1. 如图，AC 与 BD 相交于点 O，给出三个条件：①AB//CD，②$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，③$\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}$，其中能判断$△ AOB$与$△ COD$相似的有()

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

1. C

证明：
条件①：$AB// CD$，则$∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ AOB∽△ COD$。
条件②：$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，且$∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ AOB∽△ COD$。
条件③：$\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CD}$，但未明确$∠ OAB$与$∠ OCD$是否相等，无法判定$△ AOB$与$△ COD$相似。
综上，能判断相似的条件有①②，共2个。
C

2. 如图，若 A，B，C，D，E，F，G，H，O 都是$5×7$方格纸中的格点，为使$△ DME∽△ ABC$，则点 M 应是 F，G，H，O 四点中的()

A.F
B.G
C.H
D.O

2. C

3. 如图，点 D 为$△ ABC$的 AB 边上一点(AB＞AC)，下列条件不一定能保证$△ ACD∽△ ABC$的是()

A.$∠ADC=∠ACB$
B.$∠ACD=∠B$
C.$\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AC}$
D.$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$

3. C

要判断哪个条件不一定能保证$△ ACD ∼ △ ABC$，需依据相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）。
选项A
$∠ ADC = ∠ ACB$，且$∠ A$为公共角。
根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得$△ ACD ∼ △ ABC$。
能保证相似。
选项B
$∠ ACD = ∠ B$，且$∠ A$为公共角。
根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可得$△ ACD ∼ △ ABC$。
能保证相似。
选项C
$\frac{DC}{BC} = \frac{AD}{AC}$，即$DC · AC = BC · AD$。
此比例式中，$DC$与$BC$、$AD$与$AC$的夹角分别为$∠ CDB$和$∠ A$，但$∠ CDB$与$∠ A$不一定相等，不满足“两边对应成比例且夹角相等”的条件。
不一定能保证相似。
选项D
$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，即$AC^2 = AD · AB$，且$∠ A$为公共角。
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$△ ACD ∼ △ ABC$。
能保证相似。
答案：C

4. 如图，下列四个三角形中，与$△ ABC$相似的是()

4. C

解：在$△ ABC$中，$AB = AC = 6$，$∠ B = 75°$，
$\therefore ∠ C=∠ B = 75°$，
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180° - 75° - 75°=30°$。
选项C中三角形，有两边长为5，夹角为$30°$，
$\because △ ABC$有两边对应成比例（$\frac{6}{5}=\frac{6}{5}$）且夹角相等（均为$30°$），
$\therefore$与$△ ABC$相似的是选项C。
C

5. 如图，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，AE=BE，则图中与$△ ADE$相似的三角形是.

5. $△ CDB$

证明：设等边三角形$ABC$的边长为$3a$。
$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AC = 3a$，$\therefore AD = a$，$DC=AC - AD=3a - a=2a$。
$\because AE = BE$，$AB = 3a$，$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{3a}{2}$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ A=∠ C = 60°$。
$\frac{AD}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{CB}=\frac{\frac{3a}{2}}{3a}=\frac{1}{2}$。
$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CB}$，且$∠ A=∠ C$。
$\therefore △ ADE∼△ CDB$。
$△ CDB$

6. 如图，DE 与$△ ABC$的边 AB，AC 分别相交于 D，E 两点，若 AE = 2 cm，AC = 3 cm，AD = 2.4 cm，AB = 3.6 cm，DE = $\frac{4}{3}$ cm，则 BC 的长为多少？

6. $BC = 2\mathrm{ cm}$

证明：
∵ $ AE = 2 \, \mathrm{cm} $, $ AC = 3 \, \mathrm{cm} $, $ AD = 2.4 \, \mathrm{cm} $, $ AB = 3.6 \, \mathrm{cm} $,
∴ $ \frac{AD}{AB} = \frac{2.4}{3.6} = \frac{2}{3} $, $ \frac{AE}{AC} = \frac{2}{3} $,
∴ $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $.
又
∵ $ ∠ DAE = ∠ BAC $,
∴ $ △ ADE ∼ △ ABC $.
∴ $ \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3} $.
∵ $ DE = \frac{4}{3} \, \mathrm{cm} $,
∴ $ \frac{\frac{4}{3}}{BC} = \frac{2}{3} $,
解得 $ BC = 2 \, \mathrm{cm} $.
$ BC = 2 \, \mathrm{cm} $