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15. 如图
，王强同学用10块高度是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（$AC=BC$，$∠ ACB=90°$），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为
，王强同学用10块高度是2 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（$AC=BC$，$∠ ACB=90°$），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为20
cm.答案
15. 20
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：一是木墙与地面垂直，可得两个直角；二是三角板为等腰直角三角形，即$AC=BC$，$∠ ACB=90°$。首先利用同角的余角相等，推出$△ ADC$和$△ CEB$的一组锐角相等，结合两个直角和$AC=BC$，用AAS证明两个三角形全等，得到对应边相等，即$AD=CE$，$CD=BE$，两墙距离$DE=CD+CE=AD+BE$，最后根据小木块的高度和数量算出$AD$、$BE$的长度，求和即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BCE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$DC=EB$，
已知每块小木块高度为2cm，左边木墙由3块小木块垒成，右边木墙由7块小木块垒成，
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$，$BE=7×2=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=BE+AD=14+6=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
20
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 同角的余角相等
【点评】
本题属于全等三角形的实际应用类题目，核心是结合垂直和直角的性质推导等角，进而证明三角形全等，将实际长度和几何线段对应求解，侧重考查基础全等判定的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：一是木墙与地面垂直，可得两个直角；二是三角板为等腰直角三角形，即$AC=BC$，$∠ ACB=90°$。首先利用同角的余角相等，推出$△ ADC$和$△ CEB$的一组锐角相等，结合两个直角和$AC=BC$，用AAS证明两个三角形全等，得到对应边相等，即$AD=CE$，$CD=BE$，两墙距离$DE=CD+CE=AD+BE$，最后根据小木块的高度和数量算出$AD$、$BE$的长度，求和即可得到结果。
【解析】
解：由题意得：$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ BCE$，
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ DAC=∠ ECB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$DC=EB$，
已知每块小木块高度为2cm，左边木墙由3块小木块垒成，右边木墙由7块小木块垒成，
$\therefore AD=3×2=6\ \mathrm{cm}$，$BE=7×2=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=BE+AD=14+6=20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
20
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 同角的余角相等
【点评】
本题属于全等三角形的实际应用类题目，核心是结合垂直和直角的性质推导等角，进而证明三角形全等，将实际长度和几何线段对应求解，侧重考查基础全等判定的应用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE.
16.(6分)如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE.
答案
16. 证明:在△ACD和△ABE中,
{ ∠A = ∠A, AC = AB, ∠C = ∠B,
∴△ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE.
{ ∠A = ∠A, AC = AB, ∠C = ∠B,
∴△ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE.
解析
【分析】
要证明AD=AE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。观察图形可知AD在△ACD中，AE在△ABE中，我们先找两个三角形全等的条件：已知AB=AC、∠B=∠C，且两个三角形共享公共角∠A，恰好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证明△ACD和△ABE全等后，根据全等三角形对应边相等的性质即可得到AD=AE。
【解析】
证明：在△ACD和△ABE中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \quad (\mathrm{公共角相等}),\\AC = AB \quad (\mathrm{已知}),\\∠ C = ∠ B \quad (\mathrm{已知}),\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ ABE$（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明:在△ACD和△ABE中,
$\begin{cases}∠A = ∠A,\\AC = AB,\\∠C = ∠B,\end{cases}$
∴△ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE.
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是找准待证边所在的三角形，结合已知条件和图形隐含的公共角条件判定三角形全等，进而推出对应边相等，是全等章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要证明AD=AE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。观察图形可知AD在△ACD中，AE在△ABE中，我们先找两个三角形全等的条件：已知AB=AC、∠B=∠C，且两个三角形共享公共角∠A，恰好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证明△ACD和△ABE全等后，根据全等三角形对应边相等的性质即可得到AD=AE。
【解析】
证明：在△ACD和△ABE中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \quad (\mathrm{公共角相等}),\\AC = AB \quad (\mathrm{已知}),\\∠ C = ∠ B \quad (\mathrm{已知}),\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ ABE$（ASA），
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明:在△ACD和△ABE中,
$\begin{cases}∠A = ∠A,\\AC = AB,\\∠C = ∠B,\end{cases}$
∴△ACD≌△ABE(ASA),
∴AD=AE.
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是找准待证边所在的三角形，结合已知条件和图形隐含的公共角条件判定三角形全等，进而推出对应边相等，是全等章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
17.(6分)如图，A,D,E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)求证:BD=DE+CE;
(2)△ABD满足什么条件时，BD//CE?
(1)求证:BD=DE+CE;
(2)△ABD满足什么条件时，BD//CE?
答案
17. (1)证明:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)解:△ABD满足∠ADB=90°时,BD//CE.
理由:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠E=∠ADB=90°,
∴∠BDE=180°-∠ADB=90°=∠E,
∴BD//CE.
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)解:△ABD满足∠ADB=90°时,BD//CE.
理由:
∵△BAD≌△ACE,
∴∠E=∠ADB=90°,
∴∠BDE=180°-∠ADB=90°=∠E,
∴BD//CE.
解析
【分析】
(1) 要证明BD=DE+CE，可借助全等三角形的性质转化线段：首先根据已知的△BAD≌△ACE，得到对应边BD=AE、AD=CE，再结合共线三点的线段和关系AE=AD+DE，将AD替换为CE，即可推导出结论。
(2) 要得到BD//CE，根据平行线的判定定理，需要BD、CE被DE所截的内错角∠BDE=∠E；结合全等三角形对应角相等可知∠E=∠ADB，因此只需∠ADB=90°，即可推出∠BDE=∠E=90°，进而得到两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵A、D、E三点在同一直线上，
∴AE=AD+DE，
代入得BD=CE+DE，即BD=DE+CE。
(2) 解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE，理由如下：
∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB，
若∠ADB=90°，则∠E=90°，
又
∵∠BDE=180°-∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠E，
∴BD//CE。
【答案】
(1) BD=DE+CE得证；
(2) △ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形与平行线的基础综合题，第一问侧重利用全等性质转化线段推导和差关系，第二问是条件开放类问题，需要逆向推导平行的成立条件，核心是熟练掌握全等三角形性质和平行线判定定理。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD=DE+CE，可借助全等三角形的性质转化线段：首先根据已知的△BAD≌△ACE，得到对应边BD=AE、AD=CE，再结合共线三点的线段和关系AE=AD+DE，将AD替换为CE，即可推导出结论。
(2) 要得到BD//CE，根据平行线的判定定理，需要BD、CE被DE所截的内错角∠BDE=∠E；结合全等三角形对应角相等可知∠E=∠ADB，因此只需∠ADB=90°，即可推出∠BDE=∠E=90°，进而得到两直线平行。
【解析】
(1) 证明：
∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵A、D、E三点在同一直线上，
∴AE=AD+DE，
代入得BD=CE+DE，即BD=DE+CE。
(2) 解：当△ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE，理由如下：
∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB，
若∠ADB=90°，则∠E=90°，
又
∵∠BDE=180°-∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠E，
∴BD//CE。
【答案】
(1) BD=DE+CE得证；
(2) △ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE。
【知识点】
全等三角形的性质，平行线的判定，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形与平行线的基础综合题，第一问侧重利用全等性质转化线段推导和差关系，第二问是条件开放类问题，需要逆向推导平行的成立条件，核心是熟练掌握全等三角形性质和平行线判定定理。
【难度系数】
0.7
18.(6分)如图，$BE=CF$，$DE⊥AB$的延长线于点$E$，$DF⊥AC$于点$F$，且$DB=DC$，求证：$AD$是$∠EAC$的平分线.
答案
18. 证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠BED=∠CFD,
∴△BDE与△CDF是直角三角形,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,{ BE = CF , DB = DC ,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∵DE⊥AB的延长线于点E,
DF⊥AC于点F,
∴AD是∠EAC的平分线.
∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠BED=∠CFD,
∴△BDE与△CDF是直角三角形,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,{ BE = CF , DB = DC ,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∵DE⊥AB的延长线于点E,
DF⊥AC于点F,
∴AD是∠EAC的平分线.
解析
【分析】
要证明AD是∠EAC的平分线，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此只需证明点D到AE、AC的距离DE=DF即可。结合已知条件，DE⊥AE，DF⊥AC，且给出BE=CF、DB=DC，可先通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，即可推导出AD是∠EAC的平分线。
【解析】
证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BE = CF \\ DB = DC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴AD是∠EAC的平分线。
【答案】
证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠BED=∠CFD,
∴△BDE与△CDF是直角三角形,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\begin{cases} BE = CF \\ DB = DC \end{cases}$,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∵DE⊥AB的延长线于点E,
DF⊥AC于点F,
∴AD是∠EAC的平分线.
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）；2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是明确角平分线的判定条件，结合已知的边相等关系，通过证明直角三角形全等得到对应边相等即可完成求证，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
要证明AD是∠EAC的平分线，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此只需证明点D到AE、AC的距离DE=DF即可。结合已知条件，DE⊥AE，DF⊥AC，且给出BE=CF、DB=DC，可先通过HL定理证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，即可推导出AD是∠EAC的平分线。
【解析】
证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BE = CF \\ DB = DC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴AD是∠EAC的平分线。
【答案】
证明:
∵DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠BED=∠CFD,
∴△BDE与△CDF是直角三角形,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,$\begin{cases} BE = CF \\ DB = DC \end{cases}$,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF,
∵DE⊥AB的延长线于点E,
DF⊥AC于点F,
∴AD是∠EAC的平分线.
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）；2. 角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是明确角平分线的判定条件，结合已知的边相等关系，通过证明直角三角形全等得到对应边相等即可完成求证，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.8
19.(8分)如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，且BD＞CE，求证：BD=CE+DE.
答案
19. 证明:
∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
又
∵∠CAE+∠BAD=90°,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
{ ∠ADB = ∠CEA, ∠ABD = ∠CAE, AB = CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
又
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
又
∵∠CAE+∠BAD=90°,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
{ ∠ADB = ∠CEA, ∠ABD = ∠CAE, AB = CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
又
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
解析
【分析】
要证明BD=CE+DE，可通过全等三角形实现线段的等量转换来推导。首先根据垂直的定义得到两个直角相等，再结合∠BAC=90°，利用同角的余角相等推出∠ABD=∠CAE，结合已知AB=AC的条件，证明△ABD和△CAE全等，得到对应边AD=CE、BD=AE，最后根据线段和AE=AD+DE进行等量代换，即可得到要证的结论。
【解析】
证明:
∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠CAE+∠BAD=90°,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA, \\∠ABD = ∠CAE, \\AB = CA,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
【答案】
BD=CE+DE
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是利用角度互余关系推导相等的角，进而证明三角形全等完成线段的等量转换，能够有效训练学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要证明BD=CE+DE，可通过全等三角形实现线段的等量转换来推导。首先根据垂直的定义得到两个直角相等，再结合∠BAC=90°，利用同角的余角相等推出∠ABD=∠CAE，结合已知AB=AC的条件，证明△ABD和△CAE全等，得到对应边AD=CE、BD=AE，最后根据线段和AE=AD+DE进行等量代换，即可得到要证的结论。
【解析】
证明:
∵BD⊥AE,CE⊥AE,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠CAE+∠BAD=90°,∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,
$\begin{cases}∠ADB = ∠CEA, \\∠ABD = ∠CAE, \\AB = CA,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∵AE=AD+DE=CE+DE,
∴BD=CE+DE.
【答案】
BD=CE+DE
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是利用角度互余关系推导相等的角，进而证明三角形全等完成线段的等量转换，能够有效训练学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
20.(8分)如图,甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地的路程分别为$l_甲$和$l_乙$.判断$l_甲$和$l_乙$的大小关系,并说明理由.
答案
20. 解:如图,延长 AD,BE 交于点 F，
由题图甲可知,∠CAB=55°,∠CBA=65°,
由题图乙可知,∠DAB=55°,∠EBA=65°,
∴∠CAB=∠DAB,∠CBA=∠EBA,
在△ABC和△ABF中,
{ ∠CAB=∠FAB,
AB=AB,
∠CBA=∠FBA,
∴△ABC≌△ABF(ASA),
∴AC=AF,BC=BF
∴AC=AF=AD+DF,BC=BF=BE+EF,
∴l甲=AC+BC=AD+DF+BE+EF,
∵l乙=AD+DE+EB,DF+EF＞DE,
∴AD+BE+DF+EF＞AD+BE+DE,
∴l甲＞l乙.
解析
【分析】
要比较$l_甲$和$l_乙$的大小，直接观察线段无法直接比较，我们可以通过作辅助线构造全等三角形，将甲的路程转化为和乙的路程相关的线段和。首先延长AD、BE交于点F，先证明△ABC和△ABF全等，得到$AC=AF$、$BC=BF$，就可以把$l_甲$转化为$AD+DF+BE+EF$，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”比较$DF+EF$和$DE$的大小，就能得出$l_甲$和$l_乙$的大小关系。
【解析】
解：如图，延长AD，BE交于点F，
由题图甲可知，$∠ CAB=55°$，$∠ CBA=65°$，
由题图乙可知，$∠ DAB=55°$，$∠ EBA=65°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ DAB$，$∠ CBA=∠ EBA$，
在$△ ABC$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}∠ CAB=∠ FAB, \\AB=AB, \\∠ CBA=∠ FBA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ABF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC=AF$，$BC=BF$，
$\therefore AC=AF=AD+DF$，$BC=BF=BE+EF$，
$\therefore l_甲=AC+BC=AD+DF+BE+EF$，
$\because l_乙=AD+DE+EB$，根据三角形三边关系，在$△ DEF$中$DF+EF＞DE$，
$\therefore AD+BE+DF+EF＞AD+BE+DE$，
$\therefore l_甲＞l_乙$。
【答案】
$l_甲＞l_乙$，理由如下：
如图,延长 AD,BE 交于点 F，
由题图甲可知,∠CAB=55°,∠CBA=65°,
由题图乙可知,∠DAB=55°,∠EBA=65°,
∴∠CAB=∠DAB,∠CBA=∠EBA,
在△ABC和△ABF中,
{ ∠CAB=∠FAB,
AB=AB,
∠CBA=∠FBA,
∴△ABC≌△ABF(ASA),
∴AC=AF,BC=BF
∴AC=AF=AD+DF,BC=BF=BE+EF,
∴$l_甲$=AC+BC=AD+DF+BE+EF,
∵$l_乙$=AD+DE+EB,DF+EF＞DE,
∴AD+BE+DF+EF＞AD+BE+DE,
∴$l_甲＞l_乙$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
【点评】
本题解题关键是通过延长线段构造全等三角形，将两条路线的长度转化为可比较的线段和，再结合三角形三边关系判断大小，有效考查了学生构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
要比较$l_甲$和$l_乙$的大小，直接观察线段无法直接比较，我们可以通过作辅助线构造全等三角形，将甲的路程转化为和乙的路程相关的线段和。首先延长AD、BE交于点F，先证明△ABC和△ABF全等，得到$AC=AF$、$BC=BF$，就可以把$l_甲$转化为$AD+DF+BE+EF$，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”比较$DF+EF$和$DE$的大小，就能得出$l_甲$和$l_乙$的大小关系。
【解析】
解：如图，延长AD，BE交于点F，
由题图甲可知，$∠ CAB=55°$，$∠ CBA=65°$，
由题图乙可知，$∠ DAB=55°$，$∠ EBA=65°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ DAB$，$∠ CBA=∠ EBA$，
在$△ ABC$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}∠ CAB=∠ FAB, \\AB=AB, \\∠ CBA=∠ FBA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ABF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AC=AF$，$BC=BF$，
$\therefore AC=AF=AD+DF$，$BC=BF=BE+EF$，
$\therefore l_甲=AC+BC=AD+DF+BE+EF$，
$\because l_乙=AD+DE+EB$，根据三角形三边关系，在$△ DEF$中$DF+EF＞DE$，
$\therefore AD+BE+DF+EF＞AD+BE+DE$，
$\therefore l_甲＞l_乙$。
【答案】
$l_甲＞l_乙$，理由如下：
如图,延长 AD,BE 交于点 F，
由题图甲可知,∠CAB=55°,∠CBA=65°,
由题图乙可知,∠DAB=55°,∠EBA=65°,
∴∠CAB=∠DAB,∠CBA=∠EBA,
在△ABC和△ABF中,
{ ∠CAB=∠FAB,
AB=AB,
∠CBA=∠FBA,
∴△ABC≌△ABF(ASA),
∴AC=AF,BC=BF
∴AC=AF=AD+DF,BC=BF=BE+EF,
∴$l_甲$=AC+BC=AD+DF+BE+EF,
∵$l_乙$=AD+DE+EB,DF+EF＞DE,
∴AD+BE+DF+EF＞AD+BE+DE,
∴$l_甲＞l_乙$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形三边关系
【点评】
本题解题关键是通过延长线段构造全等三角形，将两条路线的长度转化为可比较的线段和，再结合三角形三边关系判断大小，有效考查了学生构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
21.(8分)如图,已知点E在$△ ABC$的边AC上,且$∠ AEB=∠ ABC$.
(1)求证:$∠ ABE=∠ C$.
(2)若$∠ BAE$的平分线AF交BE于点F,$FD// BC$交AC于点D,设$AB=8$,$AC=10$,求DC的长.
(1)求证:$∠ ABE=∠ C$.
(2)若$∠ BAE$的平分线AF交BE于点F,$FD// BC$交AC于点D,设$AB=8$,$AC=10$,求DC的长.
答案
21. (1)证明:在△ABE中,
∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB,
在△ABC中,∠C=180°-∠BAC-∠ABC,
∵∠AEB=∠ABC,∠BAE=∠BAC,
∴∠ABE=∠C.
(2)解:
∵FD//BC,
∴∠ADF=∠C,
又
∵∠ABF=∠C,
∴∠ABF=∠ADF,
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠DAF,
在△ABF和△ADF中,
{ ∠ABF = ∠ADF, ∠BAF = ∠DAF, AF = AF ,
∴△ABF≌△ADF(AAS),
∴AB=AD,
∵AB=8,AC=10,
∴DC=AC-AD=AC-AB=10-8=2.
∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB,
在△ABC中,∠C=180°-∠BAC-∠ABC,
∵∠AEB=∠ABC,∠BAE=∠BAC,
∴∠ABE=∠C.
(2)解:
∵FD//BC,
∴∠ADF=∠C,
又
∵∠ABF=∠C,
∴∠ABF=∠ADF,
∵AF平分∠BAE,
∴∠BAF=∠DAF,
在△ABF和△ADF中,
{ ∠ABF = ∠ADF, ∠BAF = ∠DAF, AF = AF ,
∴△ABF≌△ADF(AAS),
∴AB=AD,
∵AB=8,AC=10,
∴DC=AC-AD=AC-AB=10-8=2.
解析
【分析】
(1)要证明∠ABE=∠C，可利用三角形内角和为180°推导，∠ABE和∠C分别属于△ABE和△ABC，两个三角形有公共角∠BAE（即∠BAC），且已知∠AEB=∠ABC，两个三角形中有两组角对应相等，第三组角必然相等，即可得证。
(2)要求DC的长，已知AC的长度，只需先求出AD的长度即可。由FD//BC，根据平行线的性质可得∠ADF=∠C，结合(1)的结论∠ABE=∠C，可推出∠ABF=∠ADF；再结合AF平分∠BAE得到∠BAF=∠DAF，加上公共边AF，可通过AAS证明△ABF≌△ADF，从而得到AD=AB，最后用AC的长度减去AD的长度即可求出DC的长。
【解析】
(1)证明：在△ABE中，
∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB，
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵∠AEB=∠ABC，∠BAE=∠BAC（公共角），
∴∠ABE=∠C。
(2)解：
∵FD//BC，
∴∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠ABF=∠C（(1)已证），
∴∠ABF=∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠DAF，
在△ABF和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ADF\\∠BAF = ∠DAF\\AF = AF\end{array} $
∴△ABF≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∵AB=8，AC=10，
∴DC=AC-AD=AC-AB=10-8=2。
【答案】
(1)∠ABE=∠C得证；
(2)DC的长为2。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问直接利用三角形内角和定理即可求解，难度较低；第二问需要结合平行线性质、角平分线定义，借助第一问的结论构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，侧重考查逻辑推理能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠ABE=∠C，可利用三角形内角和为180°推导，∠ABE和∠C分别属于△ABE和△ABC，两个三角形有公共角∠BAE（即∠BAC），且已知∠AEB=∠ABC，两个三角形中有两组角对应相等，第三组角必然相等，即可得证。
(2)要求DC的长，已知AC的长度，只需先求出AD的长度即可。由FD//BC，根据平行线的性质可得∠ADF=∠C，结合(1)的结论∠ABE=∠C，可推出∠ABF=∠ADF；再结合AF平分∠BAE得到∠BAF=∠DAF，加上公共边AF，可通过AAS证明△ABF≌△ADF，从而得到AD=AB，最后用AC的长度减去AD的长度即可求出DC的长。
【解析】
(1)证明：在△ABE中，
∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB，
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵∠AEB=∠ABC，∠BAE=∠BAC（公共角），
∴∠ABE=∠C。
(2)解：
∵FD//BC，
∴∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵∠ABF=∠C（(1)已证），
∴∠ABF=∠ADF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF=∠DAF，
在△ABF和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}∠ABF = ∠ADF\\∠BAF = ∠DAF\\AF = AF\end{array} $
∴△ABF≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∵AB=8，AC=10，
∴DC=AC-AD=AC-AB=10-8=2。
【答案】
(1)∠ABE=∠C得证；
(2)DC的长为2。
【知识点】
三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问直接利用三角形内角和定理即可求解，难度较低；第二问需要结合平行线性质、角平分线定义，借助第一问的结论构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段求解，侧重考查逻辑推理能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
