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14. (2026宜春期末)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(OA=1 m)弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点$P(\frac{5}{2},\frac{19}{4})$。
(1)若其身体(看成一个点)的运动路线为抛物线的一部分，求抛物线的表达式。
(2)在一次表演中，已知人梯高BC=3.4 m，演员弹跳到最高点P处后恰好落到人梯上端，为了使这次表演成功，该人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由。
(1)若其身体(看成一个点)的运动路线为抛物线的一部分，求抛物线的表达式。
(2)在一次表演中，已知人梯高BC=3.4 m，演员弹跳到最高点P处后恰好落到人梯上端，为了使这次表演成功，该人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由。
答案
14. 解:(1)
∵$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$,
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
∵$OA=1$,
∴把 $A(0,1)$ 代入 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $1=a(0-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $a=-\dfrac{3}{5}$,
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
(2)该人梯离起跳点A的水平距离OC是4 m.理由如下：
把 $y=3.4$ 代入 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $3.4=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $x_1=4,x_2=1$(不合题意,舍去),
∴人梯到起跳点A的水平距离是4 m时,这次表演是成功的.
∵$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$,
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
∵$OA=1$,
∴把 $A(0,1)$ 代入 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $1=a(0-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $a=-\dfrac{3}{5}$,
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
(2)该人梯离起跳点A的水平距离OC是4 m.理由如下：
把 $y=3.4$ 代入 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $3.4=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $x_1=4,x_2=1$(不合题意,舍去),
∴人梯到起跳点A的水平距离是4 m时,这次表演是成功的.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标$P(\frac{5}{2},\frac{19}{4})$，因此优先选用顶点式设抛物线解析式，再结合已知的A点坐标（由OA=1得A(0,1)），代入解析式即可求出未知系数a，得到抛物线表达式。
(2) 人梯高BC=3.4m，即B点的纵坐标为3.4，将y=3.4代入第一问求出的抛物线解析式，解一元二次方程得到对应的x值，由于B点在最高点P的右侧，因此舍去小于顶点横坐标的根，剩余的x值就是OC的长度，即人梯离起跳点A的水平距离。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为$P(\frac{5}{2},\frac{19}{4})$，
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$，
由OA=1可知，点A的坐标为$(0,1)$，将$A(0,1)$代入解析式得：
$1=a(0-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$，
解得 $a=-\frac{3}{5}$，
∴抛物线的表达式为 $y=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$。
(2) 该人梯离起跳点A的水平距离OC是4m，理由如下：
已知BC=3.4m，即B点纵坐标为3.4，将$y=3.4$代入$y=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$得：
$3.4=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$，
解得 $x_1=4$，$x_2=1$，
∵B点在最高点P的右侧，即$x＞\frac{5}{2}=2.5$，
∴$x_2=1$不合题意，舍去，即$OC=4m$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}}$；
(2) 该人梯离起跳点A的水平距离OC是$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合杂技表演的实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是明确实际量与平面直角坐标系中坐标的对应关系，先利用已知点求出函数解析式，再代入函数值求解对应的自变量，贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点坐标$P(\frac{5}{2},\frac{19}{4})$，因此优先选用顶点式设抛物线解析式，再结合已知的A点坐标（由OA=1得A(0,1)），代入解析式即可求出未知系数a，得到抛物线表达式。
(2) 人梯高BC=3.4m，即B点的纵坐标为3.4，将y=3.4代入第一问求出的抛物线解析式，解一元二次方程得到对应的x值，由于B点在最高点P的右侧，因此舍去小于顶点横坐标的根，剩余的x值就是OC的长度，即人梯离起跳点A的水平距离。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为$P(\frac{5}{2},\frac{19}{4})$，
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$，
由OA=1可知，点A的坐标为$(0,1)$，将$A(0,1)$代入解析式得：
$1=a(0-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$，
解得 $a=-\frac{3}{5}$，
∴抛物线的表达式为 $y=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$。
(2) 该人梯离起跳点A的水平距离OC是4m，理由如下：
已知BC=3.4m，即B点纵坐标为3.4，将$y=3.4$代入$y=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$得：
$3.4=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2+\frac{19}{4}$，
解得 $x_1=4$，$x_2=1$，
∵B点在最高点P的右侧，即$x＞\frac{5}{2}=2.5$，
∴$x_2=1$不合题意，舍去，即$OC=4m$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}}$；
(2) 该人梯离起跳点A的水平距离OC是$\boldsymbol{4\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合杂技表演的实际场景考查二次函数的应用，解题的核心是明确实际量与平面直角坐标系中坐标的对应关系，先利用已知点求出函数解析式，再代入函数值求解对应的自变量，贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.7
15.如图,抛物线$y=-(x-m)^2+9$交$x$轴于$A,B$两点,点$A$在点$B$的左侧,点$C$的坐标为$(6,0)$,$AC＜BC$,过点$C$作$CD⊥ x$轴交抛物线于点$D$,过点$D$作$DE⊥ CD$交抛物线于点$E$.
(1)若点$A$的坐标为$(4,0)$,求$DE$的长;
(2)当$DE=\frac{1}{2}AB$时,求$m$的值.
(1)若点$A$的坐标为$(4,0)$,求$DE$的长;
(2)当$DE=\frac{1}{2}AB$时,求$m$的值.
答案
15. 解:(1)把 $A(4,0)$ 代入 $y=-(x-m)^2+9$,得$-(4-m)^2+9=0$,解得 $m=1$ 或 $m=7$.
∵点A在点B的左侧,
∴$m=7$,
即抛物线的对称轴为直线 $x=7$.
∵$CD⊥x$轴,$DE⊥CD$,
∴点E与点D关于直线 $x=7$ 对称.
而点D的横坐标为6,
∴$DE=2×(7-6)=2$.
(2)当 $y=0$ 时,$-(x-m)^2+9=0$,
解得 $x_1=m-3,x_2=m+3$,
∴$A(m-3,0),B(m+3,0)$,
∴$AB=m+3-(m-3)=6$,
∴$DE=\dfrac{1}{2}AB=3$.
∵点D的横坐标为6,
∴$2(m-6)=3$,
∴$m=\dfrac{15}{2}$.
∵点A在点B的左侧,
∴$m=7$,
即抛物线的对称轴为直线 $x=7$.
∵$CD⊥x$轴,$DE⊥CD$,
∴点E与点D关于直线 $x=7$ 对称.
而点D的横坐标为6,
∴$DE=2×(7-6)=2$.
(2)当 $y=0$ 时,$-(x-m)^2+9=0$,
解得 $x_1=m-3,x_2=m+3$,
∴$A(m-3,0),B(m+3,0)$,
∴$AB=m+3-(m-3)=6$,
∴$DE=\dfrac{1}{2}AB=3$.
∵点D的横坐标为6,
∴$2(m-6)=3$,
∴$m=\dfrac{15}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求DE长度的思路：首先将点A的坐标代入抛物线解析式，求出m的可能取值，再结合AC＜BC、A在B左侧的条件筛选出符合要求的m值，得到抛物线的对称轴。由于CD垂直x轴、DE垂直CD，可知DE平行于x轴，抛物线上平行于x轴的两个点关于对称轴对称，因此DE的长度是点D到对称轴距离的2倍，已知D点横坐标为6，代入计算即可得到DE的长。
(2) 求m值的思路：先令抛物线解析式中y=0，解方程得到A、B两点的坐标，计算出AB的长度，即可求出DE的长度。再结合D、E关于对称轴对称的性质，建立DE长度与对称轴、D点横坐标的等量关系，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 把$A(4,0)$代入$y=-(x-m)^2+9$，得：
$-(4-m)^2+9=0$
解得 $m=1$ 或 $m=7$
当$m=1$时，抛物线与x轴交点为$(-2,0)$和$(4,0)$，此时$AC=8$，$BC=2$，不满足$AC＜BC$，舍去；当$m=7$时，抛物线与x轴交点为$(4,0)$和$(10,0)$，$AC=2$，$BC=4$，满足$AC＜BC$。
$\therefore m=7$，即抛物线的对称轴为直线 $x=7$。
$\because CD⊥ x$轴，$DE⊥ CD$，
$\therefore DE// x$轴，点D与点E关于直线 $x=7$ 对称。
$\because$点D的横坐标为6，
$\therefore DE=2×(7-6)=2$。
(2) 当 $y=0$ 时，$-(x-m)^2+9=0$，
解得 $x_1=m-3,x_2=m+3$，
$\therefore A(m-3,0),B(m+3,0)$，
$\therefore AB=m+3-(m-3)=6$，
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB=3$。
$\because$点D的横坐标为6，D、E关于对称轴$x=m$对称，
$\therefore 2(m-6)=3$，
解得 $m=\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{15}{2}}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与坐标轴交点，二次函数顶点式性质
【点评】
本题主要考查二次函数顶点式的相关应用，解题的核心是利用抛物线的对称性求解平行于x轴的弦长，解题时需注意结合题设的限制条件筛选参数的取值，属于二次函数基础综合题，熟练掌握二次函数的基本性质可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求DE长度的思路：首先将点A的坐标代入抛物线解析式，求出m的可能取值，再结合AC＜BC、A在B左侧的条件筛选出符合要求的m值，得到抛物线的对称轴。由于CD垂直x轴、DE垂直CD，可知DE平行于x轴，抛物线上平行于x轴的两个点关于对称轴对称，因此DE的长度是点D到对称轴距离的2倍，已知D点横坐标为6，代入计算即可得到DE的长。
(2) 求m值的思路：先令抛物线解析式中y=0，解方程得到A、B两点的坐标，计算出AB的长度，即可求出DE的长度。再结合D、E关于对称轴对称的性质，建立DE长度与对称轴、D点横坐标的等量关系，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 把$A(4,0)$代入$y=-(x-m)^2+9$，得：
$-(4-m)^2+9=0$
解得 $m=1$ 或 $m=7$
当$m=1$时，抛物线与x轴交点为$(-2,0)$和$(4,0)$，此时$AC=8$，$BC=2$，不满足$AC＜BC$，舍去；当$m=7$时，抛物线与x轴交点为$(4,0)$和$(10,0)$，$AC=2$，$BC=4$，满足$AC＜BC$。
$\therefore m=7$，即抛物线的对称轴为直线 $x=7$。
$\because CD⊥ x$轴，$DE⊥ CD$，
$\therefore DE// x$轴，点D与点E关于直线 $x=7$ 对称。
$\because$点D的横坐标为6，
$\therefore DE=2×(7-6)=2$。
(2) 当 $y=0$ 时，$-(x-m)^2+9=0$，
解得 $x_1=m-3,x_2=m+3$，
$\therefore A(m-3,0),B(m+3,0)$，
$\therefore AB=m+3-(m-3)=6$，
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB=3$。
$\because$点D的横坐标为6，D、E关于对称轴$x=m$对称，
$\therefore 2(m-6)=3$，
解得 $m=\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{15}{2}}$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与坐标轴交点，二次函数顶点式性质
【点评】
本题主要考查二次函数顶点式的相关应用，解题的核心是利用抛物线的对称性求解平行于x轴的弦长，解题时需注意结合题设的限制条件筛选参数的取值，属于二次函数基础综合题，熟练掌握二次函数的基本性质可快速求解。
【难度系数】
0.7
