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1. 锐角的余弦
如图，在直角三角形中，锐角A的
如图，在直角三角形中，锐角A的
邻边
与斜边
的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即cos A=$\dfrac{∠ A的邻边}{斜边}$
=$\dfrac{b}{c}$
。答案
1. 邻边 斜边 $\dfrac{∠ A的邻边}{斜边}$ $\dfrac{b}{c}$
解析
【分析】
这道题考查锐角余弦的基本定义，解题时首先回忆直角三角形中锐角余弦的概念：对于直角三角形中的一个锐角，余弦是其邻边和斜边的比值。接下来结合题图对应边的标注，∠C为直角，∠A的邻边是长度为b的AC边，斜边是长度为c的AB边，对应填入定义内容即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。
根据定义可得$\cos A=\dfrac{∠A的邻边}{斜边}$，结合图形中边的标注，∠A的邻边$AC=b$，斜边$AB=c$，因此$\cos A$也可表示为$\dfrac{b}{c}$。
【答案】
邻边；斜边；$\dfrac{∠ A的邻边}{斜边}$；$\dfrac{b}{c}$
【知识点】
余弦的定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对锐角余弦定义的掌握，只要熟记余弦是邻边与斜边的比值，能正确识别直角三角形中锐角对应的邻边、斜边，即可轻松解答，是学习锐角三角函数的入门基础题。
【难度系数】
0.9
这道题考查锐角余弦的基本定义，解题时首先回忆直角三角形中锐角余弦的概念：对于直角三角形中的一个锐角，余弦是其邻边和斜边的比值。接下来结合题图对应边的标注，∠C为直角，∠A的邻边是长度为b的AC边，斜边是长度为c的AB边，对应填入定义内容即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角余弦的定义：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。
根据定义可得$\cos A=\dfrac{∠A的邻边}{斜边}$，结合图形中边的标注，∠A的邻边$AC=b$，斜边$AB=c$，因此$\cos A$也可表示为$\dfrac{b}{c}$。
【答案】
邻边；斜边；$\dfrac{∠ A的邻边}{斜边}$；$\dfrac{b}{c}$
【知识点】
余弦的定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对锐角余弦定义的掌握，只要熟记余弦是邻边与斜边的比值，能正确识别直角三角形中锐角对应的邻边、斜边，即可轻松解答，是学习锐角三角函数的入门基础题。
【难度系数】
0.9
【例2】(2025深圳月考)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，则$\cos A$的值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
答案
A
解析
【分析】
解题时先确定目标是求$\cos A$的值，首先需要先求出$∠ A$的度数：我们知道三角形内角和为$180°$，结合题目给出的直角三角形中$∠ C=90°$、$∠ B=30°$的条件，就能算出$∠ A$的大小；再根据记忆的特殊角的三角函数值，代入$∠ A$的度数就可以得到结果，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-30°=60°$
根据特殊角的三角函数值可知：$\cos60°=\frac{1}{2}$，即$\cos A=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形内角性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊角三角函数值的计算，只要掌握直角三角形的角度关系和常见特殊角的三角函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先确定目标是求$\cos A$的值，首先需要先求出$∠ A$的度数：我们知道三角形内角和为$180°$，结合题目给出的直角三角形中$∠ C=90°$、$∠ B=30°$的条件，就能算出$∠ A$的大小；再根据记忆的特殊角的三角函数值，代入$∠ A$的度数就可以得到结果，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ A=180°-∠ C-∠ B=180°-90°-30°=60°$
根据特殊角的三角函数值可知：$\cos60°=\frac{1}{2}$，即$\cos A=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形内角性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查特殊角三角函数值的计算，只要掌握直角三角形的角度关系和常见特殊角的三角函数值就能快速求解。
【难度系数】
0.9
【例3】若$\sin(70° - α)=\cos50°$，则$α$的大小是（
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆互余两角的三角函数关系：若两个锐角的和为90°，则其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，即$\sin A = \cos(90° - A)$。我们可以先把等式右侧的余弦函数转化为正弦函数，让等式两边为同名三角函数，此时对应角度相等，即可列方程求出α的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：$\cos50° = \sin(90° - 50°) = \sin40°$，
将其代入原等式得：$\sin(70° - α) = \sin40°$，
因为α为锐角，等式两边正弦值相等则对应角度相等，因此：
$70° - α = 40°$
解得：$α = 70° - 40° = 30°$
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数性质、角度方程计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余两角三角函数的转换规则，只要熟练掌握相关性质，将等式两侧化为同名三角函数即可快速求解，是三角函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆互余两角的三角函数关系：若两个锐角的和为90°，则其中一个角的正弦值等于另一个角的余弦值，即$\sin A = \cos(90° - A)$。我们可以先把等式右侧的余弦函数转化为正弦函数，让等式两边为同名三角函数，此时对应角度相等，即可列方程求出α的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：$\cos50° = \sin(90° - 50°) = \sin40°$，
将其代入原等式得：$\sin(70° - α) = \sin40°$，
因为α为锐角，等式两边正弦值相等则对应角度相等，因此：
$70° - α = 40°$
解得：$α = 70° - 40° = 30°$
【答案】
B
【知识点】
互余角的三角函数性质、角度方程计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查互余两角三角函数的转换规则，只要熟练掌握相关性质，将等式两侧化为同名三角函数即可快速求解，是三角函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
【变式】已知α为锐角，则$\sinα - \cos(90° - α)=$
0
。答案
0
解析
【分析】
首先观察式子中出现了α和90°-α，二者互为余角，可联想到互余两角的三角函数关系：任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即$\cos(90°-α)=\sinα$，将该关系代入原式化简即可得到结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数性质：对于锐角α，有$\cos(90°-α)=\sinα$，
将其代入原式计算：
$\sinα - \cos(90°-α)=\sinα - \sinα=0$
【答案】
0
【知识点】
互余角的三角函数关系、整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对互余角三角函数转换关系的识记与应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先观察式子中出现了α和90°-α，二者互为余角，可联想到互余两角的三角函数关系：任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即$\cos(90°-α)=\sinα$，将该关系代入原式化简即可得到结果。
【解析】
根据互余两角的三角函数性质：对于锐角α，有$\cos(90°-α)=\sinα$，
将其代入原式计算：
$\sinα - \cos(90°-α)=\sinα - \sinα=0$
【答案】
0
【知识点】
互余角的三角函数关系、整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对互余角三角函数转换关系的识记与应用，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
【例4】（1）$\sin 40° \approx$
（2）$\sin 68° 36' \approx$
（3）若$\sin α = 0.5325$，则锐角$α \approx$
（4）若$\cos α = 0.7695$，则锐角$α \approx$
0.642 8
，$\cos 73° \approx$ 0.292 4
（精确到0.0001）；（2）$\sin 68° 36' \approx$
0.931 1
，$\cos 54° 6' \approx$ 0.586 4
（精确到0.0001）；（3）若$\sin α = 0.5325$，则锐角$α \approx$
$32°10'28''$
（精确到$1''$）；（4）若$\cos α = 0.7695$，则锐角$α \approx$
$40°$
（精确到$1°$）。答案
(1) 0.642 8 0.292 4
(2) 0.931 1 0.586 4
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
(2) 0.931 1 0.586 4
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
解析
【分析】
本题考查锐角三角函数的相关计算，均需借助科学计算器完成，解题思路如下：1. 首先将计算器调整为角度（DEG）模式；2. 已知角度求正弦、余弦值时，直接输入对应角度（含度分秒的角度可先将分换算为度，或直接用度分秒键输入），再按对应的sin、cos键得到结果，按要求保留四位小数；3. 已知三角函数值求锐角时，需调用反三角函数（按shift/2ndf键+sin/cos键），输入函数值得到角度结果，再根据精确度要求换算为度分秒或取整。
【解析】
（1）将计算器调至角度模式，输入$\sin40°$，得到结果约为0.6428；输入$\cos73°$，得到结果约为0.2924。
（2）先将度分秒转换为度：$36'=36÷60=0.6°$，故$68°36'=68.6°$，输入$\sin68.6°$，得结果约为0.9311；$6'=6÷60=0.1°$，故$54°6'=54.1°$，输入$\cos54.1°$，得结果约为0.5864。
（3）调用反正弦函数，输入$\arcsin0.5325$，得到角度约为$32.1745°$，将小数部分换算为分：$0.1745×60\approx10.47'$，再将分的小数部分换算为秒：$0.47×60\approx28''$，故$α\approx32°10'28''$。
（4）调用反余弦函数，输入$\arccos0.7695$，得到角度约为$39.7°$，精确到$1°$，四舍五入得$40°$。
【答案】
(1) $0.6428$，$0.2924$
(2) $0.9311$，$0.5864$
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
【知识点】
1. 锐角三角函数求值
2. 反三角函数求角度
3. 度分秒换算
【点评】
本题重点考查科学计算器在三角函数运算中的使用，解题时需注意提前确认计算器为角度模式，涉及度分秒运算时要牢记度、分、秒之间的进率为60，最终结果要严格符合题目要求的精确度。
【难度系数】
0.8
本题考查锐角三角函数的相关计算，均需借助科学计算器完成，解题思路如下：1. 首先将计算器调整为角度（DEG）模式；2. 已知角度求正弦、余弦值时，直接输入对应角度（含度分秒的角度可先将分换算为度，或直接用度分秒键输入），再按对应的sin、cos键得到结果，按要求保留四位小数；3. 已知三角函数值求锐角时，需调用反三角函数（按shift/2ndf键+sin/cos键），输入函数值得到角度结果，再根据精确度要求换算为度分秒或取整。
【解析】
（1）将计算器调至角度模式，输入$\sin40°$，得到结果约为0.6428；输入$\cos73°$，得到结果约为0.2924。
（2）先将度分秒转换为度：$36'=36÷60=0.6°$，故$68°36'=68.6°$，输入$\sin68.6°$，得结果约为0.9311；$6'=6÷60=0.1°$，故$54°6'=54.1°$，输入$\cos54.1°$，得结果约为0.5864。
（3）调用反正弦函数，输入$\arcsin0.5325$，得到角度约为$32.1745°$，将小数部分换算为分：$0.1745×60\approx10.47'$，再将分的小数部分换算为秒：$0.47×60\approx28''$，故$α\approx32°10'28''$。
（4）调用反余弦函数，输入$\arccos0.7695$，得到角度约为$39.7°$，精确到$1°$，四舍五入得$40°$。
【答案】
(1) $0.6428$，$0.2924$
(2) $0.9311$，$0.5864$
(3) $32°10'28''$
(4) $40°$
【知识点】
1. 锐角三角函数求值
2. 反三角函数求角度
3. 度分秒换算
【点评】
本题重点考查科学计算器在三角函数运算中的使用，解题时需注意提前确认计算器为角度模式，涉及度分秒运算时要牢记度、分、秒之间的进率为60，最终结果要严格符合题目要求的精确度。
【难度系数】
0.8
【例1】如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=2$，求$\cos B$的值。
答案
解:$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°,AC=6,BC=2$，
$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
$\therefore \cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
$\therefore AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
$\therefore \cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
解析
【分析】
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠C$是直角，因此斜边为$AB$，$∠B$的邻边是$BC$，对边是$AC$。已知$BC=2$，$AC=6$，斜边$AB$未知，所以第一步先用勾股定理求出$AB$的长度，再代入余弦的定义计算比值，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°,AC=6,BC=2$，
$\therefore$ 由勾股定理得，$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
根据余弦的定义，$\cos B=\dfrac{∠B的邻边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 余弦的定义
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用类题目，解题的核心是准确找到对应锐角的邻边和斜边，同时要注意三角函数的计算结果需化为最简形式，避免出现分母带根号的情况。
【难度系数】
0.8
要求$\cos B$的值，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠C$是直角，因此斜边为$AB$，$∠B$的邻边是$BC$，对边是$AC$。已知$BC=2$，$AC=6$，斜边$AB$未知，所以第一步先用勾股定理求出$AB$的长度，再代入余弦的定义计算比值，最后将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°,AC=6,BC=2$，
$\therefore$ 由勾股定理得，$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
根据余弦的定义，$\cos B=\dfrac{∠B的邻边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 余弦的定义
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用类题目，解题的核心是准确找到对应锐角的邻边和斜边，同时要注意三角函数的计算结果需化为最简形式，避免出现分母带根号的情况。
【难度系数】
0.8
1. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $AC=8$, $AB=10$, 则 $\cos A=$ (
A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
D
)A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
D
解析
【分析】
要计算$\cos A$，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠ A$的邻边和斜边：$∠ C$为直角，因此斜边是$AB$，$∠ A$的邻边是与$∠ A$相邻且不是斜边的边$AC$，已知$AC=8$，$AB=10$，直接代入比值公式即可计算出结果，无需额外计算其余边长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=8$，$AB=10$，代入得：
$\cos A=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数中余弦定义的掌握，解题时要注意区分正弦、余弦、正切的对应比值，避免混淆邻边、对边和斜边即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要计算$\cos A$，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。首先确定$\mathrm{Rt}△ABC$中$∠ A$的邻边和斜边：$∠ C$为直角，因此斜边是$AB$，$∠ A$的邻边是与$∠ A$相邻且不是斜边的边$AC$，已知$AC=8$，$AB=10$，直接代入比值公式即可计算出结果，无需额外计算其余边长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角余弦的定义：
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
已知$AC=8$，$AB=10$，代入得：
$\cos A=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对锐角三角函数中余弦定义的掌握，解题时要注意区分正弦、余弦、正切的对应比值，避免混淆邻边、对边和斜边即可正确作答。
【难度系数】
0.8
2. $\cos 60°$的倒数是 （
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$2$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
答案
C
解析
【分析】
解这道题需要分两步思考：第一步先回忆特殊角的三角函数值，求出$\cos60°$的具体数值；第二步根据倒数的定义，计算出该数值的倒数，再匹配对应选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 先计算$\cos60°$的值：根据特殊角的三角函数值，可得$\cos60°=\frac{1}{2}$；
2. 再求$\frac{1}{2}$的倒数：根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），可得$\frac{1}{2}$的倒数为$1÷\frac{1}{2}=2$，即$\cos60°$的倒数是2。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，倒数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查基础概念的掌握情况，熟记常见特殊角的三角函数值、理解倒数的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解这道题需要分两步思考：第一步先回忆特殊角的三角函数值，求出$\cos60°$的具体数值；第二步根据倒数的定义，计算出该数值的倒数，再匹配对应选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 先计算$\cos60°$的值：根据特殊角的三角函数值，可得$\cos60°=\frac{1}{2}$；
2. 再求$\frac{1}{2}$的倒数：根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），可得$\frac{1}{2}$的倒数为$1÷\frac{1}{2}=2$，即$\cos60°$的倒数是2。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值，倒数的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查基础概念的掌握情况，熟记常见特殊角的三角函数值、理解倒数的定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
