1.如图,已知$\odot O$的直径$AB=10$,弦$AC=8$,$∠ BAC$的平分线交$\odot O$于点$D$,过点$D$作$DE⊥ AC$交$AC$的延长线于点$E$,连接$OD$,求证:$OD⊥ DE$.

1. 证明:
∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD//AE.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.

2. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，连接$OC$，过点$B$作$\odot O$的切线，与$OC$的延长线交于点$D$。若$∠ D=26°$，求$∠ A$的度数。

2. 解:如图,连接OB.
∵BD 与$\odot O$相切于点B，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°.
∵∠D=26°，
∴∠BOD=90°−∠D=90°−26°=64°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×64°=32°.

3. 已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB = AC$，$∠ BAC=42°$，$D$是$\odot O$上一点.
(1)如图①，若$BD$为$\odot O$的直径，连接$CD$，求$∠ DBC$和$∠ ACD$的度数；
(2)如图②，若$CD// BA$，连接$AD$，过点$D$作$\odot O$的切线，与$OC$的延长线交于点$E$，求$∠ E$的度数.

3. 解:(1)
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−42°)=69°.
∵BD 为$\odot O$的直径，
∴∠BCD=90°.
∵∠D=∠BAC=42°，
∴∠DBC=90°−∠D=90°−42°=48°，
∴∠ACD=∠ABD=∠ABC−∠DBC=69°−48°=21°.
(2)如图,连接OD.
∵CD//BA，
∴∠ACD=∠BAC=42°.
∵四边形ABCD 为$\odot O$的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−69°=111°，
∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=180°−42°−111°=27°，
∴∠COD=2∠CAD=54°.
∵DE 为$\odot O$的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠E=90°−∠DOE=90°−54°=36°.

4.如图,已知AB是$\odot O$的直径,点C为$\odot O$上一点,过点C的切线交BA的延长线于点P,且$PC=BC$.
(1)求证:$AP=AC$;

(2)过点C作$CD// AB$交$\odot O$于点D,若$AB=8$,求CD的长.

4. (1)证明:如图①,连接OC.
∵C 为$\odot O$上一点,过点C 的切线交BA 延长线于点P，
∴∠OCP=90°=∠OCA+∠PCA.
∵PC=BC,AB 是$\odot O$的直径，
∴∠P=∠B,∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠PCA.
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO=∠P，
∴∠P=∠PCA，
∴AP=AC.
(2)解:如图②,连接OD.
∵∠P=∠PCA,∠OCP=90°，
∴∠P+∠POC=90°=∠PCA+∠OCA，
∴∠POC=∠ACO，
∴AC=AO=CO，
∴△ACO 是等边三角形，
∴∠AOC=60°.
∵CD//AB，
∴∠OCD=∠AOC=60°.
∵OC=OD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴△COD 是等边三角形，
∴CD=CO=4.