6. 如果关于$x$的方程$4x^2 - x - m = 0$没有实数根，那么$m$的取值范围是。

6. $m＜-\frac{1}{16}$

7. 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 -3x -2=0$；
(2)$3x^2 +2x +1=0$；
(3)$x^2 +5=3(x+2)$。

解:(1)$\because a=1,b=-3,c=-2$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=9-4×1×(-2)=17＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
(2)$\because a=3,b=2,c=1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=4-4×3×1=-8＜0$，
$\therefore$方程无实数根。
(3)方程的一般形式为 $x^2 -3x -1=0$，
$\because a=1,b=-3,c=-1$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=9-4×1×(-1)=13＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。

8. 对于一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $，根据求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $（其中 $ b^2 - 4ac ≥ 0 $），可以推导两根之差的绝对值 $ S = |x_1 - x_2| $ 的表达式. 若 $ x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $，则满足 $ S = 2 $ 的 $ m $ 的值为（）

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 1 $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ 2 $

8. A

9. (2025衡阳期末)已知关于x的方程$x^2 + 2mx + \frac{1}{2}m^2 -1=0$.
(1)求证:无论m取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根为1,求$m^2 +4m +2026$的值.

(1) 证明:$\Delta =b^2 -4ac=(2m)^2 -4(\frac{1}{2}m^2 -1)=4m^2 -2m^2 +4=2m^2 +4$。
$\because m^2≥0,\therefore 2m^2 +4≥4＞0$，
$\therefore$无论$m$取何值时,方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解:把$x=1$代入,得$1^2 +2m +\frac{1}{2}m^2 -1=0$,即$m^2 +4m=0$，
$\therefore m^2 +4m +2026=2026$。

10. 新定义:对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若根的判别式$b^2-4ac$是一个整数的平方或整式的平方，则称此方程为“友好方程”。
(1)下列方程一定是“友好方程”的是(填序号).
①$x^2-6x+9=0$；②$x^2+5x-4=0$；
③$x^2+2\sqrt{3}x+2=0$.
(2)求证:关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m-3)x+m^2-3m=0$一定是“友好方程”。

10. (1) ①③
(2) 证明:方程$x^2-(2m-3)x+m^2-3m=0$中，
$a=1,b=-(2m-3),c=m^2 -3m$，
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(2m-3)^2 -4(m^2 -3m)=4m^2 -12m +9-4m^2 +12m=9=3^2$，
$\therefore$此方程一定是“友好方程”。