19. (12分)(2026·上海中考)对于函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移一个单位长度得到点B，使点C与点B的横坐标相等，且点C的纵坐标为2a，则称点C为抛物线的“派生点”，并且将直线AC称为抛物线的“派生直线”.
(1)已知函数$y=2x^2+3$，求该函数的“派生直线”表达式；
(2)已知点C为某抛物线的“派生点”，点$P(1,m)$和$Q(7,n)$在其“派生直线”$y=2x-6$上，且点P是该抛物线与其“派生直线”的交点，求$\frac{PC}{CQ}$的值，并判断点Q是否在抛物线上.

19. (1)已知函数$y=2x^2+3$,可得$a=2$,$b=0$,二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$,对称轴与x轴交点A坐标为$(0,0)$,将点A向右平移1个单位长度得到点B,点B的横坐标为$0+1=1$,根据定义,点C横坐标为1,纵坐标为$2a=4$,即$C(1,4)$,设“派生直线”AC的表达式为$y=kx$,代入$C(1,4)$,得$k=4$.因此该函数的“派生直线”表达式为$y=4x$.
(2)由题意,点A是“派生直线”$y=2x-6$与x轴的交点,点A纵坐标为0,将$y=0$代入$y=2x-6$,得$0=2x-6$,解得$x=3$,因此$A(3,0)$,根据定义,点B横坐标为$3+1=4$,因此点C横坐标为4,将$x=4$代入$y=2x-6$,得$y=2$.因此$C(4,2)$,将$P(1,m)$代入$y=2x-6$,得$m=-4$,即$P(1,-4)$,将$Q(7,n)$代入$y=2x-6$,得$n=8$,即$Q(7,8)$,
∴$PC=\sqrt{(4-1)^2+[2-(-4)]^2}=3\sqrt{5}$,$CQ=\sqrt{(7-4)^2+(8-2)^2}=3\sqrt{5}$,
∴$\frac{PC}{CQ}=\frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=1$.由定义,抛物线对称轴为直线$x=3$,点C纵坐标为$2a=2$,得$a=1$,设抛物线表达式为$y=(x-3)^2+k$,
∵$P(1,-4)$在抛物线上,将点P代入,得$-4=(1-3)^2+k$,解得$k=-8$,
∴抛物线表达式为$y=(x-3)^2-8=x^2-6x+1$,
∴将$x=7$代入抛物线表达式得$y=7^2-6×7+1=8$,与点Q的纵坐标相等,因此点Q在抛物线上.

20. (14分)(内江中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于$B(4,0),C(-2,0)$两点,与y轴交于点$A(0,-2)$.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点K,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求$\frac{1}{2}PK + PD$的最大值及此时点P的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得$△ MAB$是以AB为一条直角边的直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

(1)由题意,得$\begin{cases}16a+4b+c=0,\\4a-2b+c=0,\\c=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4},\\b=-\frac{1}{2},\\c=-2,\end{cases}$
∴该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$.
(2)
∵$A(0,-2)$,$B(4,0)$,
∴直线AB的表达式为$y=\frac{1}{2}x-2$.
设$P(m,\frac{1}{4}m^2-\frac{1}{2}m-2)(0＜m＜4)$,则$K(\frac{1}{2}m^2-m,\frac{1}{4}m^2-\frac{1}{2}m-2)$,
∴$\frac{1}{2}PK+PD=\frac{1}{2}(m-\frac{1}{2}m^2+m)+(-\frac{1}{4}m^2+\frac{1}{2}m+2)=-\frac{1}{2}m^2+\frac{3}{2}m+2=-\frac{1}{2}(m-\frac{3}{2})^2+\frac{25}{8}$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当$m=\frac{3}{2}$时,$\frac{1}{2}PK+PD$取得最大值,最大值为$\frac{25}{8}$.此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{16})$.
(3)存在.如图,过点A作$AM_2⊥AB$交抛物线的对称轴于点$M_2$,过点B作$BM_1⊥AB$交抛物线的对称轴于点$M_1$,连接$AM_1$,$BM_2$,设$M_1(1,n)$,则$AM_1^2=n^2+4n+5$,$BM_1^2=n^2+9$.
由$AB^2+BM_1^2=AM_1^2$,可得$2^2+4^2+n^2+9=n^2+4n+5$,
∴$n=6$,
∴$M_1(1,6)$,
∴直线$BM_1$的表达式为$y=-2x+8$.
∵$AM_2//BM_1$,且经过$A(0,-2)$,
∴直线$AM_2$的表达式为$y=-2x-2$,
∴当$x=1$时,$y=-2×1-2=-4$,
∴$M_2(1,-4)$.
综上所述,存在点M满足要求,M的坐标为$(1,6)$或$(1,-4)$.