5. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,O为AC上一点,以点O为圆心,OA长为半径作半圆,恰好与BC相切于点D,交AB于点E,连接AD.
(1)求证:$∠ BAD=∠ CAD$;
(2)若半圆O的半径为5,$AE=6$,求BD的长.

5. (1)证明:如图,连接OD.
∵BC 与半圆O 相切于点D，
∴OD⊥BC,即∠ODC=90°.
∵∠B=90°，
∴∠ODC=∠B，
∴OD//AB，
∴∠ODA=∠BAD.
∵OA=OD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴∠BAD=∠CAD.
(2)解:如图,过点O 作OF⊥AE 于点F.
∵半圆O 的半径为5,AE=6，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=3，
∴OF=$\sqrt{OA^2−AF^2}$=$\sqrt{5^2−3^2}$=4，
∵∠OFB=∠B=∠ODB=90°，
∴四边形ODBF 为矩形，
∴BD=OF=4.

6.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.过点A作$AD ⊥ MC$，垂足为点D，已知AC平分$∠ MAD$.
(1)求证:MC是$\odot O$的切线；
(2)若$AB = BM$，$MC = 2\sqrt{6}$，求$\odot O$的半径.

6. (1)证明:如图,连接OC.
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC.
∵AC 平分∠MAD，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD//OC.
∵AD⊥MC，
∴OC⊥MC.
∵OC 是$\odot O$的半径，
∴MC 是$\odot O$的切线.
(2)解:
∵AB=BM,AB 是$\odot O$的直径，
∴AB=BM=2OC.
设$\odot O$的半径OC=r,则OM=3r.
∵OC⊥MC,MC=$2\sqrt{6}$，
∴由勾股定理,得$(3r)^2−r^2=(2\sqrt{6})^2$，
解得$r_1=\sqrt{3}$,$r_2=−\sqrt{3}$(舍去)，
∴$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$.

7.如图，AB为$\odot O$的直径，CB是$\odot O$的切线，切点为点B，点D为$\odot O$上一点，连接CD并延长交BA的延长线于点E，CD=CB.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)若$AE=4$，$DE=8$，求$\odot O$的半径.

7. (1)证明:如图,连接OD.
∵AB 为$\odot O$的直径,CB 与$\odot O$相切于点B，
∴CB⊥AB，
∴∠B=90°.
∵CD=CB,OD=OB，
∴$CD^2+OD^2=CB^2+OB^2=OC^2$，
∴△ODC 是直角三角形,且∠ODC=90°.
∵OD 是$\odot O$的半径,且CD⊥OD，
∴CD 是$\odot O$的切线.
(2)解:
∵∠ODE=90°，
∴$DE^2+OD^2=OE^2$.
∵AE=4,DE=8,OD=OA，
∴$8^2+OA^2=(4+OA)^2$,解得OA=6，
∴$\odot O$的半径为6.