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22.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC的中点,DA⊥AB交BE的延长线于点D,CF平分∠ACB交BD于点F.
求证:(1)AD=CF;
(2)点F为BD的中点.
求证:(1)AD=CF;
(2)点F为BD的中点.
答案
22. 证明:(1)
∵E为AC边的中点，
∴AE=CE，
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CF平分∠ACB，
∴∠BAC=45°=∠ECF，
∵DA⊥AB，
∴∠EAD=45°=∠ECF，
又
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)如图,连接 CD，
∵AC=CB,∠DAC=∠FCB,AD=CF，
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴CD=BF,∠ACD=∠CBF，
∵∠DCF = ∠ACD + ∠ECF = ∠ACD + 45°,
∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°,
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
∴BF=DF,即点 F 为 BD 的中点.
解析
【分析】
(1) 要证AD=CF，通常优先证明两条线段所在三角形全等：首先由等腰直角△ABC及角平分线条件可得∠ECF=45°，再结合DA⊥AB可推出∠EAD=45°，即得到一组角相等；再利用E是AC中点得AE=CE，结合对顶角相等的条件，即可通过ASA证明△ADE≌△CFE，进而得到线段相等的结论。
(2) 要证F是BD中点，即证BF=DF：先作辅助线连接CD，结合(1)中AD=CF的结论，利用SAS证明△ACD≌△CBF，得到CD=BF；再通过角的等量代换证明∠DCF=∠DFC，由等角对等边得DC=DF，即可推出BF=DF，完成证明。
【解析】
(1) 由E为AC中点得AE=CE；已知△ABC中∠ACB=90°、AC=BC，因此△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，又CF平分∠ACB，故∠ECF=45°；由DA⊥AB得∠DAB=90°，因此∠EAD=90°-∠BAC=45°，即∠EAD=∠ECF；又∠AED和∠CEF为对顶角，二者相等，因此△ADE≌△CFE（ASA），由全等三角形对应边相等得AD=CF。
(2) 连接CD辅助线，已知AC=CB，∠DAC=∠FCB=45°，且(1)已证AD=CF，因此△ACD≌△CBF（SAS），得CD=BF、∠ACD=∠CBF；通过角的和差关系推导：∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠ACD+45°，∠DFC是△BCF的外角，故∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°，结合∠ACD=∠CBF，可得∠DCF=∠DFC，由等角对等边得DC=DF，因此BF=DF，即F为BD中点。
【答案】
证明:(1)
∵E为AC边的中点，
∴AE=CE，
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CF平分∠ACB，
∴∠BAC=45°=∠ECF，
∵DA⊥AB，
∴∠EAD=45°=∠ECF，
又
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)如图,连接 CD，
∵AC=CB,∠DAC=∠FCB,AD=CF，
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴CD=BF,∠ACD=∠CBF，
∵∠DCF = ∠ACD + ∠ECF = ∠ACD + 45°,
∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°,
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
∴BF=DF,即点 F 为 BD 的中点.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等角对等边
【点评】
本题属于三角形模块的典型综合题，既考查了基础的全等三角形证明方法，也需要学生掌握辅助线构造、角度等量代换的技巧，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证AD=CF，通常优先证明两条线段所在三角形全等：首先由等腰直角△ABC及角平分线条件可得∠ECF=45°，再结合DA⊥AB可推出∠EAD=45°，即得到一组角相等；再利用E是AC中点得AE=CE，结合对顶角相等的条件，即可通过ASA证明△ADE≌△CFE，进而得到线段相等的结论。
(2) 要证F是BD中点，即证BF=DF：先作辅助线连接CD，结合(1)中AD=CF的结论，利用SAS证明△ACD≌△CBF，得到CD=BF；再通过角的等量代换证明∠DCF=∠DFC，由等角对等边得DC=DF，即可推出BF=DF，完成证明。
【解析】
(1) 由E为AC中点得AE=CE；已知△ABC中∠ACB=90°、AC=BC，因此△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，又CF平分∠ACB，故∠ECF=45°；由DA⊥AB得∠DAB=90°，因此∠EAD=90°-∠BAC=45°，即∠EAD=∠ECF；又∠AED和∠CEF为对顶角，二者相等，因此△ADE≌△CFE（ASA），由全等三角形对应边相等得AD=CF。
(2) 连接CD辅助线，已知AC=CB，∠DAC=∠FCB=45°，且(1)已证AD=CF，因此△ACD≌△CBF（SAS），得CD=BF、∠ACD=∠CBF；通过角的和差关系推导：∠DCF=∠ACD+∠ECF=∠ACD+45°，∠DFC是△BCF的外角，故∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°，结合∠ACD=∠CBF，可得∠DCF=∠DFC，由等角对等边得DC=DF，因此BF=DF，即F为BD中点。
【答案】
证明:(1)
∵E为AC边的中点，
∴AE=CE，
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CF平分∠ACB，
∴∠BAC=45°=∠ECF，
∵DA⊥AB，
∴∠EAD=45°=∠ECF，
又
∵∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF；
(2)如图,连接 CD，
∵AC=CB,∠DAC=∠FCB,AD=CF，
∴△ACD≌△CBF(SAS)，
∴CD=BF,∠ACD=∠CBF，
∵∠DCF = ∠ACD + ∠ECF = ∠ACD + 45°,
∠DFC=∠CBF+∠BCF=∠CBF+45°,
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
∴BF=DF,即点 F 为 BD 的中点.
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等角对等边
【点评】
本题属于三角形模块的典型综合题，既考查了基础的全等三角形证明方法，也需要学生掌握辅助线构造、角度等量代换的技巧，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
23.(11分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC＞CD,CA平分∠BCD,过点A作AE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:CE=CD+BE;
(2)如果CE=3BE,求$S_{△ ABC}:S_{△ ACD}$的值.
(1)求证:CE=CD+BE;
(2)如果CE=3BE,求$S_{△ ABC}:S_{△ ACD}$的值.
答案
23. （1）证明:如图,过点 A 作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F，
∵CA 平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD，
∴AE=AF,CE=CF,∠AEB=∠AFD=90°,
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
{AB=AD,
AE=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
又
∵CE=CF=CD+DF，
∴CE=CD+BE.
(2)解:
∵CE=3BE,CF=CE,DF=BE,
∴BC=4BE,CD=CF-DF=2BE，
由(1)知 AE=AF，
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×4BE×AE$,
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×CD×AF=\frac{1}{2}×2BE×AE$,
∴$S_{△ABC}:S_{△ACD}=2:1$.
解析
【分析】
(1) 要证明CE=CD+BE这类线段和差问题，可采用截长补短的思路。结合已知CA平分∠BCD、AE⊥BC的条件，根据角平分线的性质，过A作AF⊥CD交CD的延长线于F，可得AE=AF、CE=CF；再结合AB=AD的条件，可证Rt△ABE和Rt△ADF全等，得到BE=DF，通过线段等量代换即可完成证明。
(2) 要求两个三角形的面积比，由(1)可知两个三角形的高AE=AF，高相等时三角形面积比等于底的比，因此只需推导BC和CD的数量关系即可。根据CE=3BE的条件，结合(1)的结论将BC、CD都用BE表示，代入面积公式即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F。
∵CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，且CE=CF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\AE=AF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF。
又
∵CE=CF=CD+DF，
将DF替换为BE，可得CE=CD+BE。
(2) 解：设BE的长度为$x$，由CE=3BE得CE=$3x$。
由(1)的结论可知：CF=CE=$3x$，DF=BE=$x$，
∴$CD=CF-DF=3x-x=2x$，$BC=BE+CE=x+3x=4x$。
又
∵AE=AF，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE=\frac{1}{2} × 4x × AE$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AF=\frac{1}{2} × 2x × AE$，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2} × 4x × AE):(\frac{1}{2} × 2x × AE)=2:1$。
【答案】
(1) 证明:如图,过点 A 作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F，
∵CA 平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD，
∴AE=AF,CE=CF,∠AEB=∠AFD=90°,
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD,\\AE=AF,\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
又
∵CE=CF=CD+DF，
∴CE=CD+BE.
(2) $S_{△ ABC}:S_{△ ACD}=2:1$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题核心是掌握角平分线作垂线构造全等的辅助线思路，通过全等完成线段的等量转化，第二问利用高相等时面积比等于底的比即可快速求解，对几何辅助线构造能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CE=CD+BE这类线段和差问题，可采用截长补短的思路。结合已知CA平分∠BCD、AE⊥BC的条件，根据角平分线的性质，过A作AF⊥CD交CD的延长线于F，可得AE=AF、CE=CF；再结合AB=AD的条件，可证Rt△ABE和Rt△ADF全等，得到BE=DF，通过线段等量代换即可完成证明。
(2) 要求两个三角形的面积比，由(1)可知两个三角形的高AE=AF，高相等时三角形面积比等于底的比，因此只需推导BC和CD的数量关系即可。根据CE=3BE的条件，结合(1)的结论将BC、CD都用BE表示，代入面积公式即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：过点A作AF⊥CD，交CD的延长线于点F。
∵CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，且CE=CF。
在Rt△ABE和Rt△ADF中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\AE=AF\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF。
又
∵CE=CF=CD+DF，
将DF替换为BE，可得CE=CD+BE。
(2) 解：设BE的长度为$x$，由CE=3BE得CE=$3x$。
由(1)的结论可知：CF=CE=$3x$，DF=BE=$x$，
∴$CD=CF-DF=3x-x=2x$，$BC=BE+CE=x+3x=4x$。
又
∵AE=AF，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE=\frac{1}{2} × 4x × AE$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × AF=\frac{1}{2} × 2x × AE$，
∴$S_{△ ABC}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2} × 4x × AE):(\frac{1}{2} × 2x × AE)=2:1$。
【答案】
(1) 证明:如图,过点 A 作 AF⊥CD 交 CD 的延长线于点 F，
∵CA 平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD，
∴AE=AF,CE=CF,∠AEB=∠AFD=90°,
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD,\\AE=AF,\end{array} $
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
又
∵CE=CF=CD+DF，
∴CE=CD+BE.
(2) $S_{△ ABC}:S_{△ ACD}=2:1$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线与全等三角形结合的典型题型，解题核心是掌握角平分线作垂线构造全等的辅助线思路，通过全等完成线段的等量转化，第二问利用高相等时面积比等于底的比即可快速求解，对几何辅助线构造能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
24.(12分)某校八(1)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A,B之间的距离,设计出如下几种方案:
①如图1所示,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后测出D,E之间的距离即为AB的长.
②如图2所示,过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为AB的长.
阅读后回答下列问题:
(1)方案①是否可行?答:
(2)方案②是否可行?答:
(3)方案②中作DB⊥AB,ED⊥BF的目的是
若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案②的结论是否仍成立?答:
①如图1所示,先在平地上取一个可直接到达A,B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至点D,BC至点E,使DC=AC,EC=BC,最后测出D,E之间的距离即为AB的长.
②如图2所示,过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为AB的长.
阅读后回答下列问题:
(1)方案①是否可行?答:
可行
,理由是△ABC≌△DEC(SAS)
;(2)方案②是否可行?答:
可行
,理由是△ABC≌△EDC(ASA)
;(3)方案②中作DB⊥AB,ED⊥BF的目的是
使∠ABC=∠EDC 成立
,若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案②的结论是否仍成立?答:
成立
.答案
24. (1)可行 △ABC≌△DEC(SAS)
(2)可行 △ABC≌△EDC(ASA)
(3)使∠ABC=∠EDC 成立
成立
(2)可行 △ABC≌△EDC(ASA)
(3)使∠ABC=∠EDC 成立
成立
解析
【分析】
本题是利用全等三角形测量不可直接到达的两点距离的实际应用题，解题核心是证明构造的两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到待测量线段的长度。
(1) 对于方案①，观察已知条件：AC=DC，BC=EC，再结合AC、BD相交形成的对顶角相等，可通过SAS判定两个三角形全等，从而得到AB=DE；
(2) 对于方案②，由垂直条件可得两个直角相等，结合已知的BC=CD，以及对顶角相等，可通过ASA判定两个三角形全等，得到AB=DE；
(3) 作垂直的目的是得到一组相等的角，若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，这组相等的角仍然存在，其余条件不变，依然可以判定三角形全等，因此结论仍成立。
【解析】
(1) 在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases} AC=DC(已知) \\ ∠ ACB=∠ DCE(对顶角相等) \\ BC=EC(已知) \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$
∴$AB=DE$，因此测出DE的长即为AB的长，方案①可行。
(2)
∵$AB⊥ BF$，$DE⊥ BF$
∴$∠ ABC=∠ EDC=90°$
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ EDC \\ BC=DC(已知) \\ ∠ ACB=∠ ECD(对顶角相等) \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$
∴$AB=DE$，因此测出DE的长即为AB的长，方案②可行。
(3) 作$DB⊥ AB$、$ED⊥ BF$，是为了得到$∠ ABC=∠ EDC=90°$，即得到一组相等的对应角。
若$∠ ABD=∠ BDE≠90°$，仍有$∠ ABC=∠ EDC$，结合$BC=DC$，$∠ ACB=∠ ECD$，依然可通过ASA证明$△ ABC≌△ EDC$，得到$AB=DE$，因此结论仍然成立。
【答案】
(1)可行；$△ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$
(2)可行；$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$
(3)使$∠ ABC=∠ EDC$；成立
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题将全等三角形的知识与实际测量结合，体现了数学的实用性，解题的关键是从构造的图形中找到对应相等的边和角，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.8
本题是利用全等三角形测量不可直接到达的两点距离的实际应用题，解题核心是证明构造的两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到待测量线段的长度。
(1) 对于方案①，观察已知条件：AC=DC，BC=EC，再结合AC、BD相交形成的对顶角相等，可通过SAS判定两个三角形全等，从而得到AB=DE；
(2) 对于方案②，由垂直条件可得两个直角相等，结合已知的BC=CD，以及对顶角相等，可通过ASA判定两个三角形全等，得到AB=DE；
(3) 作垂直的目的是得到一组相等的角，若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，这组相等的角仍然存在，其余条件不变，依然可以判定三角形全等，因此结论仍成立。
【解析】
(1) 在$△ ABC$和$△ DEC$中：
$\begin{cases} AC=DC(已知) \\ ∠ ACB=∠ DCE(对顶角相等) \\ BC=EC(已知) \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$
∴$AB=DE$，因此测出DE的长即为AB的长，方案①可行。
(2)
∵$AB⊥ BF$，$DE⊥ BF$
∴$∠ ABC=∠ EDC=90°$
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ EDC \\ BC=DC(已知) \\ ∠ ACB=∠ ECD(对顶角相等) \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$
∴$AB=DE$，因此测出DE的长即为AB的长，方案②可行。
(3) 作$DB⊥ AB$、$ED⊥ BF$，是为了得到$∠ ABC=∠ EDC=90°$，即得到一组相等的对应角。
若$∠ ABD=∠ BDE≠90°$，仍有$∠ ABC=∠ EDC$，结合$BC=DC$，$∠ ACB=∠ ECD$，依然可通过ASA证明$△ ABC≌△ EDC$，得到$AB=DE$，因此结论仍然成立。
【答案】
(1)可行；$△ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$
(2)可行；$△ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$
(3)使$∠ ABC=∠ EDC$；成立
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题将全等三角形的知识与实际测量结合，体现了数学的实用性，解题的关键是从构造的图形中找到对应相等的边和角，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【难度系数】
0.8
