登录
1. 下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是 【 】
A.$\sqrt{0.3}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{18}$
A.$\sqrt{0.3}$
B.$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
D.$\sqrt{18}$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个二次根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：先把所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐个化简四个选项的二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3即可。
【解析】
先将各选项的二次根式化为最简二次根式：
A. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，被开方数为30，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查同类二次根式的判断方法，易错点是部分学生未将二次根式化简为最简形式就直接判断被开方数导致出错，掌握二次根式的化简规则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式与$\sqrt{3}$是同类二次根式，首先明确同类二次根式的判定规则：先把所有二次根式化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，则为同类二次根式。因此解题步骤为：先逐个化简四个选项的二次根式，再对比化简后的被开方数是否为3即可。
【解析】
先将各选项的二次根式化为最简二次根式：
A. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\dfrac{\sqrt{30}}{10}$，被开方数为30，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，被开方数为3，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，与$\sqrt{3}$的被开方数不同，不是同类二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查同类二次根式的判断方法，易错点是部分学生未将二次根式化简为最简形式就直接判断被开方数导致出错，掌握二次根式的化简规则是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2.（洛阳期末）下列计算中，正确的是 【 】
A.$\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
C.$4 + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
D.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$
A.$\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
C.$4 + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
D.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$
答案
B
解析
【分析】
解答本题的核心是掌握二次根式加减的运算规则：首先要将每个二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式（即被开方数相同的二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变。解题时我们逐一分析每个选项，按规则验证运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个判断选项的正确性：
选项A：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不是同类二次根式，无法直接相加，$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，故A错误；
选项B：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，因此$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故B正确；
选项C：4是有理数，$\sqrt{3}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法合并，$4+\sqrt{3}≠4\sqrt{3}$，故C错误；
选项D：先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式化简 2. 同类二次根式 3. 二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础常考题，核心考查同类二次根式的识别与合并规则，只要熟练掌握二次根式化简方法和加减运算规则，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是掌握二次根式加减的运算规则：首先要将每个二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式（即被开方数相同的二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变。解题时我们逐一分析每个选项，按规则验证运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个判断选项的正确性：
选项A：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数分别为3和2，不是同类二次根式，无法直接相加，$\sqrt{3}+\sqrt{2}≠\sqrt{5}$，故A错误；
选项B：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，因此$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故B正确；
选项C：4是有理数，$\sqrt{3}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法合并，$4+\sqrt{3}≠4\sqrt{3}$，故C错误；
选项D：先化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，因此$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 最简二次根式化简 2. 同类二次根式 3. 二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础常考题，核心考查同类二次根式的识别与合并规则，只要熟练掌握二次根式化简方法和加减运算规则，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
3.（西峡期中）计算$9\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{48}$的结果是 【 】
A.$\frac{11}{3}\sqrt{3}$
B.$-\frac{11}{3}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$
A.$\frac{11}{3}\sqrt{3}$
B.$-\frac{11}{3}\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
解决二次根式加减类问题的核心思路是“先化简，再合并”：第一步先将算式中所有二次根式化为最简二次根式，第二步识别出同类二次根式，第三步将同类二次根式的系数相加减、被开方数保持不变即可得到结果。本题先分别化简$9\sqrt{\frac{1}{3}}$和$\sqrt{48}$，再合并同类二次根式就能算出最终结果。
【解析】
步骤1：化简$9\sqrt{\frac{1}{3}}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此：
$9\sqrt{\frac{1}{3}}=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$
步骤2：化简$\sqrt{48}$
将48分解为$16×3$，其中16是完全平方数，因此：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
步骤3：合并同类二次根式
将化简后的结果代入原式计算：
$9\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{48}=3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(3-4)\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 同类二次根式合并
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，计算时需注意化简过程中系数的运算，避免因化简错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
解决二次根式加减类问题的核心思路是“先化简，再合并”：第一步先将算式中所有二次根式化为最简二次根式，第二步识别出同类二次根式，第三步将同类二次根式的系数相加减、被开方数保持不变即可得到结果。本题先分别化简$9\sqrt{\frac{1}{3}}$和$\sqrt{48}$，再合并同类二次根式就能算出最终结果。
【解析】
步骤1：化简$9\sqrt{\frac{1}{3}}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此：
$9\sqrt{\frac{1}{3}}=9×\frac{\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$
步骤2：化简$\sqrt{48}$
将48分解为$16×3$，其中16是完全平方数，因此：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
步骤3：合并同类二次根式
将化简后的结果代入原式计算：
$9\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{48}=3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(3-4)\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 同类二次根式合并
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，计算时需注意化简过程中系数的运算，避免因化简错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
4. 下列二次根式中，化简后与$2\sqrt{2}$可以合并的二次根式是 【 】
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{0.2}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{4}}$
D.$\sqrt{50}$
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{0.2}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{4}}$
D.$\sqrt{50}$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个二次根式化简后能与$2\sqrt{2}$合并，首先明确：只有化简后被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）才能合并。因此解题思路为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再逐一比对化简后的被开方数是否为2，符合要求的即为正确选项。
【解析】
我们逐个化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$2\sqrt{2}$的被开方数2不同，不能合并；
B. $\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，化简后被开方数为5，与2不同，不能合并；
C. $\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，化简后被开方数为3，与2不同，不能合并；
D. $\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$2\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式加减模块的基础题型，核心考查同类二次根式的判断，解题关键是牢记需先将所有二次根式化为最简形式后，再比较被开方数是否一致，避免未化简直接判断出错。
【难度系数】
0.8
要判断哪个二次根式化简后能与$2\sqrt{2}$合并，首先明确：只有化简后被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）才能合并。因此解题思路为：先将四个选项的二次根式全部化为最简二次根式，再逐一比对化简后的被开方数是否为2，符合要求的即为正确选项。
【解析】
我们逐个化简各选项的二次根式：
A. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$2\sqrt{2}$的被开方数2不同，不能合并；
B. $\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，化简后被开方数为5，与2不同，不能合并；
C. $\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，化简后被开方数为3，与2不同，不能合并；
D. $\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$2\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式，二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式加减模块的基础题型，核心考查同类二次根式的判断，解题关键是牢记需先将所有二次根式化为最简形式后，再比较被开方数是否一致，避免未化简直接判断出错。
【难度系数】
0.8
5. 当$a$
=6
时，$-\sqrt{3a-7}$与$\sqrt{2a-1}$是最简同类二次根式。答案
5. =6
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确最简同类二次根式的满足条件：1. 都是二次根式，被开方数必须为非负数；2. 都已是最简二次根式；3. 被开方数完全相同。因此我们可以先根据被开方数相等列出关于a的方程，求解后再验证所得的a是否满足被开方数非负、被开方数为最简的要求即可。
【解析】
根据最简同类二次根式的定义，两个根式的被开方数相等，因此列方程：
$3a - 7 = 2a - 1$
移项计算得：
$3a - 2a = 7 - 1$
$a = 6$
接下来验证：
当$a=6$时，$3a-7=3×6-7=11＞0$，$2a-1=2×6-1=11＞0$，两个被开方数都是11，11是开方开不尽的整数，因此两个根式都是最简二次根式，符合题意。
【答案】
=6
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题重点考查对最简同类二次根式概念的理解，解题时需先抓住“同类”的核心是被开方数相同，同时不要忽略二次根式有意义的前提，最后验证结果是否符合“最简”的要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确最简同类二次根式的满足条件：1. 都是二次根式，被开方数必须为非负数；2. 都已是最简二次根式；3. 被开方数完全相同。因此我们可以先根据被开方数相等列出关于a的方程，求解后再验证所得的a是否满足被开方数非负、被开方数为最简的要求即可。
【解析】
根据最简同类二次根式的定义，两个根式的被开方数相等，因此列方程：
$3a - 7 = 2a - 1$
移项计算得：
$3a - 2a = 7 - 1$
$a = 6$
接下来验证：
当$a=6$时，$3a-7=3×6-7=11＞0$，$2a-1=2×6-1=11＞0$，两个被开方数都是11，11是开方开不尽的整数，因此两个根式都是最简二次根式，符合题意。
【答案】
=6
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式有意义的条件；最简二次根式的定义
【点评】
本题重点考查对最简同类二次根式概念的理解，解题时需先抓住“同类”的核心是被开方数相同，同时不要忽略二次根式有意义的前提，最后验证结果是否符合“最简”的要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
6. 已知$2\sqrt{3} + m\sqrt{3} = \sqrt{3}$，则$m$的值为
-1
。答案
6. -1
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先观察等式左侧的两个二次根式，二者都含有$\sqrt{3}$，属于同类二次根式；根据同类二次根式的合并规则，合并时仅需将系数相加减，被开方数保持不变；合并后等式左右两边的被开方数相同，因此系数必然相等，据此列出关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
解：对等式左边合并同类二次根式，可得：
$(2+m)\sqrt{3}=\sqrt{3}$
由于$\sqrt{3}≠0$，等式两边同时除以$\sqrt{3}$，得：
$2+m=1$
移项计算得：
$m=1-2=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的加减运算；同类二次根式合并；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同类二次根式的合并规则，掌握合并时仅系数做加减运算、根式部分保持不变的规律，结合等式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的加减运算，解题思路如下：首先观察等式左侧的两个二次根式，二者都含有$\sqrt{3}$，属于同类二次根式；根据同类二次根式的合并规则，合并时仅需将系数相加减，被开方数保持不变；合并后等式左右两边的被开方数相同，因此系数必然相等，据此列出关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
解：对等式左边合并同类二次根式，可得：
$(2+m)\sqrt{3}=\sqrt{3}$
由于$\sqrt{3}≠0$，等式两边同时除以$\sqrt{3}$，得：
$2+m=1$
移项计算得：
$m=1-2=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的加减运算；同类二次根式合并；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同类二次根式的合并规则，掌握合并时仅系数做加减运算、根式部分保持不变的规律，结合等式的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 计算：
(1) $(\sqrt{32} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}) - (\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \sqrt{75})$；
(2) $\sqrt{8} + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{27} - 4\sqrt{0.5}$。
(1) $(\sqrt{32} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}}) - (\sqrt{\dfrac{1}{8}} - \sqrt{75})$；
(2) $\sqrt{8} + |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{27} - 4\sqrt{0.5}$。
答案
(1) $\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{13\sqrt{3}}{3}$ (2) $2+2\sqrt{3}$
解析
【分析】
二次根式的加减运算核心是先化简再合并同类二次根式，解题思路如下：①先将所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先根据去括号法则去括号，有绝对值的先判断绝对值内代数式的正负，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号；③最后将同类二次根式的系数相加减，根式部分保持不变，计算出最终结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式，再去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4\sqrt{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3}) - (\frac{\sqrt{2}}{4} - 5\sqrt{3})\\&=4\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{4} + 5\sqrt{3}\\&=(4\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}) + (-\frac{2\sqrt{3}}{3} + 5\sqrt{3})\\&=\frac{15\sqrt{2}}{4} + \frac{13\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式、去绝对值，再合并同类项：
$\because \sqrt{3}＜2$，$\therefore |\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2} + (2 - \sqrt{3}) + 3\sqrt{3} - 4×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + 2\\&=2 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{13\sqrt{3}}{3}$
(2) $2+2\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，解题的关键是掌握二次根式化简的方法以及去括号、去绝对值的符号规则，计算时需注意只有同类二次根式才能合并，避免出现根式部分也直接相加减的错误。
【难度系数】
0.75
二次根式的加减运算核心是先化简再合并同类二次根式，解题思路如下：①先将所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先根据去括号法则去括号，有绝对值的先判断绝对值内代数式的正负，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号；③最后将同类二次根式的系数相加减，根式部分保持不变，计算出最终结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式，再去括号合并同类二次根式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4\sqrt{2} - 2×\frac{\sqrt{3}}{3}) - (\frac{\sqrt{2}}{4} - 5\sqrt{3})\\&=4\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{4} + 5\sqrt{3}\\&=(4\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2}) + (-\frac{2\sqrt{3}}{3} + 5\sqrt{3})\\&=\frac{15\sqrt{2}}{4} + \frac{13\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(2) 先化简二次根式、去绝对值，再合并同类项：
$\because \sqrt{3}＜2$，$\therefore |\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{2} + (2 - \sqrt{3}) + 3\sqrt{3} - 4×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\\&=(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + 2\\&=2 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{15\sqrt{2}}{4}+\frac{13\sqrt{3}}{3}$
(2) $2+2\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，解题的关键是掌握二次根式化简的方法以及去括号、去绝对值的符号规则，计算时需注意只有同类二次根式才能合并，避免出现根式部分也直接相加减的错误。
【难度系数】
0.75
8. 若最简二次根式$\sqrt[{b - a}]{3b}$与$\sqrt{2b - a + 18}$能合并为一项，求$\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a + b}}{b}$的值.
答案
8. $\because$最简二次根式$\sqrt[{b - a}]{3b}$与$\sqrt{2b - a + 18}$能合并为一项，$\therefore \begin{cases}b - a = 2,\\2b - a + 18 = 3b.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 8,\\b = 10.\end{cases}$ $\therefore$原式$=\sqrt{8}+\frac{\sqrt{8 + 10}}{10}=\frac{23\sqrt{2}}{10}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心逻辑：①能合并的最简二次根式属于同类二次根式；②同类二次根式需要满足两个要求：一是作为二次根式，根指数必须为2；二是化简后被开方数完全相同。我们可以先根据这两个要求列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的取值后，再代入所求代数式，化简二次根式后计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt[{b - a}]{3b}$与$\sqrt{2b - a + 18}$能合并为一项，二者为同类二次根式
∴根据同类二次根式的定义列方程组：
$\begin{cases}b - a = 2 \quad \mathrm{（二次根式根指数为2）} \\3b = 2b - a + 18 \quad \mathrm{（最简二次根式被开方数相同）}\end{cases}$
化简第二个方程得：$b + a = 18$，联立$\begin{cases}b - a = 2 \\ b + a = 18\end{cases}$
两式相加得$2b=20$，解得$b=10$，将$b=10$代入$b - a=2$，得$a=8$。
将$a=8$，$b=10$代入$\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a + b}}{b}$：
原式$=\sqrt{8} + \frac{\sqrt{8 + 10}}{10} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{18}}{10} = 2\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{23\sqrt{2}}{10}$
【答案】
$\frac{23\sqrt{2}}{10}$
【知识点】
1.同类二次根式 2.二次根式化简 3.代数式求值
【点评】
本题是二次根式加减模块的典型基础题型，解题核心是熟练掌握同类二次根式的判定规则，通过列方程组求解未知参数，再代入化简计算即可，解题时需注意题干明确给出是最简二次根式，可直接对被开方数列等式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确两个核心逻辑：①能合并的最简二次根式属于同类二次根式；②同类二次根式需要满足两个要求：一是作为二次根式，根指数必须为2；二是化简后被开方数完全相同。我们可以先根据这两个要求列出关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的取值后，再代入所求代数式，化简二次根式后计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt[{b - a}]{3b}$与$\sqrt{2b - a + 18}$能合并为一项，二者为同类二次根式
∴根据同类二次根式的定义列方程组：
$\begin{cases}b - a = 2 \quad \mathrm{（二次根式根指数为2）} \\3b = 2b - a + 18 \quad \mathrm{（最简二次根式被开方数相同）}\end{cases}$
化简第二个方程得：$b + a = 18$，联立$\begin{cases}b - a = 2 \\ b + a = 18\end{cases}$
两式相加得$2b=20$，解得$b=10$，将$b=10$代入$b - a=2$，得$a=8$。
将$a=8$，$b=10$代入$\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a + b}}{b}$：
原式$=\sqrt{8} + \frac{\sqrt{8 + 10}}{10} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{18}}{10} = 2\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{10} = \frac{23\sqrt{2}}{10}$
【答案】
$\frac{23\sqrt{2}}{10}$
【知识点】
1.同类二次根式 2.二次根式化简 3.代数式求值
【点评】
本题是二次根式加减模块的典型基础题型，解题核心是熟练掌握同类二次根式的判定规则，通过列方程组求解未知参数，再代入化简计算即可，解题时需注意题干明确给出是最简二次根式，可直接对被开方数列等式。
【难度系数】
0.7
