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12. 已知菱形的面积为$6\sqrt{2}$，一条对角线长为$2\sqrt{6}$，求另一条对角线的长及菱形的周长.
答案
设菱形另一条对角线的长为$x$,则$\frac{1}{2} × 2\sqrt{6} × x =6\sqrt{2}$. 解得$x=2\sqrt{3}$.
∵菱形的对角线垂直且互相平分,
∴菱形的边长$=\sqrt{6+3}=3$.
∴菱形的周长$=12$
∵菱形的对角线垂直且互相平分,
∴菱形的边长$=\sqrt{6+3}=3$.
∴菱形的周长$=12$
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，我们可以利用这个公式，结合已知的面积和一条对角线的长度，设未知对角线长为x列方程求解，得到另一条对角线的长度。接下来要求菱形周长，需要先求边长，根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，所以两条对角线的一半与菱形的边长可以构成直角三角形，利用勾股定理即可求出边长，再乘4得到菱形的周长。
【解析】
解：设菱形另一条对角线的长为$x$，根据菱形面积等于对角线乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{6} × x =6\sqrt{2}$
化简得：$\sqrt{6}x=6\sqrt{2}$
解得：$x=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{3}$
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴两条对角线的一半分别为$\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
由勾股定理可得菱形的边长为：$\sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
∴菱形的周长为$4×3=12$
【答案】
另一条对角线的长为$2\sqrt{3}$，菱形的周长为$12$
【知识点】
菱形面积公式；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查菱形相关性质的应用，解题的核心是牢记菱形面积的计算方法，以及对角线和边长的关系，计算过程中注意遵循二次根式的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的面积计算公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，我们可以利用这个公式，结合已知的面积和一条对角线的长度，设未知对角线长为x列方程求解，得到另一条对角线的长度。接下来要求菱形周长，需要先求边长，根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，所以两条对角线的一半与菱形的边长可以构成直角三角形，利用勾股定理即可求出边长，再乘4得到菱形的周长。
【解析】
解：设菱形另一条对角线的长为$x$，根据菱形面积等于对角线乘积的一半，可得：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{6} × x =6\sqrt{2}$
化简得：$\sqrt{6}x=6\sqrt{2}$
解得：$x=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{3}$
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴两条对角线的一半分别为$\frac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
由勾股定理可得菱形的边长为：$\sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
∴菱形的周长为$4×3=12$
【答案】
另一条对角线的长为$2\sqrt{3}$，菱形的周长为$12$
【知识点】
菱形面积公式；菱形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查菱形相关性质的应用，解题的核心是牢记菱形面积的计算方法，以及对角线和边长的关系，计算过程中注意遵循二次根式的运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13. 已知$a$、$b$满足$\sqrt{9a - b} + \sqrt{b - 3} = 0$，求$2b\sqrt{\frac{2a}{b}} · ( \sqrt{\frac{b}{2a}} ÷ \sqrt{\frac{1}{2a}} )$的值.
答案
∵$\sqrt{9a - b} + \sqrt{b - 3} =0$,
∴$9a - b=0$,$b - 3=0$. 解得$b=3$, $a=\frac{1}{3}$.
∴原式$=2\sqrt{\frac{2a}{b} · b^2} · \sqrt{\frac{b}{2a} · 2a}=2\sqrt{2ab} · \sqrt{b}=2×\sqrt{2×\frac{1}{3}×3}×\sqrt{3}=2\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，两个算术平方根的和为0，根据算术平方根的非负性（算术平方根的结果大于等于0），只有两个算术平方根各自的被开方数都为0时，它们的和才能为0，据此可列方程求出a、b的值。再处理待求代数式，按照二次根式乘除运算法则，先算括号内的除法，再算括号外的乘法，也可先化简代数式再代入数值，降低计算难度。
【解析】
解：
∵二次根式的结果具有非负性，且$\sqrt{9a - b} + \sqrt{b - 3} =0$，
∴$9a - b=0$，$b - 3=0$，
解得$b=3$，将$b=3$代入$9a - b=0$得$a=\frac{1}{3}$。
根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$、$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\frac{m}{n}}$（m、n均为正数）化简原式：
原式$=2\sqrt{\frac{2a}{b} · b^2} · \sqrt{\frac{b}{2a} ÷ \frac{1}{2a}}=2\sqrt{2ab} · \sqrt{\frac{b}{2a}×2a}=2\sqrt{2ab} · \sqrt{b}$
将$a=\frac{1}{3}$，$b=3$代入化简后的式子：
原式$=2×\sqrt{2×\frac{1}{3}×3}×\sqrt{3}=2\sqrt{2}×\sqrt{3}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的非负性；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式的基础综合题，解题关键是先利用二次根式的非负性求出字母参数的值，再结合二次根式乘除法则计算，运算时可先化简代数式再代入数值，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，两个算术平方根的和为0，根据算术平方根的非负性（算术平方根的结果大于等于0），只有两个算术平方根各自的被开方数都为0时，它们的和才能为0，据此可列方程求出a、b的值。再处理待求代数式，按照二次根式乘除运算法则，先算括号内的除法，再算括号外的乘法，也可先化简代数式再代入数值，降低计算难度。
【解析】
解：
∵二次根式的结果具有非负性，且$\sqrt{9a - b} + \sqrt{b - 3} =0$，
∴$9a - b=0$，$b - 3=0$，
解得$b=3$，将$b=3$代入$9a - b=0$得$a=\frac{1}{3}$。
根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$、$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\frac{m}{n}}$（m、n均为正数）化简原式：
原式$=2\sqrt{\frac{2a}{b} · b^2} · \sqrt{\frac{b}{2a} ÷ \frac{1}{2a}}=2\sqrt{2ab} · \sqrt{\frac{b}{2a}×2a}=2\sqrt{2ab} · \sqrt{b}$
将$a=\frac{1}{3}$，$b=3$代入化简后的式子：
原式$=2×\sqrt{2×\frac{1}{3}×3}×\sqrt{3}=2\sqrt{2}×\sqrt{3}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的非负性；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式的基础综合题，解题关键是先利用二次根式的非负性求出字母参数的值，再结合二次根式乘除法则计算，运算时可先化简代数式再代入数值，减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
14. 已知三角形三边之长，能求出这个三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$S$表示三角形的面积，$a$、$b$、$c$分别表示三角形三边之长，$p$表示三角形周长的一半，即$p = \frac{a + b + c}{2}$。我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”。请你利用这个公式解答下列问题：
（1）在$△ ABC$中，已知$AB = 9$，$BC = 10$，$CA = 11$，求$△ ABC$的面积；
（2）计算（1）中$△ ABC$的边$BC$上的高。
海伦公式告诉你计算的方法是：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$S$表示三角形的面积，$a$、$b$、$c$分别表示三角形三边之长，$p$表示三角形周长的一半，即$p = \frac{a + b + c}{2}$。我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”。请你利用这个公式解答下列问题：
（1）在$△ ABC$中，已知$AB = 9$，$BC = 10$，$CA = 11$，求$△ ABC$的面积；
（2）计算（1）中$△ ABC$的边$BC$上的高。
答案
(1) 设$a$、$b$、$c$分别为$△ABC$的顶点$A$、$B$、$C$的对边.
∵$AB=9$, $BC=10$, $CA=11$,
∴$a=10$, $b=11$, $c=9$,
∴$p=\frac{a + b + c}{2}=15$.
∴$△ABC$的面积$S=\sqrt{15×(15 - 9)×(15 - 10)×(15 - 11)}=30\sqrt{2}$
(2) 设边$BC$上的高为$h$,则$\frac{1}{2} × 10 × h =30\sqrt{2}$. 解得$h=6\sqrt{2}$. 即$△ABC$的边$BC$上的高为$6\sqrt{2}$
∵$AB=9$, $BC=10$, $CA=11$,
∴$a=10$, $b=11$, $c=9$,
∴$p=\frac{a + b + c}{2}=15$.
∴$△ABC$的面积$S=\sqrt{15×(15 - 9)×(15 - 10)×(15 - 11)}=30\sqrt{2}$
(2) 设边$BC$上的高为$h$,则$\frac{1}{2} × 10 × h =30\sqrt{2}$. 解得$h=6\sqrt{2}$. 即$△ABC$的边$BC$上的高为$6\sqrt{2}$
解析
【分析】
第（1）问解题思路：首先结合材料明确海伦公式的各参数含义，先确定三角形三边长，计算出周长的一半p，再将p和三边长代入海伦公式，化简二次根式即可得到三角形面积；第（2）问解题思路：已知三角形面积和底边BC的长度，利用基础三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将已知量代入求解方程，即可得到BC边上的高。
【解析】
（1）设$a$、$b$、$c$分别为$△ABC$的顶点$A$、$B$、$C$的对边。
∵$AB=9$，$BC=10$，$CA=11$，
∴$a=10$，$b=11$，$c=9$，
∴半周长$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{10+11+9}{2}=15$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{15×(15 - 10)×(15 - 11)×(15 - 9)}=\sqrt{15×5×4×6}=\sqrt{1800}=30\sqrt{2}$。
（2）设边$BC$上的高为$h$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×BC×h=S$，
将$BC=10$，$S=30\sqrt{2}$代入得：
$\frac{1}{2} × 10 × h =30\sqrt{2}$，
化简得$5h=30\sqrt{2}$，解得$h=6\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$△ABC$的面积为$30\sqrt{2}$；（2）$△ABC$的边$BC$上的高为$6\sqrt{2}$。
【知识点】
1.海伦-秦九韶公式 2.三角形面积计算 3.二次根式化简
【点评】
本题属于材料阅读类题型，考查对新公式的理解运用能力，同时结合了常规三角形面积公式的应用，解题时需准确对应公式参数，认真完成二次根式的计算即可得分。
【难度系数】
0.8
第（1）问解题思路：首先结合材料明确海伦公式的各参数含义，先确定三角形三边长，计算出周长的一半p，再将p和三边长代入海伦公式，化简二次根式即可得到三角形面积；第（2）问解题思路：已知三角形面积和底边BC的长度，利用基础三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，将已知量代入求解方程，即可得到BC边上的高。
【解析】
（1）设$a$、$b$、$c$分别为$△ABC$的顶点$A$、$B$、$C$的对边。
∵$AB=9$，$BC=10$，$CA=11$，
∴$a=10$，$b=11$，$c=9$，
∴半周长$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{10+11+9}{2}=15$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{15×(15 - 10)×(15 - 11)×(15 - 9)}=\sqrt{15×5×4×6}=\sqrt{1800}=30\sqrt{2}$。
（2）设边$BC$上的高为$h$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}×BC×h=S$，
将$BC=10$，$S=30\sqrt{2}$代入得：
$\frac{1}{2} × 10 × h =30\sqrt{2}$，
化简得$5h=30\sqrt{2}$，解得$h=6\sqrt{2}$。
【答案】
（1）$△ABC$的面积为$30\sqrt{2}$；（2）$△ABC$的边$BC$上的高为$6\sqrt{2}$。
【知识点】
1.海伦-秦九韶公式 2.三角形面积计算 3.二次根式化简
【点评】
本题属于材料阅读类题型，考查对新公式的理解运用能力，同时结合了常规三角形面积公式的应用，解题时需准确对应公式参数，认真完成二次根式的计算即可得分。
【难度系数】
0.8
