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3. (2025 泉州月考)如图,在$Rt△ ABC$中, $∠ C=90°,AB=4,AC=3$,则$\cos B=$（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
C
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要计算$\cos B$，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中已知斜边$AB=4$，但$∠ B$的邻边$BC$长度未知，因此先通过勾股定理求出$BC$的长度，再代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$
代入$AB=4$，$AC=3$得：
$BC=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
根据余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
代入$BC=\sqrt{7}$，$AB=4$得：
$\cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题的核心是熟练掌握勾股定理和余弦的定义，先求出所需未知边的长度，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
要计算$\cos B$，首先回忆锐角余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。本题中已知斜边$AB=4$，但$∠ B$的邻边$BC$长度未知，因此先通过勾股定理求出$BC$的长度，再代入余弦定义计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$
代入$AB=4$，$AC=3$得：
$BC=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
根据余弦的定义，$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$
代入$BC=\sqrt{7}$，$AB=4$得：
$\cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，解题的核心是熟练掌握勾股定理和余弦的定义，先求出所需未知边的长度，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
4. 用计算器计算：
(1)$\sin 62° 20' \approx$
(2)若$\cos α = 0.966\ 9$，$α$为锐角，则$α \approx$
(1)$\sin 62° 20' \approx$
0.885 7
(精确到0.0001)；(2)若$\cos α = 0.966\ 9$，$α$为锐角，则$α \approx$
$14.8°$
(精确到$0.1°$)。答案
(1) 0.885 7
(2) $14.8°$
(2) $14.8°$
解析
【分析】
本题考查利用计算器进行锐角三角函数的相关计算，解题思路如下：
(1) 求已知锐角的正弦值：首先需将计算器调整为角度模式，再将62°20'输入计算器（或先把分换算为度再输入），按下正弦键得到结果后，按要求精确到0.0001即可。
(2) 已知锐角的余弦值求角度：在角度模式下，调用计算器的反余弦功能，输入余弦值0.9669，得到角度后精确到0.1°即可。
【解析】
(1) 先将计算器切换为角度（DEG）模式，将20'换算为度：$20'=\frac{20}{60}°\approx0.33333°$，因此$62°20'\approx62.33333°$，按下sin键计算得：
$\sin62°20'\approx\sin62.33333°\approx0.8857$（精确到0.0001）。
(2) 保持计算器为角度模式，按下反余弦（$\cos^{-1}$）键，输入数值0.9669，计算得：
$α\approx14.8°$（精确到0.1°）。
【答案】
(1) $0.8857$
(2) $14.8°$
【知识点】
1. 计算器求三角函数值
2. 已知三角函数值求锐角
【点评】
本题是三角函数的基础运算题，重点考查计算器的操作规范，计算时需注意先确认计算器处于角度模式，取近似值时要严格符合精确度要求。
【难度系数】
0.8
本题考查利用计算器进行锐角三角函数的相关计算，解题思路如下：
(1) 求已知锐角的正弦值：首先需将计算器调整为角度模式，再将62°20'输入计算器（或先把分换算为度再输入），按下正弦键得到结果后，按要求精确到0.0001即可。
(2) 已知锐角的余弦值求角度：在角度模式下，调用计算器的反余弦功能，输入余弦值0.9669，得到角度后精确到0.1°即可。
【解析】
(1) 先将计算器切换为角度（DEG）模式，将20'换算为度：$20'=\frac{20}{60}°\approx0.33333°$，因此$62°20'\approx62.33333°$，按下sin键计算得：
$\sin62°20'\approx\sin62.33333°\approx0.8857$（精确到0.0001）。
(2) 保持计算器为角度模式，按下反余弦（$\cos^{-1}$）键，输入数值0.9669，计算得：
$α\approx14.8°$（精确到0.1°）。
【答案】
(1) $0.8857$
(2) $14.8°$
【知识点】
1. 计算器求三角函数值
2. 已知三角函数值求锐角
【点评】
本题是三角函数的基础运算题，重点考查计算器的操作规范，计算时需注意先确认计算器处于角度模式，取近似值时要严格符合精确度要求。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=\frac{36}{5},AB=9$,求 $\cosα,\cosβ$ 的值.
答案
解:$\because ∠ C=90°,AB=9,AC=\dfrac{36}{5}$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\dfrac{27}{5}$，
$\therefore \cos α=\dfrac{\dfrac{36}{5}}{9}=\dfrac{4}{5},\cos β=\dfrac{\dfrac{27}{5}}{9}=\dfrac{3}{5}$。
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\dfrac{27}{5}$，
$\therefore \cos α=\dfrac{\dfrac{36}{5}}{9}=\dfrac{4}{5},\cos β=\dfrac{\dfrac{27}{5}}{9}=\dfrac{3}{5}$。
解析
【分析】
本题为直角三角形中锐角余弦值的求解问题，解题思路可分为三步：首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值，要计算$\cosα$和$\cosβ$，需要先明确两个角对应的邻边、以及斜边的长度；其次已知斜边$AB$和直角边$AC$的长度，可通过勾股定理先求出未知直角边$BC$的长度；最后分别将$α$的邻边$AC$、$β$的邻边$BC$，结合斜边$AB$代入余弦定义计算比值即可。
【解析】
解：$\because ∠C=90°$，$AB=9$，$AC=\frac{36}{5}$，
$\therefore$ 由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-(\frac{36}{5})^2}=\sqrt{81-\frac{1296}{25}}=\sqrt{\frac{2025-1296}{25}}=\sqrt{\frac{729}{25}}=\frac{27}{5}$
根据锐角余弦的定义：
$\cosα=\frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{36}{5}}{9}=\frac{4}{5}$
$\cosβ=\frac{∠β的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{27}{5}}{9}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\cosα=\frac{4}{5}$，$\cosβ=\frac{3}{5}$
【知识点】
勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题关键是牢记锐角余弦是对应角的邻边与斜边的比值，注意区分两个锐角的邻边，计算过程中细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题为直角三角形中锐角余弦值的求解问题，解题思路可分为三步：首先回忆锐角余弦的定义：锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值，要计算$\cosα$和$\cosβ$，需要先明确两个角对应的邻边、以及斜边的长度；其次已知斜边$AB$和直角边$AC$的长度，可通过勾股定理先求出未知直角边$BC$的长度；最后分别将$α$的邻边$AC$、$β$的邻边$BC$，结合斜边$AB$代入余弦定义计算比值即可。
【解析】
解：$\because ∠C=90°$，$AB=9$，$AC=\frac{36}{5}$，
$\therefore$ 由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{9^2-(\frac{36}{5})^2}=\sqrt{81-\frac{1296}{25}}=\sqrt{\frac{2025-1296}{25}}=\sqrt{\frac{729}{25}}=\frac{27}{5}$
根据锐角余弦的定义：
$\cosα=\frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{36}{5}}{9}=\frac{4}{5}$
$\cosβ=\frac{∠β的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{27}{5}}{9}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\cosα=\frac{4}{5}$，$\cosβ=\frac{3}{5}$
【知识点】
勾股定理，余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题关键是牢记锐角余弦是对应角的邻边与斜边的比值，注意区分两个锐角的邻边，计算过程中细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1) $-2^2 + 2\cos 60° + (-3)^0 - (-\dfrac{1}{3})^{-1}$；
(2) $\sqrt{9} - (π - 3.14)^0 + (\dfrac{1}{4})^{-1} + |\sqrt{3}| - 2\cos 30°$。
(1) $-2^2 + 2\cos 60° + (-3)^0 - (-\dfrac{1}{3})^{-1}$；
(2) $\sqrt{9} - (π - 3.14)^0 + (\dfrac{1}{4})^{-1} + |\sqrt{3}| - 2\cos 30°$。
答案
(1) 原式$=-4+2× \dfrac{1}{2}+1-(-3)=-4+1+1+3=1$。
(2) 原式$=3-1+4+\sqrt{3}-2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}=6$。
(2) 原式$=3-1+4+\sqrt{3}-2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}=6$。
解析
【分析】
这两道题均为实数混合运算题，解题遵循“先拆分计算各专项运算，再合并求值”的思路：第一步先识别每一项对应的运算类型，包含乘方运算、特殊角三角函数值计算、零指数幂运算、负整数指数幂运算、算术平方根计算、绝对值化简；第二步分别代入对应法则计算每一项的值，注意区分$-2^2$与$(-2)^2$的符号差异，非零数的零指数幂结果为1，负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，牢记特殊角的三角函数值；第三步按照从左到右的顺序计算加减法，合并得到最终结果。
【解析】
(1) 先分别计算每一项：
$-2^2=-4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$(-3)^0=1$，$(-\frac{1}{3})^{-1}=-3$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-4+2× \dfrac{1}{2}+1-(-3)\\&=-4+1+1+3\\&=1\end{aligned}$
(2) 先分别计算每一项：
$\sqrt{9}=3$，$(π-3.14)^0=1$，$(\frac{1}{4})^{-1}=4$，$|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=3-1+4+\sqrt{3}-2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&=3-1+4+\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
实数混合运算；特殊角的三角函数值；零指数与负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对实数各类运算法则的掌握程度，解题核心是准确记忆相关公式和特殊值，计算时注意符号问题即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题均为实数混合运算题，解题遵循“先拆分计算各专项运算，再合并求值”的思路：第一步先识别每一项对应的运算类型，包含乘方运算、特殊角三角函数值计算、零指数幂运算、负整数指数幂运算、算术平方根计算、绝对值化简；第二步分别代入对应法则计算每一项的值，注意区分$-2^2$与$(-2)^2$的符号差异，非零数的零指数幂结果为1，负整数指数幂满足$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，牢记特殊角的三角函数值；第三步按照从左到右的顺序计算加减法，合并得到最终结果。
【解析】
(1) 先分别计算每一项：
$-2^2=-4$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$(-3)^0=1$，$(-\frac{1}{3})^{-1}=-3$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-4+2× \dfrac{1}{2}+1-(-3)\\&=-4+1+1+3\\&=1\end{aligned}$
(2) 先分别计算每一项：
$\sqrt{9}=3$，$(π-3.14)^0=1$，$(\frac{1}{4})^{-1}=4$，$|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=3-1+4+\sqrt{3}-2× \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\&=3-1+4+\sqrt{3}-\sqrt{3}\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
实数混合运算；特殊角的三角函数值；零指数与负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对实数各类运算法则的掌握程度，解题核心是准确记忆相关公式和特殊值，计算时注意符号问题即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
7. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\frac{1}{2}$，则$△ ABC$的形状是 （
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
C
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要利用已知的∠A、∠B的三角函数值，结合二者都是锐角的条件，回忆特殊锐角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°计算出∠C的度数，最后根据三个角的大小判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$∠ A=45°$
∵∠B是锐角，$\cos B=\frac{1}{2}$，且$\cos60°=\frac{1}{2}$
∴$∠ B=60°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$
∵$∠ A=45°$，$∠ B=60°$，$∠ C=75°$，三个角都为锐角
∴$△ ABC$是锐角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.三角形内角和 3.三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，只要能准确记忆特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用已知的∠A、∠B的三角函数值，结合二者都是锐角的条件，回忆特殊锐角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°计算出∠C的度数，最后根据三个角的大小判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵∠A是锐角，$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴$∠ A=45°$
∵∠B是锐角，$\cos B=\frac{1}{2}$，且$\cos60°=\frac{1}{2}$
∴$∠ B=60°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-45°-60°=75°$
∵$∠ A=45°$，$∠ B=60°$，$∠ C=75°$，三个角都为锐角
∴$△ ABC$是锐角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.三角形内角和 3.三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，只要能准确记忆特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD\bot AC$于点$D$,$AB=10$,$\cos A=\dfrac{4}{5}$,求$BC$的长.
答案
解:由已知得,$AC=AB=10$。
$\because BD⊥ AC,\therefore ∠ ADB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\cos A=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AD=8,DC=AC-AD=10-8=2$，
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中,$BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
$\because BD⊥ AC,\therefore ∠ ADB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\cos A=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AD=8,DC=AC-AD=10-8=2$，
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BDC$中,$BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
首先根据等腰三角形两腰相等的性质，可得出AC的长度等于AB为10；已知BD垂直AC，可得△ABD和△BDC均为直角三角形，先在Rt△ABD中利用余弦的定义求出AD的长度，进而求出DC的长度；再通过勾股定理算出BD的长度，最后在Rt△BDC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AB=10$，$\therefore AC=10$。
$\because BD⊥ AC$，$\therefore ∠ ADB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos A=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AD=10×\dfrac{4}{5}=8$，
$\therefore DC=AC-AD=10-8=2$。
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是三角形与锐角三角函数结合的基础计算题，解题关键是将待求线段转化到直角三角形中，结合三角函数定义和勾股定理分步求解，属于常规常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形两腰相等的性质，可得出AC的长度等于AB为10；已知BD垂直AC，可得△ABD和△BDC均为直角三角形，先在Rt△ABD中利用余弦的定义求出AD的长度，进而求出DC的长度；再通过勾股定理算出BD的长度，最后在Rt△BDC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AB=10$，$\therefore AC=10$。
$\because BD⊥ AC$，$\therefore ∠ ADB=∠ BDC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos A=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{4}{5}$，
$\therefore AD=10×\dfrac{4}{5}=8$，
$\therefore DC=AC-AD=10-8=2$。
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BD^2+DC^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是三角形与锐角三角函数结合的基础计算题，解题关键是将待求线段转化到直角三角形中，结合三角函数定义和勾股定理分步求解，属于常规常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列等式：
①$\sin 30°=\dfrac{1}{2},\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
②$\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
③$\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos 60°=\dfrac{1}{2}.$
根据上述规律，若$α$为锐角，则计算$\sin^{2}α +\sin^{2}(90°-α)=$
①$\sin 30°=\dfrac{1}{2},\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2};$
②$\sin 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\cos 45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2};$
③$\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\cos 60°=\dfrac{1}{2}.$
根据上述规律，若$α$为锐角，则计算$\sin^{2}α +\sin^{2}(90°-α)=$
1
.答案
1
解析
【分析】
我们可以通过两种思路解题：一是从特殊到一般，先代入题干给出的特殊锐角值计算式子的结果，归纳出规律；二是用三角函数性质直接推导，先回忆互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，再结合同角三角函数的平方和关系即可得出结论。
【解析】
方法1：性质推导
∵$α$是锐角，
∴$90°-α$与$α$互余，根据互余角的三角函数性质可得$\sin(90°-α)=\cosα$。
代入原式得：
$\sin^2α + \sin^2(90°-α)=\sin^2α + \cos^2α$
根据同角三角函数的基本关系，对任意锐角$α$都有$\sin^2α + \cos^2α=1$，因此原式结果为1。
方法2：特殊值验证
分别代入题干给出的特殊锐角计算：
当$α=30°$时：$\sin^230°+\sin^260°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
当$α=45°$时：$\sin^245°+\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$
当$α=60°$时：$\sin^260°+\sin^230°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$
综上可得式子结果为1。
【答案】
1
【知识点】
互余角三角函数关系，同角三角函数平方关系，规律探究
【点评】
本题兼顾规律探究和基础性质应用两种考查方向，学生既可以通过代入特殊值快速得到答案，也可以通过三角函数性质直接推导，能很好地检验对三角函数基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
我们可以通过两种思路解题：一是从特殊到一般，先代入题干给出的特殊锐角值计算式子的结果，归纳出规律；二是用三角函数性质直接推导，先回忆互余两角的三角函数关系：$\sin(90°-α)=\cosα$，再结合同角三角函数的平方和关系即可得出结论。
【解析】
方法1：性质推导
∵$α$是锐角，
∴$90°-α$与$α$互余，根据互余角的三角函数性质可得$\sin(90°-α)=\cosα$。
代入原式得：
$\sin^2α + \sin^2(90°-α)=\sin^2α + \cos^2α$
根据同角三角函数的基本关系，对任意锐角$α$都有$\sin^2α + \cos^2α=1$，因此原式结果为1。
方法2：特殊值验证
分别代入题干给出的特殊锐角计算：
当$α=30°$时：$\sin^230°+\sin^260°=(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$
当$α=45°$时：$\sin^245°+\sin^245°=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$
当$α=60°$时：$\sin^260°+\sin^230°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$
综上可得式子结果为1。
【答案】
1
【知识点】
互余角三角函数关系，同角三角函数平方关系，规律探究
【点评】
本题兼顾规律探究和基础性质应用两种考查方向，学生既可以通过代入特殊值快速得到答案，也可以通过三角函数性质直接推导，能很好地检验对三角函数基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
