{30}＜0.5$,
∴$0 ≤ x ≤ \frac{9+2\sqrt{3}}{30}$,
∴$y=-\sqrt{3}x+1.8-\frac{\sqrt{3}}{2} (0 ≤ x ≤ \frac{9+2\sqrt{3}}{30})$.

(3) 可以.设小丽将手臂水平前伸了x米时,身体恰好不会被淋湿,延长NM交AB于点R,过R作RT⊥BD于点T,延长EG交CD于点W,过W作WY⊥OG于点Y,则$WY=OC=\frac{1}{2}$米,∠GWD=∠YGW=60°,RT=MQ=1.6米,
∴$BD=\frac{1}{\sin 60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$米,
∴在Rt△YGW中,$YG=\frac{YW}{\tan 60°}=\frac{\sqrt{3}}{6}$米＜OG,$GW=\sqrt{YG^2+YW^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$米.在Rt△DEW中,$EW=\frac{DE}{\tan 60°}=\frac{1.35}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{20}$(米),
∴$EG=EW-GW=\frac{9\sqrt{3}}{20}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{60}$(米)＜0.5米.在Rt△BRT中,$BT=\frac{RT}{\tan 60°}=\frac{1.6}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{15}$(米).又
∵$BD-BT=\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{8\sqrt{3}}{15}=\frac{2\sqrt{3}}{15}$(米)＞MN=0.2米,
∴此时全身不会被淋湿.综上,可以通过调节手臂水平前伸长度,使得全身都不会被雨淋湿,EG的最小值为$\frac{7\sqrt{3}}{60}$米.