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8. 计算：
(1) $-\sqrt{1\dfrac{3}{7}} ÷ \sqrt{3\dfrac{3}{14}}$；
(2) $9\sqrt{\dfrac{1}{48}} ÷ (-\dfrac{3}{2}\sqrt{2\dfrac{1}{4}})$；
(3) 已知 $a=\sqrt{3}$，$b=3$，$c=\sqrt{12}$，求代数式 $\dfrac{b^2 - 4ac}{2a}$ 的值。
(1) $-\sqrt{1\dfrac{3}{7}} ÷ \sqrt{3\dfrac{3}{14}}$；
(2) $9\sqrt{\dfrac{1}{48}} ÷ (-\dfrac{3}{2}\sqrt{2\dfrac{1}{4}})$；
(3) 已知 $a=\sqrt{3}$，$b=3$，$c=\sqrt{12}$，求代数式 $\dfrac{b^2 - 4ac}{2a}$ 的值。
答案
(1) $-\frac{2}{3}$ (2) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ (3) $-\frac{5}{2}\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题包含二次根式除法运算与代数式求值两类题型：
1. 二次根式除法运算题（(1)(2)问）：解题时先将带分数转化为假分数，再利用二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，将系数和二次根式部分分别运算，最后将结果化为最简二次根式，注意运算过程中符号的处理。
2. 代数式求值题（(3)问）：先将非最简二次根式化简，再把a、b、c的值代入代数式，按照先乘方、再乘法、后加减的顺序计算分子，最后计算分式的值并化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再根据二次根式除法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=-\sqrt{\frac{10}{7}}÷\sqrt{\frac{45}{14}}\\&=-\sqrt{\frac{10}{7}÷\frac{45}{14}}\\&=-\sqrt{\frac{10}{7}×\frac{14}{45}}\\&=-\sqrt{\frac{4}{9}}\\&=-\frac{2}{3}\end{aligned}$
(2) 分别运算系数部分和二次根式部分，再合并结果：
$\begin{aligned}原式&=9\sqrt{\frac{1}{48}}÷(-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{9}{4}})\\&=[9÷(-\frac{3}{2})]×(\sqrt{\frac{1}{48}}÷\sqrt{\frac{9}{4}})\\&=-6×\sqrt{\frac{1}{48}×\frac{4}{9}}\\&=-6×\sqrt{\frac{1}{108}}\\&=-6×\frac{\sqrt{3}}{18}\\&=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(3) 先化简$c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，再代入代数式计算：
$\begin{aligned}当a=\sqrt{3},b=3,c=2\sqrt{3}时，\\原式&=\frac{3^2 - 4×\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2×\sqrt{3}}\\&=\frac{9 - 24}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{-15}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{-15\sqrt{3}}{2×3}\\&=-\frac{5}{2}\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2}{3}$；(2) $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；(3) $-\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的除法运算、代数式求值、最简二次根式
【点评】
本题侧重考察二次根式运算的基础应用能力，解题时需注意带分数要先转化为假分数再参与运算，二次根式的最终结果必须化为最简形式，运算过程中要留心符号判断，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
本题包含二次根式除法运算与代数式求值两类题型：
1. 二次根式除法运算题（(1)(2)问）：解题时先将带分数转化为假分数，再利用二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，将系数和二次根式部分分别运算，最后将结果化为最简二次根式，注意运算过程中符号的处理。
2. 代数式求值题（(3)问）：先将非最简二次根式化简，再把a、b、c的值代入代数式，按照先乘方、再乘法、后加减的顺序计算分子，最后计算分式的值并化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再根据二次根式除法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=-\sqrt{\frac{10}{7}}÷\sqrt{\frac{45}{14}}\\&=-\sqrt{\frac{10}{7}÷\frac{45}{14}}\\&=-\sqrt{\frac{10}{7}×\frac{14}{45}}\\&=-\sqrt{\frac{4}{9}}\\&=-\frac{2}{3}\end{aligned}$
(2) 分别运算系数部分和二次根式部分，再合并结果：
$\begin{aligned}原式&=9\sqrt{\frac{1}{48}}÷(-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{9}{4}})\\&=[9÷(-\frac{3}{2})]×(\sqrt{\frac{1}{48}}÷\sqrt{\frac{9}{4}})\\&=-6×\sqrt{\frac{1}{48}×\frac{4}{9}}\\&=-6×\sqrt{\frac{1}{108}}\\&=-6×\frac{\sqrt{3}}{18}\\&=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
(3) 先化简$c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，再代入代数式计算：
$\begin{aligned}当a=\sqrt{3},b=3,c=2\sqrt{3}时，\\原式&=\frac{3^2 - 4×\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2×\sqrt{3}}\\&=\frac{9 - 24}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{-15}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{-15\sqrt{3}}{2×3}\\&=-\frac{5}{2}\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{2}{3}$；(2) $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；(3) $-\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的除法运算、代数式求值、最简二次根式
【点评】
本题侧重考察二次根式运算的基础应用能力，解题时需注意带分数要先转化为假分数再参与运算，二次根式的最终结果必须化为最简形式，运算过程中要留心符号判断，避免因细节失误失分。
【难度系数】
0.7
9. 已知$ab＞0$，$a+b＜0$，给出下列各式：①$\sqrt{\dfrac{a}{b}} · \sqrt{ab}=-a$；②$\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$；③$\sqrt{\dfrac{b}{a}} · \sqrt{\dfrac{a}{b}}=1$；④$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}$。其中，正确的式子是【 】
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
A.①②
B.②③
C.②④
D.①③
答案
D
解析
【分析】
解题第一步先根据已知条件判断a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，结合a+b＜0可推出a＜0，b＜0。再结合二次根式的核心要求（被开方数为非负数）、二次根式的性质（$\sqrt{x^2}=|x|$）、二次根式乘除运算法则，逐个验证4个式子是否成立即可。
【解析】
解：先判断a、b的符号：
∵$ab＞0$，
∴a、b同号，
又
∵$a+b＜0$，
∴$a＜0$，$b＜0$。
逐个验证各式：
①计算左边：$\sqrt{\dfrac{a}{b}} · \sqrt{ab}=\sqrt{\dfrac{a}{b}·ab}=\sqrt{a^2}=|a|$，
∵$a＜0$，
∴$|a|=-a$，即左边=右边，①正确；
②式子右边$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$中，a、b均为负数，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$的被开方数为负，无意义，②错误；
③计算左边：$\sqrt{\dfrac{b}{a}} · \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{1}=1$，即左边=右边，③正确；
④式子右边$\sqrt{a} · \sqrt{b}$中，a、b均为负数，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，④错误。
综上，正确的是①③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
3.二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题的关键是先根据已知条件确定a、b的正负性，再结合二次根式被开方数非负的要求判断式子是否成立，做题时要注意不要忽略二次根式的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解题第一步先根据已知条件判断a、b的符号：由ab＞0可知a、b同号，结合a+b＜0可推出a＜0，b＜0。再结合二次根式的核心要求（被开方数为非负数）、二次根式的性质（$\sqrt{x^2}=|x|$）、二次根式乘除运算法则，逐个验证4个式子是否成立即可。
【解析】
解：先判断a、b的符号：
∵$ab＞0$，
∴a、b同号，
又
∵$a+b＜0$，
∴$a＜0$，$b＜0$。
逐个验证各式：
①计算左边：$\sqrt{\dfrac{a}{b}} · \sqrt{ab}=\sqrt{\dfrac{a}{b}·ab}=\sqrt{a^2}=|a|$，
∵$a＜0$，
∴$|a|=-a$，即左边=右边，①正确；
②式子右边$\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$中，a、b均为负数，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$的被开方数为负，无意义，②错误；
③计算左边：$\sqrt{\dfrac{b}{a}} · \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{b}{a}·\dfrac{a}{b}}=\sqrt{1}=1$，即左边=右边，③正确；
④式子右边$\sqrt{a} · \sqrt{b}$中，a、b均为负数，$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$无意义，④错误。
综上，正确的是①③，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
3.二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，解题的关键是先根据已知条件确定a、b的正负性，再结合二次根式被开方数非负的要求判断式子是否成立，做题时要注意不要忽略二次根式的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
10. 对于有理数$ a $和$ b $，定义了一种新运算：$ a※b = \dfrac{a + b}{\sqrt{a - b}} $。例如，$ 6※3 = \dfrac{6 + 3}{\sqrt{6 - 3}} = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = \dfrac{9 × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = 3\sqrt{3} $。则$ 3※(-\dfrac{1}{2}) $的值为________。
答案
$\frac{5}{14}\sqrt{14}$
解析
【分析】
解题时首先明确新运算“※”的规则：$a※b$等于$a$与$b$的和除以$a$减$b$的算术平方根。先确定所求式子中对应$a=3$、$b=-\frac{1}{2}$，再代入公式计算，计算过程中注意有理数的符号运算，最后对二次根式化简、分母有理化即可得到结果。
【解析】
根据新运算定义，将$a=3$，$b=-\dfrac{1}{2}$代入公式得：
$3※(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3+(-\dfrac{1}{2})}{\sqrt{3-(-\dfrac{1}{2})}}$
分别计算分子和被开方数：
分子：$3+(-\dfrac{1}{2})=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
被开方数：$3-(-\dfrac{1}{2})=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$
原式化简为：
$\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}$
先化简分母：$\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{\sqrt{7×2}}{\sqrt{2×2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$，代入得：
$\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{\sqrt{14}}{2}}=\dfrac{5}{2}×\dfrac{2}{\sqrt{14}}=\dfrac{5}{\sqrt{14}}$
最后分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{14}$：
$\dfrac{5×\sqrt{14}}{\sqrt{14}×\sqrt{14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}{14}=\dfrac{5}{14}\sqrt{14}$
【答案】
$\dfrac{5}{14}\sqrt{14}$
【知识点】
新定义运算、二次根式的除法、分母有理化
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的运算能力，解题关键是准确理解新运算规则，代入数值时注意符号计算，熟练掌握二次根式化简、分母有理化的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确新运算“※”的规则：$a※b$等于$a$与$b$的和除以$a$减$b$的算术平方根。先确定所求式子中对应$a=3$、$b=-\frac{1}{2}$，再代入公式计算，计算过程中注意有理数的符号运算，最后对二次根式化简、分母有理化即可得到结果。
【解析】
根据新运算定义，将$a=3$，$b=-\dfrac{1}{2}$代入公式得：
$3※(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3+(-\dfrac{1}{2})}{\sqrt{3-(-\dfrac{1}{2})}}$
分别计算分子和被开方数：
分子：$3+(-\dfrac{1}{2})=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
被开方数：$3-(-\dfrac{1}{2})=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$
原式化简为：
$\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\sqrt{\dfrac{7}{2}}}$
先化简分母：$\sqrt{\dfrac{7}{2}}=\dfrac{\sqrt{7×2}}{\sqrt{2×2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}$，代入得：
$\dfrac{\dfrac{5}{2}}{\dfrac{\sqrt{14}}{2}}=\dfrac{5}{2}×\dfrac{2}{\sqrt{14}}=\dfrac{5}{\sqrt{14}}$
最后分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{14}$：
$\dfrac{5×\sqrt{14}}{\sqrt{14}×\sqrt{14}}=\dfrac{5\sqrt{14}}{14}=\dfrac{5}{14}\sqrt{14}$
【答案】
$\dfrac{5}{14}\sqrt{14}$
【知识点】
新定义运算、二次根式的除法、分母有理化
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的运算能力，解题关键是准确理解新运算规则，代入数值时注意符号计算，熟练掌握二次根式化简、分母有理化的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 计算：
(1) $3\sqrt{\dfrac{2}{3}} × (-\dfrac{1}{8}\sqrt{15}) ÷ \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；
(2) $\sqrt{2\dfrac{1}{3}} ÷ 3\sqrt{28} × (-12\sqrt{1\dfrac{1}{2}})$。
(1) $3\sqrt{\dfrac{2}{3}} × (-\dfrac{1}{8}\sqrt{15}) ÷ \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{5}}$；
(2) $\sqrt{2\dfrac{1}{3}} ÷ 3\sqrt{28} × (-12\sqrt{1\dfrac{1}{2}})$。
答案
(1) $-\frac{15}{4}$ (2) $-\sqrt{2}$
解析
【分析】
这两道题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①先将算式中的带分数化为假分数，把除法运算统一转化为乘法运算；②将系数和二次根式两部分分开计算，系数部分按有理数乘除规则计算，二次根式部分按$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$的规则计算；③最后将二次根式化简为最简形式，合并得到最终结果，全程注意符号的处理。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=3×(-\frac{1}{8})×2 × \sqrt{\frac{2}{3}×15×\frac{5}{2}}\\&=-\frac{3}{4}×\sqrt{25}\\&=-\frac{3}{4}×5\\&=-\frac{15}{4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\frac{7}{3}} ÷ 3\sqrt{28} × (-12\sqrt{\frac{3}{2}})\\&=1×\frac{1}{3}×(-12) × \sqrt{\frac{7}{3}÷28×\frac{3}{2}}\\&=-4×\sqrt{\frac{7}{3}×\frac{1}{28}×\frac{3}{2}}\\&=-4×\sqrt{\frac{1}{8}}\\&=-4×\frac{\sqrt{2}}{4}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{15}{4}$；(2) $-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算类题目，核心是掌握系数和二次根式分开运算的规则，计算时注意符号和化简步骤，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这两道题是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：①先将算式中的带分数化为假分数，把除法运算统一转化为乘法运算；②将系数和二次根式两部分分开计算，系数部分按有理数乘除规则计算，二次根式部分按$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$的规则计算；③最后将二次根式化简为最简形式，合并得到最终结果，全程注意符号的处理。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}原式&=3×(-\frac{1}{8})×2 × \sqrt{\frac{2}{3}×15×\frac{5}{2}}\\&=-\frac{3}{4}×\sqrt{25}\\&=-\frac{3}{4}×5\\&=-\frac{15}{4}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{\frac{7}{3}} ÷ 3\sqrt{28} × (-12\sqrt{\frac{3}{2}})\\&=1×\frac{1}{3}×(-12) × \sqrt{\frac{7}{3}÷28×\frac{3}{2}}\\&=-4×\sqrt{\frac{7}{3}×\frac{1}{28}×\frac{3}{2}}\\&=-4×\sqrt{\frac{1}{8}}\\&=-4×\frac{\sqrt{2}}{4}\\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{15}{4}$；(2) $-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式基础运算类题目，核心是掌握系数和二次根式分开运算的规则，计算时注意符号和化简步骤，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
