【例1】如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接等腰三角形，顶角$∠ BAC = 36°$，弦$BD$，$CE$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$，求证：五边形$AEBCD$是正五边形。

证明:$\because△ ABC$ 为等腰三角形,$∠ BAC=36°$,
$\therefore∠ ABC=∠ ACB=72°$.
又$\because BD,CE$ 分别平分$∠ ABC,∠ ACB$,
$\therefore∠ ABD =∠ CBD=∠ ACE=∠ ECB=36°$,
$\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{EB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$,
$\therefore AE=EB=BC=CD=DA$.
又$\because∠ AEB = ∠ EBC = ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAE = 36°×3=108°$,
$\therefore$五边形 $AEBCD$ 是正五边形.

【变式】下列说法正确的是 （）

A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形

C

【例2】如图,有一个亭子,它的地基是半径为6 m的正六边形ABCDEF.

(1)求该地基的周长；
(2)求该地基的面积.

解:(1)如图,连接OB,OC.
$\because$六边形 ABCDEF 是正六边形,
$\therefore∠ BOC=\frac{360°}{6}=60°,OB=OC$,
$\therefore△ OBC$ 是等边三角形,
$\therefore BC=OB=6\ \mathrm{m}$,
$\therefore$该地基的周长为 $6×6=36(\mathrm{m})$.
(2)如图,过点 $O$ 作$OG⊥ BC$ 于点 $G$.
$\because△ OBC$ 是等边三角形,$BC=6\ \mathrm{m}$,
$\therefore∠ OBC=60°$.
$\because OG⊥ BC$,
$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3(\mathrm{m})$,
$\therefore$在 $\mathrm{Rt}△ OBG$ 中,由勾股定理,得 $OG=\sqrt{OB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$\therefore S_{△ OBC}=\frac{1}{2}BC· OG=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore S_{\mathrm{六边形}ABCDEF}=6S_{△ OBC}=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}(\mathrm{m}^2)$.
$\therefore$该地基的面积为 $54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$.

【变式】如图，半径为2的$\odot O$是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（）

A.点O是正六边形ABCDEF的中心
B.正六边形ABCDEF的半径是2
C.正六边形ABCDEF的中心角是$60°$
D.正六边形ABCDEF的边心距$OM=2\sqrt{3}$

D

1.如果一个正多边形的中心角等于$72°$,那么这个多边形的内角和为 （）

A.$360°$
B.$540°$
C.$720°$
D.$900°$

1. B