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【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)$16y^2 + 9 = 24y$；
(2)$5(x^2 + 1) - 7x = 0$；
(3)$3(x^2 - 1) = 5x$。
(1)$16y^2 + 9 = 24y$；
(2)$5(x^2 + 1) - 7x = 0$；
(3)$3(x^2 - 1) = 5x$。
答案
解:(1)$16y^2 + 9 = 24y$ 的一般形式为 $16y^2 - 24y + 9=0$，
$\because a=16,b=-24,c=9$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=576-4×16×9=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(2)$5(x^2 + 1)-7x=0$ 化为一般形式为 $5x^2 -7x +5=0$，
$\because a=5,b=-7,c=5$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=49-4×5×5=-51＜0$，
$\therefore$方程没有实数根。
(3)$3(x^2 -1)=5x$ 化为一般形式为 $3x^2 -5x -3=0$，
$\because a=3,b=-5,c=-3$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×3×(-3)=61＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
$\because a=16,b=-24,c=9$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=576-4×16×9=0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根。
(2)$5(x^2 + 1)-7x=0$ 化为一般形式为 $5x^2 -7x +5=0$，
$\because a=5,b=-7,c=5$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=49-4×5×5=-51＜0$，
$\therefore$方程没有实数根。
(3)$3(x^2 -1)=5x$ 化为一般形式为 $3x^2 -5x -3=0$，
$\because a=3,b=-5,c=-3$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×3×(-3)=61＞0$，
$\therefore$方程有两个不相等的实数根。
【变式1】下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（
A.$x^2 - x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 0$
C.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + x + 5 = 0$
C
）A.$x^2 - x - 2 = 0$
B.$x^2 - 2x = 0$
C.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + x + 5 = 0$
答案
C
【变式2】若关于x的一元二次方程$(k-2)·x^2 - 2kx + k = 0$有实数根，则k的取值范围是
$k≥ 0$ 且 $k≠ 2$
。答案
$k≥ 0$ 且 $k≠ 2$
【例2】解下列方程：
(1)$8x^2 - 4\sqrt{2}x + 1 = 0$；
(2)$(y - 2)(3y - 5) = 1$；
(3)$4t^2 + 4t = -2$。
(1)$8x^2 - 4\sqrt{2}x + 1 = 0$；
(2)$(y - 2)(3y - 5) = 1$；
(3)$4t^2 + 4t = -2$。
答案
解:(1)$\because a=8,b=-4\sqrt{2},c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-4\sqrt{2})^2 -4×8×1=0$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{4\sqrt{2}\pm0}{2×8}=\frac{4\sqrt{2}}{16}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即 $x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(2)方程化为一般形式为 $3y^2 -11y +9=0$，
$\because a=3,b=-11,c=9$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-11)^2 -4×3×9=13＞0$，
$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$，
即 $y_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},y_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
(3)方程化为一般形式为 $2t^2 +2t +1=0$，
$\because a=2,b=2,c=1$，
$\Delta =b^2 -4ac=2^2 -4×2×1=-4＜0$，
$\therefore$此方程无实数根。
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-4\sqrt{2})^2 -4×8×1=0$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{4\sqrt{2}\pm0}{2×8}=\frac{4\sqrt{2}}{16}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即 $x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
(2)方程化为一般形式为 $3y^2 -11y +9=0$，
$\because a=3,b=-11,c=9$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-11)^2 -4×3×9=13＞0$，
$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$，
即 $y_1=\frac{11+\sqrt{13}}{6},y_2=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
(3)方程化为一般形式为 $2t^2 +2t +1=0$，
$\because a=2,b=2,c=1$，
$\Delta =b^2 -4ac=2^2 -4×2×1=-4＜0$，
$\therefore$此方程无实数根。
【变式】(1)方程$x^2 + 3x -4=0$的根为
(2)方程$2x^2 -4x -1=0$的根为
$x_1=1$
；$x_2=-4$
；(2)方程$2x^2 -4x -1=0$的根为
$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$
；$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
.答案
(1) $x_1=1,x_2=-4$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2) $x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
1.若$x=\frac{2\pm\sqrt{4+4×3×1}}{2×3}$是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（
A.$3x^2+2x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-2x+3=0$
D.$3x^2-2x-1=0$
D
）A.$3x^2+2x-1=0$
B.$2x^2+4x-1=0$
C.$-x^2-2x+3=0$
D.$3x^2-2x-1=0$
答案
1. D
2. 利用公式法可得一元二次方程$2x^2 +4x -1=0$的两根为$a,b$，且$a＞b$，则$a$的值为（
C
）答案
2. C
3. (2026 扬州)关于x的一元二次方程$x^2 + kx -1=0$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
3. A
4. (2026上海)下列方程中，没有实数根的是（
A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 2 = 0$
C.$x^2 + 2x = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
D
）A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 - 2 = 0$
C.$x^2 + 2x = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$
答案
4. D
5. (2025永州期末)关于x的一元二次方程$(m-2)x^2 +4x +2=0$有两个实数根，则m的取值范围是（
A.$m＜4$且$m≠2$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
D
）A.$m＜4$且$m≠2$
B.$m≥4$
C.$m≥-4$且$m≠2$
D.$m≤4$且$m≠2$
答案
5. D
