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1.在阳光照射下，一座古塔在地面上的影长为50m，同一时刻直立于地面、高为1.5m的竹竿在地面上的影长为2.5m，那么古塔的高度是
30
m.答案
1. 30.
解析
【分析】
本题考查相似三角形在实际测量高度中的应用。解题时首先要明确：同一时刻，太阳光线是平行的，此时直立的物体与其地面影子形成的直角三角形均相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，即同一时刻不同物体的高度和对应影长的比值相等。我们可以设古塔高度为未知数，根据上述比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：设古塔的高度为$ h $ m。
同一时刻，物体高度与影长的比值相等，可得比例式：
$\frac{h}{50} = \frac{1.5}{2.5}$
解方程：
$h = \frac{1.5 × 50}{2.5} = 30$
【答案】
30
【知识点】
1. 相似三角形的应用
2. 比例的计算
【点评】
这是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是抓住同一时刻物高与影长的比值恒定的规律，通过列比例式即可快速求出未知高度，属于实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形在实际测量高度中的应用。解题时首先要明确：同一时刻，太阳光线是平行的，此时直立的物体与其地面影子形成的直角三角形均相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，即同一时刻不同物体的高度和对应影长的比值相等。我们可以设古塔高度为未知数，根据上述比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：设古塔的高度为$ h $ m。
同一时刻，物体高度与影长的比值相等，可得比例式：
$\frac{h}{50} = \frac{1.5}{2.5}$
解方程：
$h = \frac{1.5 × 50}{2.5} = 30$
【答案】
30
【知识点】
1. 相似三角形的应用
2. 比例的计算
【点评】
这是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是抓住同一时刻物高与影长的比值恒定的规律，通过列比例式即可快速求出未知高度，属于实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
2.如图3-1-53，△ABC沿BC边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，且BC=√2，那么三角形移动的距离BB'是
√2−1
。答案
2. √2−1.
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据平移的性质可得对应边平行，由此可证阴影部分的三角形与原△ABC相似；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比求出相似比，进而求出B'C的长度；最后用BC的长度减去B'C的长度，即可得到平移的距离BB'。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC边平移得到△A'B'C'，
∴A'B'//AB，
∴∠DB'C=∠B，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△DB'C∽△ABC，
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ DB'C}}{S_{△ ABC}}=(\frac{B'C}{BC})^2$
由题意知$\frac{S_{△ DB'C}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，且$BC=\sqrt{2}$，代入得：
$\frac{1}{2}=(\frac{B'C}{\sqrt{2}})^2$
解得$B'C=1$（线段长度为正，舍去负解）
∴平移距离$BB'=BC-B'C=\sqrt{2}-1$
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
平移的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平移与相似三角形结合的典型题目，解题的核心是通过平移得到的平行关系推出相似三角形，再利用相似三角形面积比与相似比的关系计算线段长度，难度适中，注重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据平移的性质可得对应边平行，由此可证阴影部分的三角形与原△ABC相似；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比求出相似比，进而求出B'C的长度；最后用BC的长度减去B'C的长度，即可得到平移的距离BB'。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC边平移得到△A'B'C'，
∴A'B'//AB，
∴∠DB'C=∠B，
又
∵∠C=∠C（公共角），
∴△DB'C∽△ABC，
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ DB'C}}{S_{△ ABC}}=(\frac{B'C}{BC})^2$
由题意知$\frac{S_{△ DB'C}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，且$BC=\sqrt{2}$，代入得：
$\frac{1}{2}=(\frac{B'C}{\sqrt{2}})^2$
解得$B'C=1$（线段长度为正，舍去负解）
∴平移距离$BB'=BC-B'C=\sqrt{2}-1$
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
平移的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平移与相似三角形结合的典型题目，解题的核心是通过平移得到的平行关系推出相似三角形，再利用相似三角形面积比与相似比的关系计算线段长度，难度适中，注重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
3.如图3-1-54，左图是运用杠杆原理撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就被撬动了，右图中，BD = 20cm，动力臂OA = 1.5m，阻力臂OB = 50cm，那么AC的长为
图3-1-54
60cm
。图3-1-54
答案
3. 60cm.
解析
【分析】
首先观察图形，∠A和∠B均为直角，∠AOC与∠BOD是对顶角相等，可判定△OAC和△OBD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出边长的比例关系，计算前先统一长度单位，代入已知数值即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵∠A=∠B=90°，∠AOC=∠BOD（对顶角相等）
∴△OAC∽△OBD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$
先统一单位：$OA=1.5m=150cm$
将$BD=20cm$，$OB=50cm$代入比例式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$
解得：$AC=\frac{150×20}{50}=60cm$
【答案】
60cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中杠杆撬石头的场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，注意计算前统一单位，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，∠A和∠B均为直角，∠AOC与∠BOD是对顶角相等，可判定△OAC和△OBD相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出边长的比例关系，计算前先统一长度单位，代入已知数值即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵∠A=∠B=90°，∠AOC=∠BOD（对顶角相等）
∴△OAC∽△OBD（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}$
先统一单位：$OA=1.5m=150cm$
将$BD=20cm$，$OB=50cm$代入比例式：
$\frac{AC}{20}=\frac{150}{50}$
解得：$AC=\frac{150×20}{50}=60cm$
【答案】
60cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中杠杆撬石头的场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，注意计算前统一单位，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
4.如图3-1-55，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔50m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内。在标杆CD右侧2m的点G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；在标杆EF右侧4m的点H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，那么该建筑物的高度AB是
52m
。答案
4. 52m.
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量建筑物高度的实际应用题，解题思路如下：首先根据AB、CD、EF均垂直于水平地面，可得三条线段互相平行，进而得到两组相似三角形：△CDG∽△ABG、△EFH∽△ABH；其次设建筑物高度AB为x m，BD的长度为y m，根据相似三角形对应边成比例的性质列出两个关于x、y的方程；最后联立方程消去y，即可求出x的值，也就是建筑物的高度。
【解析】
解：设建筑物的高度AB为$x\ \mathrm{m}$，BD的长度为$y\ \mathrm{m}$。
由题意可知：$CD=EF=2\ \mathrm{m}$，$DG=2\ \mathrm{m}$，$DF=50\ \mathrm{m}$，$FH=4\ \mathrm{m}$，且$AB⊥ BH$，$CD⊥ BH$，$EF⊥ BH$，因此$AB// CD// EF$。
1. 由$CD// AB$，可得$△ CDG ∽ △ ABG$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{CD}{AB}=\frac{DG}{BG}$
其中$BG=BD+DG=y+2$，代入数据得：
$\frac{2}{x}=\frac{2}{y+2}$
化简得：$y+2=x$，即$y=x-2$ ①。
2. 由$EF// AB$，可得$△ EFH ∽ △ ABH$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{EF}{AB}=\frac{FH}{BH}$
其中$BH=BD+DF+FH=y+50+4=y+54$，代入数据得：
$\frac{2}{x}=\frac{4}{y+54}$
化简得：$2x=y+54$ ②。
将①代入②，得：
$2x=(x-2)+54$
解得：$x=52$。
【答案】
$\boldsymbol{52\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，核心是利用平行线得到相似三角形，通过设辅助未知量建立比例关系，联立方程即可求解，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量建筑物高度的实际应用题，解题思路如下：首先根据AB、CD、EF均垂直于水平地面，可得三条线段互相平行，进而得到两组相似三角形：△CDG∽△ABG、△EFH∽△ABH；其次设建筑物高度AB为x m，BD的长度为y m，根据相似三角形对应边成比例的性质列出两个关于x、y的方程；最后联立方程消去y，即可求出x的值，也就是建筑物的高度。
【解析】
解：设建筑物的高度AB为$x\ \mathrm{m}$，BD的长度为$y\ \mathrm{m}$。
由题意可知：$CD=EF=2\ \mathrm{m}$，$DG=2\ \mathrm{m}$，$DF=50\ \mathrm{m}$，$FH=4\ \mathrm{m}$，且$AB⊥ BH$，$CD⊥ BH$，$EF⊥ BH$，因此$AB// CD// EF$。
1. 由$CD// AB$，可得$△ CDG ∽ △ ABG$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{CD}{AB}=\frac{DG}{BG}$
其中$BG=BD+DG=y+2$，代入数据得：
$\frac{2}{x}=\frac{2}{y+2}$
化简得：$y+2=x$，即$y=x-2$ ①。
2. 由$EF// AB$，可得$△ EFH ∽ △ ABH$，根据相似三角形对应边成比例：
$\frac{EF}{AB}=\frac{FH}{BH}$
其中$BH=BD+DF+FH=y+50+4=y+54$，代入数据得：
$\frac{2}{x}=\frac{4}{y+54}$
化简得：$2x=y+54$ ②。
将①代入②，得：
$2x=(x-2)+54$
解得：$x=52$。
【答案】
$\boldsymbol{52\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，核心是利用平行线得到相似三角形，通过设辅助未知量建立比例关系，联立方程即可求解，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.某班布置新年联欢会会场时,需将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条.如图3-1-56,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30cm,AB=50cm,从中依次裁下宽为1cm的矩形纸条a₁,a₂,a₃….若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm,则该直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条个数是 ………………【 】
A.22
B.25
C.26
D.27
A.22
B.25
C.26
D.27
答案
5. C.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，直角三角形中裁剪矩形，剩余的上方小直角三角形与原直角三角形相似，这是解题的核心依据。第一步先通过勾股定理算出原直角三角形未知的直角边BC的长度；第二步设裁剪的矩形纸条总数为n，每个纸条宽1cm，因此剩余小三角形的竖直直角边长为(30-n)cm，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可得到第n个纸条的长度表达式；最后根据纸条长不小于5cm列不等式求解，结合n为正整数取符合要求的最大值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=30\mathrm{cm}$，$AB=50\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\mathrm{cm}$
设可裁成$n$张符合要求的矩形纸条，裁剪$n$张宽为1cm的纸条后，上方剩余的小直角三角形与$Rt△ ABC$相似，其竖直直角边长为$(30-n)\mathrm{cm}$，水平直角边长即为第$n$张纸条的长。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{30-n}{30}=\frac{x}{40}$
其中$x$为第$n$张纸条的长，要求$x≥5\mathrm{cm}$，代入得不等式：
$\frac{40(30-n)}{30}≥5$
解不等式：
$40(30-n)≥150$
$1200-40n≥150$
$40n≤1050$
$n≤26.25$
因为$n$为正整数，所以$n$的最大值为26，即最多可裁26张符合要求的矩形纸条。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是相似三角形的实际应用类题目，解题关键是抓住裁剪后剩余三角形与原三角形相似的特征，建立纸条长度和裁剪数量的关系，最后结合实际意义取整数解即可，考查了学生结合几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，直角三角形中裁剪矩形，剩余的上方小直角三角形与原直角三角形相似，这是解题的核心依据。第一步先通过勾股定理算出原直角三角形未知的直角边BC的长度；第二步设裁剪的矩形纸条总数为n，每个纸条宽1cm，因此剩余小三角形的竖直直角边长为(30-n)cm，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可得到第n个纸条的长度表达式；最后根据纸条长不小于5cm列不等式求解，结合n为正整数取符合要求的最大值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=30\mathrm{cm}$，$AB=50\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\mathrm{cm}$
设可裁成$n$张符合要求的矩形纸条，裁剪$n$张宽为1cm的纸条后，上方剩余的小直角三角形与$Rt△ ABC$相似，其竖直直角边长为$(30-n)\mathrm{cm}$，水平直角边长即为第$n$张纸条的长。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{30-n}{30}=\frac{x}{40}$
其中$x$为第$n$张纸条的长，要求$x≥5\mathrm{cm}$，代入得不等式：
$\frac{40(30-n)}{30}≥5$
解不等式：
$40(30-n)≥150$
$1200-40n≥150$
$40n≤1050$
$n≤26.25$
因为$n$为正整数，所以$n$的最大值为26，即最多可裁26张符合要求的矩形纸条。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、相似三角形的性质、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是相似三角形的实际应用类题目，解题关键是抓住裁剪后剩余三角形与原三角形相似的特征，建立纸条长度和裁剪数量的关系，最后结合实际意义取整数解即可，考查了学生结合几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
6.圆桌正上方的灯泡(看作一个光点)发出的光线照射桌面后在地面上形成的阴影如图3-1-57.若桌面直径为1.2m，桌面距离地面1m，灯泡距离地面3m，则阴影部分的面积为 …………………………………………【 】
A.$0.36π \, \mathrm{m}^2$
B.$0.81π \, \mathrm{m}^2$
C.$2π \, \mathrm{m}^2$
D.$3.24π \, \mathrm{m}^2$
A.$0.36π \, \mathrm{m}^2$
B.$0.81π \, \mathrm{m}^2$
C.$2π \, \mathrm{m}^2$
D.$3.24π \, \mathrm{m}^2$
答案
6. B.
解析
【分析】
本题属于中心投影结合相似三角形的实际应用题，解题思路如下：首先明确桌面与地面平行，因此灯泡与桌面直径两端点构成的三角形，和灯泡与地面阴影直径两端点构成的三角形是相似三角形；其次找到两个相似三角形的对应高：灯泡到桌面的距离、灯泡到地面的距离；再利用相似三角形对应边成比例的性质求出阴影部分的直径；最后根据圆的面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
设地面阴影部分的直径为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 桌面平行于地面，
∴ 灯泡、桌面直径两端点构成的三角形与灯泡、阴影直径两端点构成的三角形相似。
由题意得，灯泡到桌面的距离为$ 3-1=2 \, \mathrm{m} $，灯泡到地面的距离为$ 3 \, \mathrm{m} $，桌面直径为$ 1.2 \, \mathrm{m} $。
根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$ \frac{2}{3} = \frac{1.2}{x} $
解得：$ x = \frac{1.2 × 3}{2} = 1.8 \, \mathrm{m} $
∴ 阴影部分的半径为$ \frac{1.8}{2} = 0.9 \, \mathrm{m} $
阴影部分的面积为：$ S = π r^2 = π × 0.9^2 = 0.81π \, \mathrm{m}^2 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，中心投影，圆的面积计算
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用题目，解题的核心是结合中心投影的特点构造出相似三角形，利用相似三角形的比例关系求出未知边长，再结合几何图形面积公式求解，此类题目需要注意找准相似三角形的对应边和对应高，避免比例关系列反。
【难度系数】
0.7
本题属于中心投影结合相似三角形的实际应用题，解题思路如下：首先明确桌面与地面平行，因此灯泡与桌面直径两端点构成的三角形，和灯泡与地面阴影直径两端点构成的三角形是相似三角形；其次找到两个相似三角形的对应高：灯泡到桌面的距离、灯泡到地面的距离；再利用相似三角形对应边成比例的性质求出阴影部分的直径；最后根据圆的面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
设地面阴影部分的直径为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 桌面平行于地面，
∴ 灯泡、桌面直径两端点构成的三角形与灯泡、阴影直径两端点构成的三角形相似。
由题意得，灯泡到桌面的距离为$ 3-1=2 \, \mathrm{m} $，灯泡到地面的距离为$ 3 \, \mathrm{m} $，桌面直径为$ 1.2 \, \mathrm{m} $。
根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$ \frac{2}{3} = \frac{1.2}{x} $
解得：$ x = \frac{1.2 × 3}{2} = 1.8 \, \mathrm{m} $
∴ 阴影部分的半径为$ \frac{1.8}{2} = 0.9 \, \mathrm{m} $
阴影部分的面积为：$ S = π r^2 = π × 0.9^2 = 0.81π \, \mathrm{m}^2 $
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，中心投影，圆的面积计算
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用题目，解题的核心是结合中心投影的特点构造出相似三角形，利用相似三角形的比例关系求出未知边长，再结合几何图形面积公式求解，此类题目需要注意找准相似三角形的对应边和对应高，避免比例关系列反。
【难度系数】
0.7
