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9.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$(-1,0)$，$(0,-3)$，$(2,3)$三点.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案
9. 解:(1)把$(-1,0),(0,-3),(2,3)$代入 $y=ax^2+bx+c$,得
$\begin{cases} a-b+c=0, \\ c=-3, \\4a+2b+c=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=2, \\ b=-1, \\ c=-3, \end{cases}$
∴这个抛物线的表达式为 $y=2x^2-x-3$.
(2)$y=2x^2-x-3=2(x-\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{25}{8}$,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线 $x=\dfrac{1}{4}$,顶点坐标为$(\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8})$.
$\begin{cases} a-b+c=0, \\ c=-3, \\4a+2b+c=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=2, \\ b=-1, \\ c=-3, \end{cases}$
∴这个抛物线的表达式为 $y=2x^2-x-3$.
(2)$y=2x^2-x-3=2(x-\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{25}{8}$,
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线 $x=\dfrac{1}{4}$,顶点坐标为$(\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8})$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线上三个点的坐标，采用待定系数法求解：将三个点坐标分别代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解出三个系数即可确定抛物线表达式。
(2) 求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，可将求得的一般式通过配方法转化为顶点式，根据顶点式的特征直接得出结果：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
【解析】
(1) 把$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(2,3)$三点代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} a-b+c=0 \\ c=-3 \\4a+2b+c=3 \end{cases}$
将$c=-3$代入其余两个方程，化简得$\begin{cases}a-b=3 \\ 2a+b=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=2 \\ b=-1 \\ c=-3 \end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=2x^2-x-3$。
(2) 将一般式配方化为顶点式：
$y=2x^2-x-3=2(x^2-\frac{1}{2}x)-3=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8}-3=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{25}{8}$
$\because a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},-\frac{25}{8})$。
【答案】
(1) $y=2x^2-x-3$
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},-\frac{25}{8})$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，熟练掌握配方法和二次函数的基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线上三个点的坐标，采用待定系数法求解：将三个点坐标分别代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解出三个系数即可确定抛物线表达式。
(2) 求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，可将求得的一般式通过配方法转化为顶点式，根据顶点式的特征直接得出结果：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。
【解析】
(1) 把$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(2,3)$三点代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} a-b+c=0 \\ c=-3 \\4a+2b+c=3 \end{cases}$
将$c=-3$代入其余两个方程，化简得$\begin{cases}a-b=3 \\ 2a+b=3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=2 \\ b=-1 \\ c=-3 \end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=2x^2-x-3$。
(2) 将一般式配方化为顶点式：
$y=2x^2-x-3=2(x^2-\frac{1}{2}x)-3=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{8}-3=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{25}{8}$
$\because a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},-\frac{25}{8})$。
【答案】
(1) $y=2x^2-x-3$
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},-\frac{25}{8})$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图象与性质
3. 二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，熟练掌握配方法和二次函数的基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. (2026 淄博期末)在平面直角坐标系中，抛物线$y=-x^2 -1$与$x$轴的交点个数为
（
A.3
B.2
C.1
D.0
（
D
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
10. D
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，只需判断当y=0时，对应的一元二次方程的实数根的个数：方程有2个不相等的实根则交点有2个，有1个相等的实根则交点有1个，没有实根则交点个数为0。我们可以通过计算一元二次方程根的判别式Δ的符号来判断实根个数，也可以结合二次函数的图像性质直接判断。
【解析】
方法一：利用判别式判断
令y=0，可得方程：$-x^2 -1=0$，整理得$x^2 +1=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，这里$a=1$，$b=0$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即抛物线$y=-x^2 -1$与x轴没有交点。
方法二：利用二次函数性质判断
抛物线$y=-x^2 -1$的开口向下，顶点坐标为$(0,-1)$，即抛物线的最高点纵坐标为-1，始终在x轴下方，因此和x轴没有交点。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点的判断
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，两种解题方法都比较常用，熟练掌握判别式的应用或者二次函数的图像性质都能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线与x轴的交点个数，只需判断当y=0时，对应的一元二次方程的实数根的个数：方程有2个不相等的实根则交点有2个，有1个相等的实根则交点有1个，没有实根则交点个数为0。我们可以通过计算一元二次方程根的判别式Δ的符号来判断实根个数，也可以结合二次函数的图像性质直接判断。
【解析】
方法一：利用判别式判断
令y=0，可得方程：$-x^2 -1=0$，整理得$x^2 +1=0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，这里$a=1$，$b=0$，$c=1$，代入得：
$\Delta = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即抛物线$y=-x^2 -1$与x轴没有交点。
方法二：利用二次函数性质判断
抛物线$y=-x^2 -1$的开口向下，顶点坐标为$(0,-1)$，即抛物线的最高点纵坐标为-1，始终在x轴下方，因此和x轴没有交点。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点的判断
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，两种解题方法都比较常用，熟练掌握判别式的应用或者二次函数的图像性质都能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
11. (2025兴化一模)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=1$，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根为$x=6$，则另一个根为
$x=-4$
。答案
11. $x=-4$
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的根与对应二次函数和x轴交点横坐标的关系，再结合二次函数的对称性分析：二次函数图象关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的x值，我们可以根据这个等量关系设未知根，列方程求解即可。
【解析】
解：设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根为$x_1$。
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且方程的两个根是二次函数图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称
∴ 两根的平均值等于对称轴的横坐标，即$\dfrac{x_1 + 6}{2} = 1$
解得：$x_1 = 2 - 6 = -4$
【答案】
$x=-4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题的关键是掌握二次函数与对应一元二次方程根的关联，利用对称轴与两根的等量关系即可快速求解，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程的根与对应二次函数和x轴交点横坐标的关系，再结合二次函数的对称性分析：二次函数图象关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的x值，我们可以根据这个等量关系设未知根，列方程求解即可。
【解析】
解：设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根为$x_1$。
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且方程的两个根是二次函数图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称
∴ 两根的平均值等于对称轴的横坐标，即$\dfrac{x_1 + 6}{2} = 1$
解得：$x_1 = 2 - 6 = -4$
【答案】
$x=-4$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题的关键是掌握二次函数与对应一元二次方程根的关联，利用对称轴与两根的等量关系即可快速求解，是该模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
12.已知二次函数$y=x^2+x-m$。
(1)若二次函数图象与$x$轴有两个不同的交点，求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y=x^2+x-m$的部分图象如图所示，求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解。
(1)若二次函数图象与$x$轴有两个不同的交点，求$m$的取值范围；
(2)二次函数$y=x^2+x-m$的部分图象如图所示，求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解。
答案
12. 解:(1)
∵二次函数 $y=x^2+x-m$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点,即一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 有两个不相等的实数根,
∴$\Delta＞0$,即 $1+4m＞0$,
解得 $m＞-\dfrac{1}{4}$.
(2)二次函数 $y=x^2+x-m$ 图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,
∴抛物线与 $x$ 轴两个交点关于直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ 对称,
由题图可知抛物线与 $x$ 轴的一个交点为$(1,0)$,
∴另一个交点为$(-2,0)$,
∴一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 的解为 $x_1=1,x_2=-2$.
∵二次函数 $y=x^2+x-m$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点,即一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 有两个不相等的实数根,
∴$\Delta＞0$,即 $1+4m＞0$,
解得 $m＞-\dfrac{1}{4}$.
(2)二次函数 $y=x^2+x-m$ 图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,
∴抛物线与 $x$ 轴两个交点关于直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ 对称,
由题图可知抛物线与 $x$ 轴的一个交点为$(1,0)$,
∴另一个交点为$(-2,0)$,
∴一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 的解为 $x_1=1,x_2=-2$.
解析
【分析】
(1) 要确定二次函数图象与x轴有两个不同交点时m的取值范围，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，两个不同交点对应方程有两个不相等的实数根，因此只需令判别式Δ＞0，代入系数求解不等式即可。
(2) 求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解，本质是求二次函数$y=x^2+x-m$与x轴交点的横坐标。首先用对称轴公式求出二次函数的对称轴，再根据二次函数图象关于对称轴对称的性质，结合已知的一个交点坐标，推出另一个交点的坐标，即可得到方程的解。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=x^2+x-m$的图象与x轴有两个不同的交点，
∴对应的一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta＞0$。
对于方程$x^2+x-m=0$，$a=1$，$b=1$，$c=-m$，
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-m) = 1+4m$，
即$1+4m＞0$，
解得$m＞-\dfrac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×1}=-\dfrac{1}{2}$，
∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
由题图可知抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，
则$\dfrac{1+x}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
∴一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$；
(2) $x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
判别式的应用；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数与一元二次方程的联系设置问题，解题核心是掌握“二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根”这一规律，同时要熟练运用二次函数的对称性求未知交点，属于基础类重点题型，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定二次函数图象与x轴有两个不同交点时m的取值范围，可结合二次函数与一元二次方程的关系分析：二次函数图象与x轴的交点横坐标就是对应一元二次方程的根，两个不同交点对应方程有两个不相等的实数根，因此只需令判别式Δ＞0，代入系数求解不等式即可。
(2) 求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解，本质是求二次函数$y=x^2+x-m$与x轴交点的横坐标。首先用对称轴公式求出二次函数的对称轴，再根据二次函数图象关于对称轴对称的性质，结合已知的一个交点坐标，推出另一个交点的坐标，即可得到方程的解。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=x^2+x-m$的图象与x轴有两个不同的交点，
∴对应的一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta＞0$。
对于方程$x^2+x-m=0$，$a=1$，$b=1$，$c=-m$，
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×1×(-m) = 1+4m$，
即$1+4m＞0$，
解得$m＞-\dfrac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×1}=-\dfrac{1}{2}$，
∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
由题图可知抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，
则$\dfrac{1+x}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
∴一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1$，$x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$；
(2) $x_1=1$，$x_2=-2$
【知识点】
判别式的应用；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题围绕二次函数与一元二次方程的联系设置问题，解题核心是掌握“二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根”这一规律，同时要熟练运用二次函数的对称性求未知交点，属于基础类重点题型，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG，点D，G在抛物线上，若$DE:EF=3:2$，则脚手架DE的高度为
6
m.答案
13. 6
解析
【分析】
首先观察到抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$的对称轴为y轴，矩形DEFG关于y轴对称，因此EF被y轴平分。结合$DE:EF=3:2$的比例关系，我们可以通过设参数的方式表示出抛物线上点G的坐标，再将点G坐标代入抛物线解析式列方程求解，即可得到DE的高度。
【解析】
解：已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$的对称轴为y轴，矩形DEFG关于y轴对称，因此EF的中点为原点O。
设$DE=3k\ \mathrm{m}$，$EF=2k\ \mathrm{m}$（$k＞0$），则$OF=\frac{1}{2}EF=k\ \mathrm{m}$，点G的坐标为$(k,3k)$。
∵点G在抛物线上，将$x=k$，$y=3k$代入抛物线解析式得：
$3k=-\frac{1}{2}k^2 +8$
整理得：$k^2+6k-16=0$
因式分解得：$(k+8)(k-2)=0$
解得$k_1=2$，$k_2=-8$（不符合实际意义，舍去）
∴$DE=3k=3×2=6\ \mathrm{m}$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的图象与性质；矩形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类题型，解题的核心是利用抛物线的对称性简化点坐标的表示，再结合点在函数图象上的性质列方程求解，同时要注意根据实际意义舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先观察到抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$的对称轴为y轴，矩形DEFG关于y轴对称，因此EF被y轴平分。结合$DE:EF=3:2$的比例关系，我们可以通过设参数的方式表示出抛物线上点G的坐标，再将点G坐标代入抛物线解析式列方程求解，即可得到DE的高度。
【解析】
解：已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$的对称轴为y轴，矩形DEFG关于y轴对称，因此EF的中点为原点O。
设$DE=3k\ \mathrm{m}$，$EF=2k\ \mathrm{m}$（$k＞0$），则$OF=\frac{1}{2}EF=k\ \mathrm{m}$，点G的坐标为$(k,3k)$。
∵点G在抛物线上，将$x=k$，$y=3k$代入抛物线解析式得：
$3k=-\frac{1}{2}k^2 +8$
整理得：$k^2+6k-16=0$
因式分解得：$(k+8)(k-2)=0$
解得$k_1=2$，$k_2=-8$（不符合实际意义，舍去）
∴$DE=3k=3×2=6\ \mathrm{m}$
【答案】
6
【知识点】
二次函数的图象与性质；矩形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类题型，解题的核心是利用抛物线的对称性简化点坐标的表示，再结合点在函数图象上的性质列方程求解，同时要注意根据实际意义舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.7
